弹塑性力学-06

1、1应用弹塑性力学应用弹塑性力学 2平面基本方程平面基本方程应力函数应力函数平面问题直角坐标解平面问题直角坐标解-例题例题 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题厚壁筒弹塑性解厚壁筒弹塑性解半无限大平面体问题半无限大平面体问题圆孔孔边应力集中圆孔孔边应力集中 第六章第六章 弹塑性平面问题弹塑性平面问题3平面基本方程平面基本方程在第五章中介绍了求解弹性力学问题的两种基本解法，现在第五章中介绍了求解弹性力学问题的两种基本解法，现在讨论平面问题相应的公式，并分别给出平面应力和平面在讨论平面问题相应的公式，并分别给出平面应力和平面应变两种情况的应力法基本方程和解法示例。应变两种情况的应力法基本方程和解法示

2、例。 平面应力问题平面应力问题0yzzxz),(),(),(yxyxyxxyxyyyxx平衡方程为平衡方程为 00byyxybxyxyxxFyxF边界条件为边界条件为 xx 1xy 2yxy 1y 2ppllll),cos(),cos(21ynlxnl4弹性本构方程弹性本构方程 xyxyxyxyyyxxEGEE)()1211（）（)0 xzyzxzyE（应变协调方程为应变协调方程为 yxxyxyyx22222在应力法中要把应变协调方程在应力法中要把应变协调方程改为用应力分量表示改为用应力分量表示 yFyyxxFxyxbyyxybxxxy222222yFxFxyyxbybxyxy2x122222

3、22若不计体力或体力为常数若不计体力或体力为常数 02yx5平面应变问题平面应变问题 yFFyxbyxbxyx112222若不计体力或体力为常数若不计体力或体力为常数 02yx 结论：注意到相容方程，平衡方程和应力边界条件中都不包结论：注意到相容方程，平衡方程和应力边界条件中都不包含有弹性常数，在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体含有弹性常数，在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体具有相同的边界形状，并受到同样分布的外力，那么，不管这具有相同的边界形状，并受到同样分布的外力，那么，不管这两个弹性体的材料是否相同，也不管它们是在平面应力情况下两个弹性体的材料是否相同，也不管它们是在平面应力

4、情况下或是在平面应变情况下，应力分量或是在平面应变情况下，应力分量 、 、 的分布是相同的分布是相同的（两种平面问题中的应力分量的（两种平面问题中的应力分量 ，以及形变和位移，却不，以及形变和位移，却不一定相同）。一定相同）。xyxyz6推论推论2 2 在用实验方法测量结构或构件的上述应力分量时，可以用在用实验方法测量结构或构件的上述应力分量时，可以用便于量测的材料来制造模型，以代替原来不便于量测的结构或便于量测的材料来制造模型，以代替原来不便于量测的结构或构件材料；还可以用平面应力情况下的薄板模型，来代替平面构件材料；还可以用平面应力情况下的薄板模型，来代替平面应变情况下的长柱形的结构或构件

5、。应变情况下的长柱形的结构或构件。推论推论1 1 针对任一物体而求出的应力分量针对任一物体而求出的应力分量 、 、 ，也适用于，也适用于具有同样边界并受有同样外力的其它材料的物体；针对平面应具有同样边界并受有同样外力的其它材料的物体；针对平面应力问题而求出的这些应力分量，也适用于边界相同、外力相同力问题而求出的这些应力分量，也适用于边界相同、外力相同的平面应变情况下的物体。的平面应变情况下的物体。xyxy7应力函数应力函数一、应力函数一、应力函数 按应力求解应力边界问题时，在体力为常量的情况下，应力分量 、 、 在区域内应当满足平衡微分方程：xyxy00byxyybxxyxFxyFyx（a）以

6、及相容方程0)(2222yxyx（b) 方程（a）的解包含两部分：任意一个特解和下列齐次微分方程的通解。8特解取为：00 xyyxxyyxyx（c）0yF-x-FyF-x-F orxF-y-F00 ory-Fx-F xybybxybybxxbybxxyyxxybyybxx,0（d）00yxyyxxyxfxyfyx（a）9 将齐次微分方程（c）中前一个方程改写为：)(xyxyx根据微分方程理论，一定存在某一个函数 ，使得：),(yxAxAyAxyx（e）（f） xfD,yfCf,DyCxDCxfyyfxzyx,ff使得下式成立一函数对照上式，一定存在某满足关系式和假如函数在一定条件下有设函数10

7、同样将（c）中的第二个方程改写为：)(xyyxy也一定存在某一个函数 ，使得：),(yxByBxBxyy（g）（h）由式（f）及（h）得：yBxA因而一定存在某一个函数 ，使得： )y, x(xByA（i）（j）11将式（i）代入（e），式（j）代入（g），并将式（i）代入（f），即得通解：yx,x,yxyyx22222（k） 将通解（k）与特解（d）叠加，即得微分方程（a）的全解：函数 称为平面问题的应力函数，也称为艾瑞应力函数。yx, yfx, xfyxyyyxx22222（1） 为了应力分量（1）同时也能满足相容方程（b），将（1）代入式（b），即得：022222222)yfxxfy)(

8、yx(yx上式可简化为：022222222)yx)(yx(12或者展开为：024422444yyxx进一步简写为：04（2）二、逆解法与半逆解法二、逆解法与半逆解法逆解法：逆解法：先设定各种形式的、满足相容方程（2）的应力函 数 ，用公式（1）求出应力分量，然后根据应力边界条件来考察，在各种边界形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。 按应力求解应力边界问题时，如果体力是常量，就只须由微分方程（2）求解应力函数 ，然后用公式（1）求出应力分量，但这些应力分量在边界上应当满足应力边界条件。逆解法基本步骤：13半逆解法：半逆解法：针对所要求解的问题

9、，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数 ，然后来考察，这个应力函数是否满足相容方程，以及，原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量，是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足，自然就得出正确的解答；如果某一方面不能满足，就要另作假设，重新考察。设定求出应力分量求出面力（合力）解决什么问题代入代入式（l）应力边界条件确定半逆解法基本步骤：设定导出应力表达式得到正确解答满足边界条件满足04是是否否式（l）应力边界条件14应力函数取一次多项式应力函数取一次多项式cybxa应力分量：0, 0, 0yxxyyx

10、应力边界条件：0yxff结论：（1）线性应力函数对应于无面力、无应力的状态。（2）把任何平面问题的应力函数加上一个线性函数，并不影响应力。平面问题直角坐标解平面问题直角坐标解-例题例题15x3.应力函数 能解决矩形板在 方向受均布拉力（设 ）或均布压力（设 ）的问题。如图3-1（c）。2cy0c0c应力函数取三次式应力函数取三次式3ay对应的应力分量：0, 0,6yxxyyxay（a）MMhl2h2hyxx图xy1结论：应力函数 能解决矩形梁受纯弯曲的问题。如图所示的矩形梁。3ay对应的边界条件如右图所示16应力函数取三次式应力函数取三次式3ay对应的应力分量：0, 0,6yxxyyxay（a

11、）MMhl2h2hyxx图xy1结论：能解决矩形梁受纯弯曲的问题。如图所示的矩形梁。注意,图中每单位宽度上的力偶矩为M 量纲为mT-217MMhl2h2hyxx图xy图10, 0,6yxxyyxay现在考察这些应力分量能否满足边界条件10m;l -h/2y边界上在满足000ffyxyyyxyxxyx100100m;l h/2y0边界上在满足000ffyxyyyxyxxyx10010左右次要边界条件没有得到精确满足根据圣维南原理，在次要边界上，积分边界条件得到满足即可1822223h/233-h/26ayah2M2ayMMa2hhhhhxydyMydyM12h1I , yIMyhM6ay3xyy

12、x注意梁截面惯性矩00123MMhl2h2hyxx图xy图1满足 03aydy6aydyh/2h/2-2hhhhx2222满足 0dy0dyhhhhyx2222因此这就是梁受纯弯曲时的应力分量，但是组成梁端面力的力偶矩必须是图所示的直线分布，解答才是精确的，如果面力按照其它方式分布，解答在端部是不准确的，离开梁端较远的地方，误差可以忽略不计。19特别注意：特别注意： 对于长度 远大于深度 的梁，上面答案是有实用价值的；对于长度 与深度 同等大小的所谓深梁，这个解答是没有什么实用意义的。lhlh12h1I , yIMyhM3xyyx梁截面惯性矩0012320位移分量的求出位移分量的求出 以矩形梁

13、的纯弯曲问题为例，说明如何由应力分量求出位移分量。一、平面应力的情况一、平面应力的情况 将应力分量 代入物理方程0, 0,yxxyyxyIMxyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1)(121得形变分量：0,xyyxyEIMyEIM（a）再将式（a）代入几何方程：yuxvyvxuxyyx得:0,yuxvyEIMyvyEIMxu前二式积分得：)(2),(221xfyEIMvyfxyEIMu（b）（c）其中的 和 是任意函数。将式（c）代入（b）中的第三式1f2f22得:xEIMdxxdfdyydf)()(21等式左边只是 的函数，而等式右边只是 的函数。因此，只可能两边都等于同一常数 。于是有：

14、yxxEIMdxxdfdyydf)(,)(21积分以后得：022012)(,)(vxxEIMxfuyyf代入式（c），得位移分量：022022vxxEIMyEIMvuyxyEIMu其中的任意常数 、 、 须由约束条件求得。0u0v（d）23（一）简支梁（一）简支梁22)(2,)2(yEIMxxlEIMvylxEIMu 如图，约束条件为：0)( , 0)( , 0)(00000ylxyxyxvvu由式（d）得出：代入式（d），就得到简支梁的位移分量：EIMlvu2, 0, 000梁轴的挠度方程：xxlEIMvy)(2)(0MMoxyl图022022vxxEIMyEIMvuyxyEIMu24MMo

15、xyl图022022vxxEIMyEIMvuyxyEIMu（二）悬臂梁（二）悬臂梁 如图，约束条件为：0)( , 0)( , 0)(000ylxylxylxxvvu由式（d）得出：EIMlEIMlvu,2, 0200代入式（d），得出悬臂梁的位移分量：222)(2,)(yEIMxlEIMvyxlEIMu梁轴的挠度方程：20)(2)(xlEIMvy25二、平面应变的情况二、平面应变的情况 只要将平面应力情况下的形变公式和位移公式中的 换为 ， 换为 即可。E21E126简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷 设有矩形截面的简支梁，深度为 ，长度为 ，受均布载荷 ，体力不计，由两端的反力 维持平衡。如图

16、所示。取单位宽度的梁来考虑，可视为平面应力问题。hl 2qqlqlqqllloxy2h2h图 用半逆解法。假设 只是 的函数，挤压应力主要由竖直方向直接载荷引起的，而直接载荷不随横坐标改变而改变，因此只是y的函数，即yy)(yfy则：)y(fx22)y(f)y(xfx1对 积分，得：x)y(f)y(xf)y(fx2122解之，得：（a)（b)其中， 、 是任意函数，即待定函数。)(1yf)(2yf注意： 可以略去常数项， 可以略去一次项(y)f1(y)f227 现在考察，上述应力函数是否满足相容方程。为此，对 求四阶导数：将以上结果代入相容方程，得：42441444244222244420dy

17、)y(fddy)y(fdxdy)y( fdxy,dy)y( fdyx,x0)(2)()()(2122424414244dyyfddyyfdxdyyfdxdyyfd相容条件要求此二次方程有无数的根(全梁内的 值都应该满足它),所以,它的系数和自由项都必须等于零。即：x0)(2)(, 0)(, 0)(2242441444dyyfddyyfddyyfddyyfd28前面两个方程要求：GyFyEyyfDCyByAyyf23123)(,)(（c）将式（c）和（d）代入式（b），得应力函数：2345232326102KyHyyByA)GyFyEy( x)DCyByAy(x（e）02002242441444

18、dy)y(fddy)y(fd,dy)y(fd,dy)y(fd)y(f)y(xf)y(fx2122(b)第三个方程要求：23452610)(KyHyyByAyf（d）4B-12Aydy)y(fd-dy)y(fd224242292345232326102KyHyyByA)GyFyEy( x)DCyByAy(x相应的应力分量为：)GFyEy()CByAy( xyxDCyByAyxKHyByAy)FEy( x)BAy(xyxyyx2323262226262222232223222（f）（g）（h）这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。如果要使全部应力边界条件都满足，除非常数 、 等于特定值，这样以上

19、应力分量才是正确的解答。ABK30 因为 面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于 yz 面。这样， 和 应当是 的偶函数，而 应当是 的奇函数。于是由式（f）和（h）可见：yzxyxxyx0GFE（一）考察上下两边的边界条件0)( ,)( , 0)(222hyxyhyhyyq 将上式代入应力分量表达式，三个应力分量变为： 上式中共有六个待定常数，利用应力边界条件求出。)23(2622)26(2223232CByAyxDCyByAyKHyByAyBAyxxyyx（i）qlqqllloxy2h2h图31整理，得：0430432480248222323ChBAhChBAhqDChBhAhDCh

20、BhAh由于这四个方程是独立的，互不矛盾的，而且只包含四个未知数，所以联立求解，得：2,23,0,23qDhqCBhqA将上面所得常数代入应力分量表达式（i），得：xhqxyhqqyhqyhqKHyyhqyxhqxyyx2362232264623333323（k）（L）（j）qlqqllloxy2h2h图32（二）考察左右两边的边界条件 由于对称性，只需考虑其中的一边。考虑右边：22220)(0)(hhlxxhhlxxydydy（m）（n） 将式（j）代入式（m），得：0)2646(322332dyKHyyhqyhqlhh积分，得：0K 将式（j）代入式（n），得：0)646(322332yd

21、yHyyhqyhqlhh积分，得：hqhqlH103233将式 （l）代入，上式成为：满足。 )236(2223hhqldyhqlyhql 另一方面，在梁的右边剪应力满足：22)(hhlxxyqldy将 和 代入式（j），得：yhqyhqlyhqyxhqX53646323323（p）HK将式 （p）、（k）、（L）整理，得应力分量：)4(6)21)(1(2)534()(6223222223yhxhqhyhyqhyhyqyxlhqxyyx（q）34式（q）可以改写为：bIQShyhyqhyhyqyIMxyyx222)21)(1 (2)534(各应力分量沿铅直方向的变化大致如图所示。 在 的表达式

22、中，第一项是主要项，和材料力学中的解答相同，第二项是弹性力学提出的修正项。对于通常的浅梁，修正项很小，可以不计。对于较深的梁，则需注意修正项。xy 的最大绝对值是 ，发生在梁顶。在材料力学中，一般不考虑这个应力分量。 和材料力学里完全一样。 qxyxyxy图2h2h35楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力问题：问题： 设有楔形体,如图所示，左面铅直,右面与铅直面成角 ，下端无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为 ，液体的密度为 ，试求应力分量。2136采用半逆解法采用半逆解法, ,首先用量纲分析方法来假设应力首先用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式分量的函数形式, ,在楔形体的任

23、意一点在楔形体的任意一点, ,应力分应力分量都将有两部分组成量都将有两部分组成, ,一部分由重力引起一部分由重力引起, ,应当应当与与 成正比成正比, ,第二部分由液体压力引起第二部分由液体压力引起, ,应当应当与与 成正比成正比, ,由于应力的量纲是由于应力的量纲是 , , 和和 的量纲是的量纲是 , ,如果应力分量具如果应力分量具有多项式解答有多项式解答, ,那么那么, ,它的表达式只可能是四项它的表达式只可能是四项 的组合的组合, ,也就是说也就是说应力分量的表达式可能是纯一次多项式应力分量的表达式可能是纯一次多项式. .其次其次, ,应力函数比应力分量的长度量纲高二次应力函数比应力分量

24、的长度量纲高二次, ,应力函应力函数应该是纯三次多项式。数应该是纯三次多项式。 g1g221MTLg1g222MTLgyDgxCgyBgxA2211,因此因此, ,假设假设 3223dycxyybxax不论应力函数的系数怎么取，纯三次多形式的应不论应力函数的系数怎么取，纯三次多形式的应力函数总能满足相容方程力函数总能满足相容方程37体力分量体力分量 gffyx1, 0应力分量的表达式为应力分量的表达式为 cybxyxgybyaxyfxeycxxfyxyyyxx22266222222这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。38边界条件边界条件左面（ ）应力

25、边界条件：0 x000 xxy2xx)( ,gy)(cybxyxgybyaxyfxeycxxfyxyyyxx22266222222代入应力表达式，得代入应力表达式，得 6002622gdccygydy应力表达式简化为应力表达式简化为 bxgybyaxgyyxxyyx2261239bxgybyaxgyyxxyyx22612右边是斜边，它的边界线方程是 tanyx在斜边上没有面力 0yxffsin)2cos(),cos(,cos),cos(ynmxnl0)()(0)()(tantantantanyxxyyxyyxxyyxxlmml0)tan2()2tan6(0)tan2()(12bylgybyay

26、mbymgyl32122cot3cot6,cot2ggagbcotgyy)gcotg( x)cotgcotg(gyyxxyyx212232122将系数代入，得到应力将系数代入，得到应力表达式：表达式： 40各应力分量沿水平方向的变化大致如图所示。注意：注意：1.沿着坝轴，坝身往往具有不同的截面，而且坝身也不是无限长的。因此，严格说来，这里不是一个平面问题。2.对于坝身底部来说，上面的解答是不精确的。3.在靠近坝顶处，以上解答也不适用。xyyx图图图cotgyy)gcotg( x)cotgcotg(gyyxxyyx2122321224102101KrrrKrrrrrrrrr极坐标中的平衡微分方程

27、ruruururrururrrrr11极坐标中几何方程用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题42平面应变情况：rrrrrEEE)1 (2)1(1)1(122 将上式中的 换为 ， 换为 。E21E1极坐标中的物理方程极坐标中的物理方程rrrrrrEGEE)1 (21)(1)(1平面应力情况：43应力分量由极坐标向直角坐标的变换式为：)sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222222rrxyrryrrx2cos2sin22sin2cos222sin2cos22rrxyrrryrrrx)sin(coscossin)(cossincossincossins

28、incos22222222xyxyrxyyxxyyxr44011222222)rrrr(相容方程)r(rrrrrrr11122222), r(极坐标中的应力函数应力分量45)r(轴对称问题应力函数01222rddrrdd 容方程轴对称问题应力函数相DCrrlnBrrlnA22应力函数通解022322122rrr C)rln(BrA C)rln(BrA 轴对称问题应力分量4621E 对于平面应变问题，须将上面公式 换为 ， 换为 。E1cossin4sincos)1 (2)31 () 1(ln)1 (2)1 (1KIHrEBruKICrBrrBrrAEur47 如图，圆环的内半径为a，外半径为b

29、，受内压力qa，外压力qb。为轴对称问题。根据上节有解为:022322122rrr;C)rln(BrA;C)rln(BrA图一、圆环或圆筒受均布压力一、圆环或圆筒受均布压力0)r(rrrrrrrrr111122222DCrrBrrA22lnln厚壁筒弹塑性解厚壁筒弹塑性解48图边界条件为:bbrraarrbrrarrqq)(,)(0)(, 0)(022322122rrr;C)rln(BrA;C)rln(BrAbaqCbBbAqCaBaA2)ln21 (2)ln21 (2249 在这里只有两个方程，而有三个待定常数，需要从多连体的位移单值条件补充一个方程。在环向位移表达式：cossin4KIHr

30、EBru 这样从上面两个方程中可解出A和C，代入应力分量表达式，得到拉密解答：baqCbA;qCaA2222于是:baqC)bln(BbA;qC)aln(BaA22122122中，第一项是多值的，在同一r处， =1和=1+2时，环向位移相差 ，这是不可能的，因此，从位移单值条件必须有B=0。EBr1850babarqbaraqabrbqbaraqabrb222222222222222211111111 下面分别讨论内压力和外压力单独作用的情况。（1）只作用均匀内压时（ ），例如液压缸，上面解答化为：0bqaarqabrbqabrb11,1122222222r51应力分布大致如图所示。当 时，得

31、到具有圆孔的无限大薄板，或具有圆形孔道的无限大弹性体，这时上面的解答成为：baarqraqra2222,（2）只有外压时（ ），例如液压柱塞，上面解答化为：0aqbbrqbaraqbara2222222211,11应力分布大致如图所示。r52二、压力隧洞二、压力隧洞qo,E,Errr 如图所示，受均匀内压力 作用的圆筒埋在无限大弹性体中，圆筒和无限大弹性体的材料不同。试分别讨论两者的应力和位移情况。q 两者都属于轴对称应力问题，采用半逆解法。设圆筒的应力表达式为：CrACrAr2,22253设无限大弹性体的应力表达式为：CrACrAr2,222由应力边界条件求待定常数 、 、 、 。ACAC（

32、1）在圆筒的内表面：qarr)(由此得：qCaA22（2）在无限大弹性体内距离圆筒很远处几乎没有应力。0)( , 0)(rrr由此得：02C（3）在圆筒和无限大弹性体的接触面上，应当有：brrbrr)()(（1）（2）54由此得：CbACbA2222三个方程不足以确定四个常数，下面来考虑位移。 由于圆筒和无限大弹性体都是多连体，并属于平面应变问题，可以写出两者的径向位移的表达式。圆筒：sincos)11 (2)11 (12KICrrAEur无限大弹性体：sincos)11 (2)11 (12KIrCrAEur将以上两式简化后得：sincos)21 (21KIrACrEursincos)21 (

33、21KIrArCEur（3）55在接触面上，两者应具有相同的位移，即：brrbrruu)()(因此有：sincos)21 (21sincos)21 (21KIbAbCEKIbACbE因为这一方程在接触面上的任意一点都应当成立，也就是在 取任何数值时都应当成立，所以方程两边的自由项必须相等。于是有：)21 (21)21 (21bAbCEbACbE简化后，得：0)21 (222bAbACn其中：)1 ()1 (EEn（4）56联立方程（1）、（2）、（3）、（4）求出 、 、 、 ，代入应力分量的表达式，得： ACAC)1 ()21 (1 )1 (2)1 ()21 (1 )1 ()21 (1 )1

34、 ()21 (1 )1 ()21 (1 222222222222nabnrbnqnabnnrbnqnabnnrbnqrr 当 时，应力分布大致如图所示。1nqo,E,Errr57接触方式轴对称问题接触面上的完全接触,非完全接触和摩擦接触三种形式uu;uu;rrrrrr完全接触uu;uu0;rrrr非完全接触rrrrrruu;f;摩擦力摩擦接触58rrrP图 楔形体的中心角为 ，下端为无限长。顶部受集中力P 设楔形体在楔顶受有集中力，与楔形体的中心线成角 。取单位宽度的部分来考虑，并令单位宽度上所受的力为 。 楔形体内一点的应力分量决定于、P、r、，因此，应力分量的表达式中只包含这几个量。P半无

35、限大平面体问题半无限大平面体问题59)(rf代入相容方程后得：0)(d)(d2d)(d122443fffr其中、是无量纲的量，因此根据应力分量的量纲，应力分量的表达式应取PN/r的形式，其中N是、组成的无量纲的量。由应力函数的表达式可以看出应力函数中r的幂次应当比各应力分量的幂次高出两次，因此可设：60求解这一微分方程，得：)sincos(sincos)sincos(sincos)(DCrBrArDCBAfByAxBrArsincos不影响应力，取：其中)sincos(DCr于是得：0)1(0)sincos(21122222rrrCDrrrrrrr61楔形体左右两面的边界条件：0)(, 0)(

36、2/2/ara 上述应力分量满足该边界条件。集中力P按圣维南原理处理，取出任一圆柱面ab，则该截面上的应力和P合成平衡力系：0sinsind:00coscosd:02/2/2/2/PrFPrFryrx将 的表达式代入，可求出C、D，最后得到密切尔解答：r00)sinsinsinsincoscos(2rrrrP622.顶部受有力偶M作用rrr图 设楔形体在楔顶受有力偶，而每单位宽度内的力偶矩为M ，如图。 根据和前面相似的分析，应力分量应为MN/r2的形式，而应力函数应与r无关。)(代入相容方程后，得：0dd4dd122444r求解这一微分方程，得：DCBA2sin2cos6322222222c

37、os2)1(02sin411rCBrrrrBrrrrrr楔形体左右两面边界条件：0)( ,0)(2/2/ara上述应力分量自动满足第一式，根据第二式，可得：cos2BC 力偶可看成反对称力，正应力和应力函数应当是 的奇函数，从而A=D=0,于是：64 集中力偶M按圣维南原理处理，取出任一圆柱面ab，则该截面上的应力与M成平衡力系：cossin20d:022/2/MBMrMro最后得到英格立斯的解答：22)cos(sin)cos2(cos0)cos(sin2sin2rMrMrrr于是：22)cos2(cos202sin4rBrBrrr65xyPro00cos2rrrrP利用坐标变换可得到直角坐标

38、中的应力分量式（2）：rPrPrPxyyx223cossin2cossin2cos2（1）（2） 命楔形体的中心角等于一个平角，这楔形体的两个侧边就连成一个直边，而楔形体就成为一个半平面体，如图。应力分量应力分量0P 当平面体在边界上受有垂直于边界的力 时，在密切尔解答中令 、 。于是得式（1）：图66或将其中的极坐标改为直角坐标而得：222222222223)(2)(2)(2yxyxPyxxyPyxxPxyyx67 板中开有小孔，孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力，称为孔口应力集中。 应力集中的程度与孔的形状有关。一般说来，圆孔孔边的集中程度最低。这里简略讨论圆孔孔口应力

39、集中问题，较为复杂的孔边应力集中问题一般用复变函数方法。rrAb 孔口应力集中还有局部性,一般孔口集中区域,在距孔边1.5倍孔口尺寸(例如圆孔直径)的范围内 圆孔孔边应力集中圆孔孔边应力集中68一、一、 矩形板左右两边受集度为矩形板左右两边受集度为q q的均布拉力的均布拉力rrAb)sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222222rrxyrryrrx就直边的边界条件而论,宜使用直角坐标,就圆孔的边界条件而论,宜使用极坐标,这里主要考察圆孔附近的应力,所以使用极坐标,而首先将直边界换为圆边界,)sin(coscossin)(cossincossincossinsincos22222222xyxyrxyyxxyyxr00,qxyyx,cossinsincosqqqrr2269 设有矩形薄板，在离开边界较远处有半径为 的小圆孔，在左右两边受均布拉力，其集度为 ，如图。a