初三相似三角形知识点以及经典例题

1、相像三角形学问点以及典例学问点 1有关相像形的概念(1) 外形相同的图形叫相像图形，在相像多边形中，最简洁的是相像三角形 .(2) 假如两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相像多边形相像多边形对应边长度的比叫做相像比 相像系数 学问点 2比例线段的相关概念（ 1）在四条线段称比例线段a, b, c, d 中，假如a 和 b 的比等于c 和 d 的比，那么这四条线段a,b,c, d 叫做成比例线段，简注：比例线段是有次序的，假如说a 是 b, c, d的第四比例项，那么应得比例式为：bdca 在比例式a c a : bc : d 中， a、d 叫比例外项，b、c 叫比

2、例内项 , a 、c 叫比例前项，b、d 叫b d比例后项 , 假如 b=c ，即a：bb： d 那么 b 叫做 a、d 的比例中项，此时有 b 2ad ；学问点 3比例的性质（留意性质立的条件：分母不能为0）（ 1） 基本性质： a:bc :dadbc； a : bb : cb2ac 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如adbc ，除了可化为a : bc : d 等；（ 2） 更比性质 交换比例的内项或外项 ：abcda cdcb dba，交换内项，交换外项（ 3）反比性质 把比的前项、后项交换 ：acabcdbdbd（ 4）合、分比性质：b 同时交换内外项

3、 adacbc dbdac典型例题：例题 1：已知线段a 6 cm ， b 2 cm ，就 a、b、 a b 的第四比例项是 cm， a b 与 a b 的比例中项是 cm 例题 2：如ab bc caac m2 ，就 m b学问点 4比例线段的有关定理1. 三角形中平行线分线段成比例定理: 平行于三角形一边的直线截其它两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 .重要结论：平行于三角形的一边, 并且和其它两边相交的直线, 所截的三角形的三边 与原三角形三边 对应成比例. 相像 2. 平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比例.学问点 5相像三角形的概念对应角相等

4、，对应边成比例的三角形，叫做相像三角形相像用符号“”表示，读作“相像于”相像三角形对应边的比叫做相像比 或相像系数 相像三角形对应角相等，对应边成比例注： 对应性：即两个三角形相像时，肯定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较简洁找到相似三角形的对应角和对应边次序性：相像三角形的相像比是有次序的1学问点 6三角形相像的等价关系与三角形相像的判定定理的预备定理(1) 相像三角形的等价关系：反身性：对于任一abc 有abc abc 对称性：如abc a' b' c'，就a' b' c' abc 传递性：如abc a' b'

5、c ，且a' b' c a b c，就abc a b c(2) 三角形相像的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边 或两边延长线 相交，所构成的三角形与原三角形相像定理的基本图形：aa edadebcbc(3)cb1用数学语言表述是：de2de / bc ，ade abc 学问点 7三角形相像的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相像2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边 或两边的延长线 相交，所构成的三角形与原三角形相像3、判定定理1：两角对应相等，两三角形相像a4、判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像5、判定定理

6、3：三边对应成比例，两三角形相像6、判定直角三角形相像的方法：(1) 以上各种判定均适用bdc(2) 假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相像（射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；）222如图， rt abc中， bac=90°， ad 是斜边bc上的高，就ad =bd· dc， ab =bd· bc ， ac=cd· bc ；经典例题：例题1：判定对错：1 两个直角三角形肯定相像吗？为什么？2两个

7、等腰三角形肯定相像吗？为什么？3 两个等腰直角三角形肯定相像吗？为什么？4两个等边三角形肯定相像吗？为什么？5 两个全等三角形肯定相像吗？为什么？例题2：以下能够相像的一组三角形为a. 全部的直角三角形b. 全部的等腰三角形c.全部的等腰直角三角形d.全部的一边和这边上的高相等的三角形例题3：如下列图，已知中， e 为 ab延长线上的一点，ab=3be，de与 bc相交于 f，请找出图中各对相像三角形，并求出相应的相像比.例题4：已知在rt abc 中， c=90°， ab=10 ，bc=6. 在 rt edf 中， f=90°， df=3 ， ef=4 ，就 abc和 e

8、df 相像吗？为什么？2例题5：如下列图，点d 在 abc 的边 ab 上，满意怎样的条件时，acd 与 abc 相像？试分别加以列举.例题6：已知：如图正方形abcd 中， p 是 bc 上的点 ，且 bp=3pc ，q 是 cd 的中点求证：adq qcp例题7：已知：如图，ad 是 abc 的高， e、f 分别是 ab 、ac 的中点求证：dfe abc 例题8：如图， abc 中， cd ab 于 d， e 为 bc 中点，延长ac、de 相交于点 f，求证ac bcaf df例题9：如图，在abc中， ab ac，延长 bc至 d，使得 cd bc，ce bd交 ad于 e，连结 b

9、e 交 ac于 f，求证 affc例题10： 如图， bd 、ce 分别是 abc 的两边上的高， 过 d 作 dg bc 于 g，分别交 ce 及 ba 的延长线于f、 h ，求证：（ 1）dg 2 bg· cg；（2） bg· cg gf · gh 3例题11：如图， abc cdb 90°， ac a， bc b（ 1）当 bd与 a、b 之间满意怎样的关系时，abc cdb？（ 2）过点 a 作 bd的垂线，与db的延长线交于点e，如 abc cdb求证四边形aedc为矩形（自己完成 图形）学问点 8相像三角形的性质(1) 相像三角形对应角相等，

10、对应边成比例(2) 相像三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相像比(3) 相像三角形周长的比等于相像比(4) 相像三角形面积的比等于相像比的平方注：相像三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来运算周长、边长等学问点 9相像三角形中有关证（解）题规律与帮助线作法1、证明四条线段成比例的常用方法：(1) 线段成比例的定义2三角形相像的预备定理3利用相像三角形的性质4 利用中间比等量代换5利用面积关系2、证明题常用方法归纳：（ 1）总体思路 : “等积”变“比例” ，“比例”找“相像”(2) 找相像：通过“横找”“竖看”查找三角形，即横向看或纵向查找的时候一共各有三个不同的

11、字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相像的，就可证明这两个三角形相像，然后由相像三角形对应边成比例即可证的所需的结论 .(3) 找中间比： 如没有三角形 即横向看或纵向查找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上 ，就需要进行“转移” 或“替换” ，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、 等积代换 . 即：找相像找不到，找中间比；方法：将等式左右两边的比表示出来； am , cm m 为中间比 a mc,m , nn 'b nd am , cbndnn'm mn 'm' , nn ' 或

12、mm 'nn 'bndn'(4) 添加帮助线：如上述方法仍不能奏效的话，可以考虑添加帮助线 通常是添加平行线 构成比例 . 以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.注： 添加帮助平行线是获得成比例线段和相像三角形的重要途径；平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相像三角形或比例线段；（ 5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k; 对于等比问题，常用处理方法是设“公比”为k ；（ 6）对于复杂的几何图形，通常采纳将部分需要的图形（或基本图形）“分别”出来的方法处理；典型例题：例题 1： abc def，如 abc的边长分别为5cm、6cm、7cm，而

13、 4cm 是 def中一边的长度，你能求出def的另外两边的长度吗？试说明理由.4例题 2：如下列图，已知abc中， ad是高，矩形efgh内接于 abc中，且长边fg在 bc上，矩形相邻两边的比为 1： 2，如 bc=30cm， ad=10cm.求矩形 efgh的面积 .例题 3： abc 中， de bc ， m 为 de 中点， cm 交 ab 于 n ，如，求例题 4：已知：如图，在abc 与 cad 中， da bc ，cd 与 ab 相交于 e 点，且 ae eb=1 2，ef bc 交ac 于 f 点， ade 的面积为1，求 bce 和 aef 的面积例题 5：如图，已知：ab

14、c中， ab=5， bc=3，ac=4， pq/ab， p点在 ac上 与点 a、c不重合 ， q点在 bc上1 当 pqc的面积与四边形pabq的面积相等时，求cp的长；2 当 pqc的周长与四边形pabq的周长相等时，求cp的长；例题 6：如图， abcd， a=90°， ab=2， ad=5，p 是 ad上一动点 不与 a、d 重合 ， pe bp， p 为垂足， pe交dc于点 e，(1) 设 ap=x， de=y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并指出x 的取值范畴；(2) 请你探究在点p 运动的过程中，四边形abed能否构成矩形？假如能，求出ap的长；假如不能，请说明理

15、由.5学问点 10位似图形有关的概念与性质及作法1. 假如两个图形不仅是相像图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.2. 这个点叫做位似中心，这时的相像比又称为位似比.注：注：（ 1） 位似图形是相像图形的特例，位似图形不仅相像，而且对应顶点的连线相交于一点.（ 2） 位似图形肯定是相像图形，但相像图形不肯定是位似图形.（ 3） 位似图形的对应边相互平行或共线.3. 位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相像比.注：位似图形具有相像图形的全部性质.4. 画位似图形的一般步骤：（ 1） 确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）（ 2）

16、 分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.（ 3） 依据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.（ 4） 顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.注：位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）；外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）（ 5） 在平面直角坐标系中，假如位似变换是以原点o为位似中心， 相像比为 k（ k>0）, 原图形上点的坐标为 （ x,y ）,那么同向位似图形对应点的坐标为kx,k

17、y,反向位似图形对应点的坐标为-kx,-ky,【解答题】1. 如图： ab是 o的直径，ad 是弦，(1) 求证： cd 是 o的切线；dab22.5o ，延长 ab到点 c ， 使得acd2dab (2) 如 ab22 ，求 bc 的长2. 已知：如图，ab为 o的直径， ad为弦， dbc = a.（ 1）求证： bc 是 o的切线；（ 2）如 oc ad， oc交 bd于 e， bd=6， ce=4，求 ad的长 .cdeb oa63. 在 abc 中，点 d 在 ac 上，点 e 在 bc 上，且 de ab ，将 cde 绕点 c 按顺时针方向旋转得到cd e（使bce 180

18、76;），连接 ad、 be，设直线be 与 ac 交于点 o.（ 1）如图，当ac=bc 时 ， ad: be的值为；（ 2）如图，当ac=5 ， bc=4 时，求ad : be的值；（ 3）在（ 2）的条件下，如acb=60° ，且 e 为 bc 的中点，求oab 面积的最小值.aade'od e'd'obecd'bec图图7【填空题】1. 在平面直角坐标系中， abc 顶点 a 的坐标为2，3 ，如以原点o 为位似中心，画 abc 的位似图形 a b c，使 abc 与 a b c1的相像比等于，就点 a 的坐标为22. 如图， abc 与 abc 是位似图形，点o是位似中心，如oa=2a a,s abc=8，就 sabc = 3. 如图，oab 的顶