初中平面几何一题多变

1、平面几何一题多变在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正把握该题所反映的问题的实质；假如能对一个一般的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发觉解题规律，从变中发觉“不变”，必将使人受益匪浅； “一题多变”的常用方法有：1、变换命题的条件与结论；2、保留条件，深化结论；3、减弱条件，加强结论；4、探讨命题的推广；5、考查命题的特例；6、生根伸枝，图形变换；7、接力赛，一变再变；8、解法的多变等；19、（增加题1 的条件） ae 平分 bac 交 bc 于 e，求证： ce： eb=cd ：cb20、（增加题1 的条件） ce 平分 bcd

2、，af 平分 bac 交 bc 于 f求证：（ 1）bf·ce= be·df（ 2）ae cf（ 3）设 ae 与 cd 交于 q，就 fq bc21、已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 为垂足，以cd 为直径的圆交ac 、bc于 e、 f，求证：ce： bc=cf ：ac （留意此题和16 题有无联系）22、已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 为垂足，以ad 为直径的圆交ac 于 e，以 bd 为直径的圆交bc 于 f，求证：ef 是 o1 和 o2 的一条外公切线23、已知， abc 中， acb=90度， cd ab ，

3、 d 为垂足，作以ac 为直径的圆o1，和 以 cd 为弦的圆 o2，求证：点 a 到圆 o2 的切线长和ac 相等（ at=ac ）24、已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 为垂足，e 为 acd 的中点，连ed 并延长交cb 的延长线于f， 求证： df： cf=bc ： ac25、如图， o1 与 o2 外切与点d， 内公切线do 交外公切线ef 于点 o，求证： od 是两圆半径的比例中项；题 14 解答：由于 cd2=a·d dbac2=ad· ab bc2=bd·ab所以 1/ac2+1/bc2=1/ （ad·ab ）

4、+1/（ bd·ab ）=（ ad+db ） /（ad·bd·ab ）=ab/ad·bd·ab=1/ad·bd=1/cd215 题解答：由于 m 为 ab 的中点，所以am=mb ， ad-db=am+dm-mb-dm=2dm ac2-bc2=ad*ab-db*ab=ad-dbab=2dm*ab26、（在 19 题基础上增加一条平行线）已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 为垂足， ae 平分 bac 交 bc 于 e、交 cd于 f， fg ab 交 bc 于点 g， 求证： ce=bg27、（在 19 题基础

5、上增加一条平行线）已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 为垂足， ae 平分 bac 交 bc 于 e、交 cd于 f， fg bc 交 ab 于点 g，连结 eg， 求证：四边形cegf 是菱形28、（对 19 题增加一个结论）已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 为垂足， ae 平分 bac 交 bc 于 e、交 cd于 f，求证： ce=cf29、（在 23 题中去掉一个圆）已知，abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 为垂足，作以ac 为直径的圆o1，求证：过点d 的圆 o1 的切线平分bc30、（在 19 题中增加一个圆）已知，

6、 abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 为垂足， ae 平分 bac 交 bc 于 e，交 cd于 f，求证： ced 平分线段af31、（在题1 中增加一个条件）已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 为垂足， a=30 度， 求证： bd=ab/4（沪科版八年级数学第117 页第 3 题）32、（在 18 题基础上增加一条直线）已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 为垂足，作bce= bcdp 为 ac 上任意一点，直线pq 交 cd 于 q，交 cb 于 m ，交 ce 于 n求证： pq/pn=qm/mn32 题证明：作 ns

7、 cd 交直线 ac 与点 s， 就 pq/pn=cq/sn又 bce= bcdqm/mn=cq/cn （三角形内角平分线性质定理）bce+ ncs= bcd + acdnscd ， nsc= acd nsc= ncssn=cnpq/pn=qm/mn题 33在“题一中 ”，延长 cb 到 e，使 eb=cb ，连结 ae 、de ，求证： de·ab= ae·be题 33 证明cb2= bd·ab因 eb=cbeb2= bd· abeb ： bd=ab ：be又 ebd= abe ebd abeeb ： ab=de ： aede·ab= ae&

8、#183;be题 34（在 19 题基础上增加一条垂线）已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 为垂足，ae 平分 cd 于 f， eg ab 交 ab 于点 g， 求证： eg2= be·ec证明：延长 ac 、ge，设交点为h， ebg ehceb ： eh=eg ： eceh·eg= be·ec又 hg cd ，cf=fdeh=egeg2= be·ec题 35（在题 19 中增加点f）已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 为垂足，ae 平分 bca 交 bc 于点 e，交 cd 于 f， 求证： 2cf

9、·fd = af·ef题 36、（在题 16 中，减弱条件，删除acb=90 度这个条件）已知， abc 中， cd ab ， d 为垂足， de ac 于 e， df bc 于 f， 求证： ce/bc=cf/ac题 37（在题 17 中， 删除 acb=90 度和 cd ab ，d 为垂足这两个条件，增加 d 是 ab 上一点，满意 acd= abc ）已知， abc 中， d 是 ab 上一点，满意acd= abc ，又 ce 平分 bcd求证： ae2= ad· ab题 38已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 为垂足， pc 为

10、abc 的切线求证： pa/ad=pb/bd题 39（在题 19 中点 e“该为 e 为 bc 上任意一点 ”）已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 为垂足，e 为 bc 上任意一点，连结ae ， cfae ，f 为垂足，连结df， 求证： adf aeb题 40：已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 为垂足求证： sadc ：s bdc=ad ： db题 41已知，如图，abc 中，cd ab ， d 为垂足，且ad/cd=cd/bd，求 acb 的度数；题 42已知， cd 是 abc 的 ab 边上的高，d 为垂足，且ad/cd=cd/bd

11、，就 acb 肯定是 90 度吗？为什么？题 43：已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 为垂足， adc 的内切圆 o1，bdc 的内切圆 o2，求证： so1 ：s o2=ad ： db题 44：已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 为垂足， adc 的内切圆 o1 的半径 r1，bdc 的内切圆 o2 的半径 r2， abc 的内切圆 o 的半径 r，求证： r1+r2+r=cd题 45 、已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 为垂足，作以ac 为直径的圆o1，和以 bd为直径的圆o2 ，设 o1 和 o2 在 abc

12、内交于 p求证：pad 的面积和 pbc 的面积相等题 45 解：cap= cdp= dbp （圆周角、弦切角）rtapc rtbpdap·pd= bp·pc又 apd 和 cpb 互补（ apc+ bpd=180 度）s pad=1/2·ap·pd·sin apd s pbd=1/2·bp·pc·sin cpbs pad= s pbd题 46（在题 38 的基础上变一下）已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 为垂足， pc 为 abc 的切线，又ce 平分acb 交 abc 与 e，交 ab

13、 与 d ，如 pa=5， pc=10，求cd·ce 的值题 47在题 46 中，求 sin pca题 48（由题 19 而变）已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 为垂足，ae 平分 acb 交 bc 于 e， eg ab 交 ab 于点 g， 求证：（ 1）ac=ag（2）、ag2= ad· ab（3）、g 在 dcb 的平分线上（4）、fg bc（5）、四边形 cefg 是菱形题 49题 49 解答：题目 50（题 33 再变）已知， abc 中， acb=90度， cd ab ，d 为垂足，延长cb 到 e，使 eb=cb ，连结ae 交 c

14、d 的延长线于f，假如此时ac=ec ，求证：af= 2fe题 50 解：过点 e 作 em cf，m 为垂足，就ad ：db=ac2 ：cb2=4 ：1又 db ： em=1 ： 2所以， ad ： em=2 ：1adf emfaf ： ef=ad ： em=2 ：1af=2ef题目 51（题 50 中连一线）已知， abc 中， acb=90度， cd ab ，d 为垂足，延长cb 到 e，使 eb=cb ，连结ae 交 cd 的延长线于f， 连结 fb，假如此时ac=ec ，求证：abc= ebf（题 51 的几种解法） 解法 1、作 acb 的平分线交ab 于点 g，易证 acg ce

15、fcg=ef证 cbg ebf abc= ebf题 51 解法 2作 acb 的平分线交ab 于点 g，交 ae 于点 p，就点 g 为 ace 的垂心， gfce又 aec= gce，四边形 cgfe 为等腰梯形cg=ef再证 cbg ebf abc= ebf题 51 解法 3作 acb 的平分线交ab 于点 g，交 ae 于点 p，就点 g 为 ace 的垂心，易证 apg cpf（ aas ）pg=pf又 gpb= fpb， pb=pb pbg fbp（sas） pbg= fbp abc= ebf题 51 解法 4（原题图） 由题 50 得， af=2efaf ： ef=ac ：be=2

16、又 caf= bef=45 度 acf ebf acf= ebf又 acf= cba abc= ebf题 51 解法 5作 me ce 交 cd 的延长线于m ，证 abc cme （ asa ） abc= m再证 mef bef （sas） ebm= m abc= ebf题 51 解法 6作点 b 关于点 c 的对称点 n，连结 an ， 就 nb=2be ，又由题 50，af=2ef ，bf an ebm= n又 abc= n （对称点） abc= ebf题 51 解法 7过点 c 作 ch bf 交 ab 于 m ，b 为 ce 的中点， f 为 he 的中点又由题 50， af=2ef

17、 ，h 为 af 的 中点又 ch bfm 为 ab 的中点 mcb= mbc又 ebm= mcb abc= ebf题目 52（题 50、51 结论的引伸）已知， abe 中， ac=ec ， ace=90 度，cd ab 交斜边 ab 于 f， d 为垂足，b 为 ce 的中点，连结fb， 求证：（1）、 af=2ef（2）、 abc= ebf（3）、 ebf= e+ bae（4）、 abf=2 dac（5）、 ab ：bf=ae ：ef（6）、 cd ：df=ae ： af（7）、 ad ： db=2af ： ef（8）、 cd/df·fa/ae·eb/bc=1题目 5

18、3 （题 52 的一部分） 已知如图，、 ac=ce、 ac ce、 cb=be、 cf ab求证：、 af=2ef、 abc= ebf（题 53 的 14 个逆命题中，是真命题的请给出证明） 题目 54（题 53 的逆命题1）已知如图，、 af=2ef、 ac ce、 cb=be、 cf ab求证：、 ac=ce、 abc= ebf平面几何一题多变题目 55（题 53 的逆命题2） 已知如图，、 ac=ce、 af=2ef、 cb=be、 cf ab求证：、 ac ce、 abc= ebf题目 56（题 53 的逆命题3） 已知如图，、 ac=ce、 ac ce、 af=2ef、 cf ab

19、求证：、 cb=be、 abc= ebf题目 57（题 53 的逆命题4） 已知如图，、 ac=ce、 ac ce、 af=2ef、 cb=be求证：、 cf ab、 abc= ebf题目 58（题 53 的逆命题5） 已知如图，、 cb=be、 abc= ebf、 ac ce、 cf ab求证：、 af=2ef、 ac=ce题目 59（题 53 的逆命题6） 已知如图，、 ac=ce、 cf ab、 cb=be、 abc= ebf求证：、 af=2ef、 ac ce题目 60（题 53 的逆命题7） 已知如图，、 ac=ce、 ac ce、 abc= ebf、 cf ab求证：、 af=2e

20、f、 cb=be题目 61（题 53 的逆命题8） 已知如图，、 ac=ce、 ac ce、 cb=be、 abc= ebf求证：、 af=2ef、 cf ab题目 62（题 53 的逆命题9） 已知如图，、 af=2ef、 cf ab、 cb=be、 abc= ebf求证：、 ac=ce、 ac ce题目 63（题 53 的逆命题10） 已知如图，、 ac ce、 af=2ef、 cf ab、 abc= ebf求证：、 ac=ce、 cb=be题目 64（题 53 的逆命题11） 已知如图，、 cb=be、 abc= ebf、 ac ce、 af=2ef求证：、 ac=ce、 cf ab题目

21、 65（题 53 的逆命题12） 已知如图，、 ac=ce、 af=2ef、 cf ab、 abc= ebf求证：、 ac ce、 cb=be题目 66（题 53 的逆命题13） 已知如图，、 ac=ce、 af=2ef、 cb=be、 abc= ebf求证：、 ac ce、 cf ab题目 67（题 53 的逆命题14） 已知如图，、 ac=ce、 ac ce、 af=2ef、 abc= ebf求证：、 cb=be、 cf ab题目 68已知如图， abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 为垂足，cm 平分 acb ，假如 sacm=30 ， s dcm=6 ， 求 s bcd=

22、 ？（题 68 解答） 解：设 s bcd=x, 就 s acm/ s cmb=30/ （6+ x ）=am/mb s acd/ s cdb=36/ x=ad/db又 ac2= ad· abbc2= bd·abac2/ bc2=ad/bdcm 平分 acb（ am/ bm ） 2=ad/bd30/6+x2=36/x解方程得 x=4 或 x=9sbcd=4 或 s bcd=9题目 69已知如图， abc 中， acb=90 度， d 为斜边 ab 上一点，满意ac2= ad· ab求证： cd ab题目 70已知如图， abc 中， ac>bc, acb=90

23、 度，cm 平分 acb ，且 cm+cb=ac ， 求证： 1/ac- 1/bc=2题 70 证明：过点 m 作 md bc ，d 为垂足，作md ac ，e 为垂足，设 me=x,ac=b,bc=a, 就 cm= 2 x ，ae=b-x,由 ae/ac=me/bc ，得 b-x/b=x/a,x=ab/a+b又 cm+cb=ac2 x+a=b,ab/a+b=b- a/2 整理得： b2- a2=2ab 两边都除以 ab,1/ac- 1/bc=2题目 71依题 68 变 已知如图， abc 中（ ac>bc ）， acb=90 度， cd ab ， d 为垂足，cm 平分 acb, 且

24、bc、 ac 是方程 x2-14x+48=0的两个根，求 ad 、 md 的长；题目 71 解：明显，方程 x2-14x+48=0 的两根为 6 和 8， 又 ac>bcac=8 ， bc=6由勾股定理 ab=10acd abc ，得 ac2= ad· abad=6.4cm 平分 acbam/mb=ac/cb解得， am=40/7md=ad-am=24/35题目 72已知如图， abc 中， acb=90 度， ab=2ac ，现在将它折成如右图的外形，这时顶点a正好落在 bc 上，而且 a'mn是正三角形，求 a'mn与 abc 的面积之比；题 72 解： a

25、cb=90 度， ab=2ac b=30 度由题意，四边形ama'n是菱形， a'bm abca'm/ac=bm/ab设 am=x, ab=2ac=2ax/a=2a-x/2ax=2a/3由三角形面积公式，得s a'mn ： s abc=2 ： 9题目 73已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 为垂足求证： ab+cd>ac+bc题 73 的证明：由三角形面积公式，得ab·cd=a·c 2ab·cd=2ac· bc又勾股定理，得ab2=ac2+bc2ab2+2ab· cd =ac2+b

26、c2+2a·cab2+2ab· cd = （ ac+bc ） 2bcbc 等式性质 ab2+2ab· cd+cd2 > （ac+bc ） 2ab+cd2 > （ ac+bc ）2又 ab 、cd 、ac 、bc 均大于零ab+cd>ac+bc题目 74已知， abc 中， acb>90 度， cd ab ， d 为垂足求证： ab+cd>ac+bc题 74 证明：如图，作cbac 交 ab 于 b,于是有ab· cd=ac· bc2ab· cd=2ac· bc又勾股定理，得ab2=ac2+bc2

27、ab2+2ab·cd =ac2+bc2+2ac·bc等式性质 a b2+2ab·cd（= ac+bc）2ab2+2ab·cd+cd2 >（ac+bc）2ab+cd2 >（ac+bc）2又 ab、cd 、ac 、bc均大于零ab+cd>ac+bc在 abb 中,bb>cb-cb+ 得 ab bb+cd>ac+bc cb -cbab+cd>ac+bc题目 75已知如图， abc 中，cd ab ， d 为垂足，ct 平分 acb ， cm 为 ab 边上的中线， 且 acd= dct= tcm= mcb求证： acb=90

28、 度题目 75 的证明：延长 ct 交三角形 abc 的外接圆于n，连结 mn ，就 n 为弧 ab 的中点，所以mn ab ，又 cd ab ，mn cd dct= tnm又 dct= tcm tcm= tnmcm=nmcn 的垂直平分线必过点m ，又 cm 为 ab 边上的中线， mn abab 的垂直平分线必过点m ， 即 m 为两条弦的垂直平分线的交点，m 为三角形 abc 的外接圆的圆心， 因此 ab 为 abc 的外接圆的直径； acb=90 度题目 76已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 为垂足，acb的平分线 cg 交 ab 边上的中垂线于点g ，求证

29、： mc=mg题目 77已知， abc 中， acb=90度， cd ab ，d 为垂足， cm 为 ab 边上的中线， cd 是acb的平分线， ac=75cm, bd=80cm,求 cd 、cm 、ce 的长题目 78已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 为垂足， e 为 abc 上一点， 且弧 ac= 弧 ce，又 ae 交 cd 于 m ，求证： am=cm题目 79（题 78 再变）已知， abc 中， acb=90度， cd ab ，d 为垂足， e 为 abc 上一点，且弧ac= 弧ce，又 bc 交 ae 于 g，连结 be求证： bg2= ab

30、3; be- ag·ge题目 80已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 为垂足， e 为 abc 上一点，且直线dc 于直线 be 交于 p，求证： cd2= dm· dp题目 81已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ，d 为垂足， e 为 abc 上一点，且直线dc 于直线 be 交于 p，假如 cd 平分 ae ，求证：2dm· dp= be·ep题目 82已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 为垂足， e 为 abc 上一点， 且弧 ac= 弧 ce，又直线ac 与直线 be 交于 h

31、 ，求证：ab=bh题目 83由题 44 变 求证：直角三角形两条直角边的和等于斜边与内切圆直径的和；题目 84已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 为垂足， mn 切 abc 与 c 点求证：bc 平分 dcn题目 85已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 为垂足， mn 切 abc 与 c 点，af mn ， f 为垂足， ae mn ， e 为垂足， 求证： cd=ce=cf题目 86已知， abc 中， acb=90 度，以 bc 为直径的圆交ab 于点 d ，以 ac 为半径的圆交ab 于 点 e，求证： bce= dce题目 87（由

32、题 38 图而变）求证：和两定点距离之比等于定比（不为1）的点的轨迹是一个圆周；（提示：从（ 1）完备性、（ 2）纯粹性两方面来证明； ）题目 88作图题：已知两线段之和及积，求作这两条线段；已知：两线段m 和 n求作：两线段x 及 y,使 x+y=m ， xy=n2补个图（题 88 作法参考）ad 、bd 即为求作线段x 、y题目 89（由题 88 变）已知梯形 abcd如图，求作始终线平行于梯形的底边，且平分面积；题目 90利用下图，证明：两个正数之和为定值，就这两个数相等时乘积最大；题目 89 作法：如图，作两腰的延长线交于点o，作 pbab 使 pb=oa ，连结 op，以 op 为直

33、径作半圆m ，由圆心m 作 mn op，交半圆于点n，再以 o 为圆心 on 为半径画弧交 ab 于点 e，作 ef bc 交 cd 于 f，就 ef 即为所求线段；题 91题 73 变设 a、b、c、d 都是正数，满意a/b=c/d,且 a 最大，求证： a+d>b+c题 92（人教版数学八年级下114 页）在 rt abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 为垂足， acd=3 bcd ，e 是斜边 ab 的中点，ecb 是多少度？题 93（题 49 变）已知， 17cosa+13cosb=17,17sina=13sinb, 且 a 、 b 都是锐角， 求 a/2+ b

34、的值；题目 93 解：（构造法）分别以 17、13 为边作 abc ，使 ac=17 ， bc=13 ， cd 为 ab 边上的高， 在 rt adc 中， ad=17 cosa ，在 rt bdc 中， bd=13 cosb ，cd=17sina=13sinb而 ab=ad+db=17cosa+13cosb=17，ac=ab, b= acb, a+2 b=180 度 a/2+ b=90 度；题 94已知如图， abc 的 c 的平分线交ab 于 d ，交 abc 的外接圆于e， 如 cd·ce 等于 abc 面积的 2 倍求证： acb=90 度题目 95已知， abc 中， acb=90 度， cd ab ， d 为垂足， cm 平分 acb交 ab 于 m ，如 ac>bc求证： dcm=1/2· （