2020版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第3讲导数与函数的极值最值课件理新人教A版

1、第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 第第3讲讲 导数与函数的极值、最值导数与函数的极值、最值 1函数的极值函数的极值 函数函数yf(x)在点在点xa的函数值的函数值f(a)比它在点比它在点xa附近其他点附近其他点的的函函数数值值都都小小，f(a)0；而而且且在在点点xa附附近近的的左左侧侧f(x)0 ，右侧，右侧_f(x)0 ，则点，则点a叫做函数叫做函数yf(x)_的极小值点，的极小值点，f(a)叫做函数叫做函数yf(x)的极小值的极小值 函数函数yf(x)在点在点xb的函数值的函数值f(b)比它在点比它在点xb附近其他点附近其他点的的函函数数值值都都大大，f(b)0；而而且且在在点点x

2、b附附近近的的左左侧侧f(x)0 ，右侧，右侧_f(x)0 ，则点，则点b叫做函数叫做函数yf(x)_的极大值点，的极大值点，f(b)叫做函数叫做函数yf(x)的极大值的极大值 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值值 提醒提醒 (1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点；不能称为极值点； (2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值；个极大值或极小值； (3)极大值与极小值之

3、间无确定的大小关系极大值与极小值之间无确定的大小关系 2函数的最值函数的最值 (1)在闭区间在闭区间a，b上连续的函数上连续的函数f(x)在在a，b上必有最大值与最上必有最大值与最小值小值 f(a) 为函数的最小值，为函数的最小值，(2)若函数若函数f(x)在在a，b上单调递增，上单调递增， 则则_f(b) 为函数的最大值；若函数为函数的最大值；若函数f(x)在在a，b上单调递减，则上单调递减，则_f(a) f(b) _为函数的最大值，为函数的最大值，_为函数的最小值为函数的最小值 3极值与最值的区别与联系极值与最值的区别与联系 (1)区别区别 函数的极值函数的极值 函数的最值函数的最值 函数

4、的极值点一定出现在区间函数的极值点一定出现在区间使函数取得最大值，最小值的使函数取得最大值，最小值的的内部，区间的端点不能成为的内部，区间的端点不能成为点可能在区间的内部，也可能点可能在区间的内部，也可能极值点极值点 在区间的端点在区间的端点 函数的极值是通过比较极值点函数的极值是通过比较极值点函数的最值是通过比较整个定函数的最值是通过比较整个定附近的函数值得出的附近的函数值得出的 义域内的函数值得出的义域内的函数值得出的 函数的极值函数的极值 函数的最值函数的最值 函数的极值可能不止一个，也函数的极值可能不止一个，也 函数在其定义区间上的最大函数在其定义区间上的最大可能一个没有可能一个没有

5、值、最小值最多各有一个值、最小值最多各有一个 函数的极大值不一定大于函数函数的极大值不一定大于函数 函数的最大值一定大于函数的函数的最大值一定大于函数的的极小值的极小值 最小值最小值 (2)联系联系 当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点；必为函数的最值点； 极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值定是极值 判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”) (1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的函数在某区间上或定义

6、域内的极大值是唯一的( ) (2)导数为零的点不一定是极值点导数为零的点不一定是极值点( ) (3)函数的极大值不一定比极小值大函数的极大值不一定比极小值大( ) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值小值( ) 答案：答案：(1) (2) (3) (4) (教材习题改编教材习题改编)函数函数f(x)的定义域为开区间的定义域为开区间(a，b)， 导函数导函数f(x)在在(a，b)内的图象如图所示，则函数内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间在开区间(a，b)内有极内有极小值点小值点( ) A1个个 C3个个 B2个个

7、 D4个个 解析：选解析：选A.导函数导函数f(x)的图象与的图象与x轴的交点中，左侧图象在轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个轴上方的只有一个 所以所以f(x)在区间在区间(a，b)内有一个极小值点内有一个极小值点 函数函数yln xx在在x(0，e上的最大值为上的最大值为( ) Ae C1 B1 De 解析：选解析：选C.函数函数yln xx的定义域为的定义域为(0，)， 1x1又又y 1， xx令令y0得得x1， 当当x(0，1)时，时，y0，函数单调递增；，函数单调递增； 当当x(1，e)时，时，y0，函数，函数f(x)单调递增，当单调递增，当

8、x(2，2)时，时，f(x)0，函数函数f(x)单调递增，所以单调递增，所以a2. 2答案：答案：2 (教材习题改编教材习题改编)函数函数yx2cos x是是_ ? ? ?在区间在区间? ?0，2? ?上的最大值上的最大值? ? ?解析：解析：y12sin x，令，令y0， 又因为又因为则当则当? ? ?x? ?0，2? ?，解得，解得? ? ?x ， 6? ? ?x? ?6，2? ?时，时，y0，故函数，故函数? ? ? ? ?x? ?0，6? ?时，时，y0；当；当? ? ?yx2cos x在在x 时取得最大值时取得最大值 3. 66答案：答案： 3 6函数的极值问题函数的极值问题(高频考

9、点高频考点) 函数的极值是每年高考的热点，函数的极值是每年高考的热点，一般为中高档题，一般为中高档题，三种题型三种题型都有高考对函数极值的考查主要有以下三个命题角度：都有高考对函数极值的考查主要有以下三个命题角度： (1)由图判断函数极值的情况；由图判断函数极值的情况； (2)已知函数解析式求极值；已知函数解析式求极值； (3)已知函数极值求参数值或范围已知函数极值求参数值或范围 典例引领典例引领 角度一角度一 由图判断函数极值的情况由图判断函数极值的情况 (2017高考浙江卷高考浙江卷)函数函数yf(x)的导函数的导函数yf(x)的图的图象如图所示，则函数象如图所示，则函数yf(x)的图象可

10、能是的图象可能是( ) 【解析】【解析】 原函数先减再增，原函数先减再增， 再减再增，再减再增， 且且 x0位于增区间内，位于增区间内，故选故选D. 【答案】【答案】 D 角度二角度二 已知函数解析式求极值已知函数解析式求极值 12 (2019湖南省五市十校联考湖南省五市十校联考)已知函数已知函数f(x)ln xax2x，aR. (1)当当a0时，求曲线时，求曲线yf(x)在在(1，f(1)处的切线方程；处的切线方程； (2)令令g(x)f(x)(ax1)，求函数，求函数g(x)的极值的极值 【解】【解】 (1)当当a0时，时，f(x)ln xx，则，则f(1)1，所以切点为，所以切点为1(1

11、，1)，又，又f(x)x1，所以切线斜率，所以切线斜率kf(1)2，故切线方，故切线方程为程为y12( x1)，即，即2 xy10. 12(2) g(x)f(x)(ax1)ln xax (1a)x1， 2ax（1a）x11则则g(x)xax(1a)， x当当a0时，因为时，因为x0，所以，所以g(x)0. 所以所以g(x)在在(0，)上是增函数，函数上是增函数，函数g(x)无极值点无极值点 2ax（1a）x1当当a0时，时，g(x) x1a（x ）（）（x1）a， x1令令g(x)0得得xa. 11所以当所以当x(0，a)时，时，g(x)0；当；当x(a，)时，时，g(x)0. 211因为因为

12、g(x)在在(0，a)上是增函数，在上是增函数，在(a，)上是减函数上是减函数 111a111所以所以xa时，时，g(x)有极大值有极大值g(a)lna 2(1a) 1a2a2 aln a. 综上，当综上，当a0时，函数时，函数g(x)无极值；无极值； 1当当a0时，函数时，函数g(x)有极大值有极大值ln a，无极小值，无极小值 2 a角度三角度三 已知函数极值求参数值或范围已知函数极值求参数值或范围 (2018高考北京卷高考北京卷)设函数设函数f(x)ax (4 a1)x4 a3e. (1)若曲线若曲线yf(x)在点在点(1，f(1)处的切线与处的切线与x轴平行，求轴平行，求a； (2)若

13、若f(x)在在x2处取得极小值，求处取得极小值，求a的取值范围的取值范围 【解】【解】 (1)因为因为f(x)ax(4 a1) x4 a3e， 所以所以f(x)ax(2 a1) x2e. f(1)(1a)e. 由题设知由题设知f(1)0，即，即(1a)e0， 解得解得a1. 2x2xx2此时此时f(1)3e0. 所以所以a的值为的值为1. (2)由由(1)得得f(x)ax (2 a1) x2e(ax1)( x2)e. ? ?1? ?1若若a，则当，则当x? ?a，2? ?时，时，f(x)0. 所以所以f(x)在在x2处取得极小值处取得极小值 11当当a ，则当，则当x(0，2)时，时，x20，

14、ax1 x10. 所以所以2不是不是f(x)的极小值点的极小值点 综上可知，综上可知，a? ?1? ?的取值范围是的取值范围是? ?2，? ?. ? ? ? (1)利用导数研究函数极值问题的一般流程利用导数研究函数极值问题的一般流程 (2)已知函数极值点或极值求参数的两个要领已知函数极值点或极值求参数的两个要领 列式：根据极值点处导数为列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解利用待定系数法求解 验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性以

15、利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 提醒提醒 若函数若函数yf(x)在区间在区间(a，b)内有极值，内有极值， 那么那么yf(x)在在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值 通关练习通关练习 1(2017高考全国卷高考全国卷)若若x2是函数是函数f(x)(x ax1)e的极值点，则的极值点，则f(x)的极小值为的极小值为( ) A1 C5e 32x1B2e D1 3解析：选解析：选A.因为因为f(x)(xax1)e(xax1)e22x122x1，所以，所以f(x)(2 xa)ex1x1x(a2) xa1ex1.因为因为x2是函

16、是函2数数f(x)(xax1)e的极值点，所以的极值点，所以2是是x(a2) xa2x110的根，所以的根，所以a1，f(x)(xx2)e1)ex1(x2)( x.令令f(x)0， 解得解得x1， 令令f(x)0， 解得解得2x? ?. ? ?2? ?x（1x）（）（2 x12）e (2)由由f(x)0， 2 x15解得解得x1或或x . 2当当x变化时，变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表： x f(x) f(x) 1 2 11e2 2? ?1? ? ?，1? ? ? ?2? ?1 0 ? ?5? ? ?1，? ? 2? ? ?5 20 ? ?5? ? ?，? ? ?

17、 ?2? ? 0 15e2 2? ?1? ?1? ? ?2x又又f(x)2( 2 x11)e 0， 所以所以f(x)在区间在区间? ?2 ，? ?上的取上的取值范围是值范围是. 求函数求函数f(x)在在a，b上最值的方法上最值的方法 (1)若函数在区间若函数在区间a，b上单调递增或递减，上单调递增或递减，f(a)与与f(b)一个为最一个为最大值，一个为最小值；大值，一个为最小值； (2)若函数在闭区间若函数在闭区间a，b内有极值，要先求出内有极值，要先求出a，b上的极值，上的极值，与与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成

18、；完成； (3)函数函数f(x)在区间在区间(a，b)上有唯一一个极值点，上有唯一一个极值点，这个极值点就是这个极值点就是最大最大(或最小或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到值点，此结论在导数的实际应用中经常用到 通关练习通关练习 ? ?1? ?x1函数函数f(x)在在? ?3，1? ?上的最小值与最大值的和为上的最小值与最大值的和为? ?2 x1? ?2( ) 12A B 33C1 D0 2 x（2 x1）2 x解析：选解析：选A.f(x) 2（2 x1）? ?1? ?2 x（x1）2，x? ? ，1? ?， ? ?3? ?（2 x1）当当f(x)0时，时，x0； 1当当f(x)0

19、时，时， x0时，时，0 x1. ? ?1? ?所以所以f(x)在在? ?3，0? ?上是减函数，在上是减函数，在(0，1上是增函数上是增函数 ? ? ?所以所以f(x)minf(0)0. ? ?1? ?11又又f? ?3? ? ，f(1) . 3? ? ?31所以所以f(x)的最大值与最小值的和为的最大值与最小值的和为 . 3x12(2019贵阳市检测贵阳市检测)已知函数已知函数f(x)ln x. x(1)求求f(x)的单调区间；的单调区间； 1(2)求函数求函数f(x)在在 ，e上的最大值和最小值上的最大值和最小值(其中其中e是自然对数是自然对数e的底数的底数) x11解：解：(1) f(

20、x)ln x1 ln x，f(x)的定义域为的定义域为(0， ) xx111x因为因为f(x)2x2，所以，所以f(x)0 ? 0 x1，f(x)0 ? xxx11，所以，所以f(x)1xln x在在(0，1)上单调递增，在上单调递增，在(1，)上单调递减上单调递减 1(2)由由(1)得得f(x)在在 ，1上单调递增，在上单调递增，在1，e上单调递减，上单调递减， e11所以所以f(x)在在，e上的最大值为上的最大值为f(1)1 ln 10. e111111又又f( )1eln 2e，f(e)1 ln e ，且，且f( )eeeeef(e) 11所以所以f(x)在在，e上的最小值为上的最小值为

21、f( )2e. ee1所以所以f(x)在在，e上的最大值为上的最大值为0，最小值为，最小值为2e. e函数极值与最值的综合应用函数极值与最值的综合应用 典例引领典例引领 (2019福州市综合质量检测福州市综合质量检测)已知函数已知函数f(x)aln xx ax(aR) (1)若若x3是是f(x)的极值点，求的极值点，求f(x)的单调区间；的单调区间； (2)求求g(x)f(x)2 x在区间在区间1，e上的最小值上的最小值h(a) 2【解】【解】 (1) f(x)的定义域为的定义域为(0，)， 2 x axaaf(x) 2 xa， xx因为因为x3是是f(x)的极值点，的极值点， 183 aa所

22、以所以f(3)0，解得，解得a9， 32 x 9 x9（2 x3）（）（x3）所以所以f(x)， xx33所以当所以当0 x 或或x3时，时，f(x)0；当；当 x3时，时，f(x)0. 22所以所以x3是是f(x)的极小值点，的极小值点， 33所以所以f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(0， )，(3，)， 单调递减区间为单调递减区间为( ，223) 222 x axa（2 xa）（）（x1）(2) g(x)2. xxa当当 1，即，即a2时，时，g(x)在在1，e上为增函数，上为增函数，h(a)g(1)2a1； aaa当当1 e，即即2a2e时，时，g(x)在在1， )上为减函数，上

23、为减函数，在在( ，222aa12e上为增函数，上为增函数，h(a)g( )aln a a； 2242a当当 e，即，即a2e时，时，g(x)在在1，e上为减函数，上为减函数，h(a)g(e)2(1e)ae2e. ? ? ?a1，a2? ?a12综上，综上，h(a)? ?aln 24a a，2a2e. ? ?2? ? ?（1e）ae2e，a2e2 解决函数极值、最值问题的策略解决函数极值、最值问题的策略 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小大小 (2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通求函数最值时，

24、不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论过比较才能下结论 (3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值比较才能确定最值 已知函数已知函数32? ? ?xx，x1，f(x)? ? ? ? ?aln x，x1.(1)求求f(x)在区间在区间(，1)上的极小值和极大值点；上的极小值和极大值点； (2)求求f(x)在区间在区间1，e(e为自然对数的底数为自然对数的底数)上的最大值上的最大值 解：解：(1)当当x1时，时，f(x)3 x2 xx(3 x2)， 2令令f(x)0，解得，解得x0或或x ， 3当当

25、x变化时，变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表： 2x f(x) f(x) (，0) 0 0 极小极小值值 ? ?2? ? ?0，? ? 3? ? ?2 30 ? ?2? ? ?，1? ? ? ?3? ? 极大极大值值 所以当所以当x0时，函数时，函数f(x)取得极小值取得极小值f(0)0，函数，函数f(x)的极大的极大2值点为值点为x . 3(2)当当1x0时，时，f(x)在在1，e上单调递增上单调递增 所以所以f(x)在在1，e上的最大值为上的最大值为f(e)a. 所以当所以当a2时，时，f(x)在在1，e上的最大值为上的最大值为a； 当当a2时，时，f(x)在在1

26、，e上的最大值为上的最大值为2. 利用导数研究生活中的优化问题利用导数研究生活中的优化问题 典例引领典例引领 某食品厂进行蘑菇的深加工，某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为每公斤蘑菇的成本为20元，元，并且每公斤蘑菇的加工费为并且每公斤蘑菇的加工费为t元元(t为常数，为常数，且且2t5)设该食设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元元(25x40)，根据市场调查，根据市场调查，销售量销售量q公斤与公斤与e成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，元时，日销售量为日销售量为100公斤公斤 (1)求该工厂的每日利润求该工厂的每日利润y元与每公斤

27、蘑菇的出厂价元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数元的函数关系式；关系式； (2)若若t5，当每公斤蘑菇的出厂价，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少时，该工厂的每日为多少时，该工厂的每日利润利润y最大？并求最大值最大？并求最大值 xkk【解】【解】 (1) 设日销量设日销量qx，则，则30100 ， ee所以所以k100e ， 100e所以日销量所以日销量qx， e100e （x20 t ）所以所以y(25 x40) xe303030100e（x25）(2)当当t5时，时，y， xe100e（26x）y， xe由由y0得得x26，由，由y0，得，得x26， 所以所以y在区间在区间25，26上单调递增，上单

28、调递增，在区间在区间26，40上单调递减，上单调递减， 所以当所以当x26时，时，yma x100e， 即当每公斤蘑菇的出厂价为即当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每日利润最大，元时，该工厂的每日利润最大，最大值为最大值为100e元元 443030 一列电力机车每小时电的消耗费用与机车行驶速一列电力机车每小时电的消耗费用与机车行驶速度的立方成正比，已知当速度为度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的电时，每小时消耗的电价值价值40元，其他费用每小时需元，其他费用每小时需400元，机车的元，机车的 最高速度为最高速度为100 km/h，机车以何速度行驶才能使从甲城开往乙，

29、机车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？城的总费用最少？ 解：设机车的速度为解：设机车的速度为x km/h，甲、乙两城距离为，甲、乙两城距离为a km. 1由题意，令由题意，令40k20，所以，所以k， 2003a则总费用则总费用f(x)(kx400) x3? ?2400? ? ?12400? ?a? ?kx x? ?a? ?200 x x? ?(0 x100) ? ? ? ? ?a（x 40 000）3由由f(x)0，得，得x20 5. 2100 x当当0 x20 5，f(x)0； 当当20 50. 所以当所以当x20 5时，时，f(x)取最小值，即速度为取最小值，即速度为20 5 km/h时