初三数学第七章解直角三角形导学案2

1、学习目标xx 外国语学校初三数学导学案课题：§ 7.1正切执笔：审核：初三数学备课组1、懂得并把握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值；2、明白运算一个锐角的正切值的方法；学习重点与难点你运算一个锐角的正切值的方法学习过程一、观看回答：如图某体育馆，为了便利不同需求的观众设计了多种形式的台阶；以下图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判定的？图（ 1）图（ 2） 点拨 可将这两个台阶抽象地看成两个三角形答：图的台阶更陡，理由二、探究活动1、摸索与探究一：除了用台阶的倾斜角度大小外，仍可以如何描述台阶的倾斜程度呢？可通过测量bc 与 ac 的长度，再算出它们的比，来说明台阶的倾斜

2、程度；（摸索： bc 与 ac 长度的比与台阶的倾斜程度有何关系？） 答： .争论：你仍可以用其它什么方法？能说出你的理由吗？ 答： .2、摸索与探究二：（ 1）如图，一般地， 假如锐角a 的大小已确定， 我们可以作出很多个相像的rtab 1c1，rtab 2 c2， rtab 3c3，那么有：rt ab 1c1 依据相像三角形的性质，得：b1c1ac1 （ 2）由上可知：假如直角三角形的一个锐角的大小已确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也 ；b3斜边 cb2b1b对边 aa3、正切的定义c 1c 2c 3ca对边 b如图，在 rtabc 中a， c 90°， a、b 分别

3、是 a 的对边和邻边；我们将a 的对边 a 与邻边 b 的比叫做 a ，记作 ；即： tana 4、牛刀小试依据以下图中所给条件分别求出以下图中a 、 b 的正切值；abc1a2c313b5ac1b（通过上述运算，你有什么发觉？5、摸索与探究三： . ）怎样运算任意一个锐角的正切值呢？（ 1）例如，依据书本p39 图 75，我们可以这样来确定tan65°的近似值：当一个点 从点 o 动身沿着65°线移动到点p 时，这个点向右水平方向前进了1 个单位， 那么在垂直方向上升了约 2.14 个单位；于是可知，tan65°的近似值为 2.14；（ 2）请用同样的方法，写出

4、下表中各角正切的近似值；（ 3）利用运算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正切值；（ 4）摸索：当锐角 越来越大时， 的正切值有什么变化？tan10°20°30°45°55°65°2.14三、随堂练习aedc1、在 rt abc 中， c 90°， ac 1，ab 3， 就 tana ， tanb ；2、如图，在正方形abcd 中，点 e 为 ad 的中点 ,连结 eb ，bcab设 eba ，就 tan ；六、拓宽与提高1、如图是一个梯形大坝的横断面，依据图中的尺寸，请你通过运算判定左右两个坡的倾斜程度更大一些？1m1

5、.2m2.5mxx 外国语学校初三数学导学案单位：米 课题：§ 7.2 正弦、余弦（一）执笔：审核：初三数学备课组学习目标1、 懂得并把握正弦、 余弦的含义， 会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值；2、 能用函数的观点懂得正弦、余弦和正切；学习重点与难点在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值；学习过程 一、情形创设1、问题 1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m 后，他的相对位置上升了5m，假如他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置上升了多少？行走 了 a m 呢？2、问题 2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？13m20m二、探究活动1、摸索：从上面的两个问

6、题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时， 它的对边与斜边的比值 ；它的邻边与斜边的比值 ；（依据是 ；）2、正弦的定义如图，在rt abc中， c 90°，我们把锐角a 的对边 a 与斜边 c 的比叫做 a的 ，记作 ，即： sina = . 3、余弦的定义如图，在rt abc中， c 90° ,我们把锐角a 的邻边 b 与斜边 c 的比叫做 a 的 ，记作 = ，即： cosa= = ；（你能写出b 的正弦、余弦的表达式吗？）试试看. 4、牛刀小试依据如图中条件，分别求出以下直角三角形中锐角的正弦、余弦值；5、摸索与探究怎样运算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？（

7、 1） 如书 p42 图 78，当小明沿着 15°的斜坡行走了 1 个单位长度到 p 点时，他的位置在竖直方向上升了约 0.26 个单位长度，在水平方向前进了约 0.97 个单位长度；依据正弦、余弦的定义，可以知道：sin15° 0.26 ， cos15 ° 0.97（ 2）你能依据图形求出sin30 °、 cos30 °吗？ sin75 °、 cos75 °呢？ sin30 ° ， cos30 ° .sin75 ° ， cos75 ° .（ 3）利用运算器我们可以更快、更精确地求得各

8、个锐角的正弦值和余弦值；（ 4）观看与摸索：从 sin15 °， sin30 °， sin75 °的值，你们得到什么结论？ 从 cos15 °， cos30°， cos75 °的值，你们得到什么结论？当锐角 越来越大时，它的正弦值是怎样变化的？余弦值又是怎样变化的？6、锐角 a 的正弦、余弦和正切都是a 的 ；三、随堂练习1、如图，在rt abc中， c 90°， ac 12， bc 5，就 sina ，cosa ， sinb ， cosb ； 2 、 在rt abc 中 ， c 90 ° ， ac 1 ， bc3

9、 ， 就sina ，cosb= ,cosa= ,sinb= .3、如图，在rt abc中， c 90°， bc 9a， ac 12a， ab 15a， tanb= , cosb= ,sinb= 六、拓宽和提高已知在 abc中， a、b、c 分别为 a、 b、 c的对边，且a： b：c 5： 12： 13 试求最小角的三角函数值；xx 外国语学校初三数学导学案课题： §7.2 正弦、余弦（二）执笔：审核：初三数学备课组学习目标1、能够依据直角三角形的边角关系进行运算；2、能用三角函数的学问依据三角形中已知的边和角求出未知的边和角；学习重点与难点用函数的观点懂得正切，正弦、余弦

10、学习过程一、学问回忆1、在 rt abc 中，c 90°，分别写出 a 的三角函数关系式： sina ，cosa= ， tana ； b 的三角函数关系式 ；2、比较上述中，sina与 cosb， cosa 与 sinb ， tana与 tanb 的表达式，你有什么发觉 ；3、练习：如图，在rtabc中， c=90°,bc=6,ac=8,就sina= ,cosa= ,tana= ；如图，在rtabc中， c=90°,bc=2,ac=4,就sinb= ,cosb= ,tanb= ；在 rtabc中， b=90°， ac=2bc,就 sinc= ；如图，在r

11、tabc中， c=90°， ab=10,sina=3 ，就 bc= ；5在 rtabc中， c=90°,ab=10,sinb=4 , 就 ac= ；5如图，在rtabc中， b=90°， ac=15,sinc=23 ，就 ab= ；5在 rtabc中， c=90°， cosa=3， ac=12，就 ab= ,bc= ；二、例题例 1、小明正在放风筝，风筝线与水平线成35°角时，小明的手离地面1m，如把放出的风筝线看成一条线段，长95m，求风筝此时的高度； （精确到1m）（参考数据：sin35 ° 0.57，36cos35°

12、0.8192,tan35 ° 0）.7002例 2、工人师傅沿着一块斜靠在车厢后部的木板往汽车上推一个油桶（如图），已知木板长为 4m，车厢到地面的距离为1.4m ；（ 1）你能求出木板与地面的夹角吗？（ 2）请你求出油桶从地面到刚刚到达车厢时的移动的水平距离；（精确到0.1m）（参考数据：sin20.5 ° 0.305，0 cos20.5 ° 0.93，97tan20.5 ° 0.37）39三、随堂练习1、小明从 8m 长的笔直滑梯自上而下滑至地面，已知滑梯的倾斜角为40°，求滑梯的高度；（精确到0.1m）（参考数据：sin40 °

13、 0.6428,cos40 ° 0，.76ta6n040 ° 0.83）912、一把梯子靠在一堵墙上，如梯子与地面的夹角是68°，而梯子底部离墙脚1.5m，求梯子的长度（精确到0.1m）（参考数据：sin68 ° 0.92，72cos68° 0.374，6tan68 ° 2.4）75五、课外练习1、已知：如图，在rt abc 中， acb 90°，cd ab ，垂足为d， cd 8cm，ac 10cm，求 ab ， bd 的长；2、等腰三角形周长为16，一边长为6，求底角的余弦值；3、在 abc 中， c 90°，

14、 cosb=12,ac 10，求 abc 的周长和斜边ab 边上的高；134、在 rt abc 中， c 90°，已知 cosa12 ，请你求出sina 、cosb、tana 、tanb 的值；135、在 abc 中， c 90°，d 是 bc 的中点， 且 adc 50°，ad 2，求 tanb 的值；（精确到 0.01m）（参考数据： sin50 ° 0.76，60cos50° 0.64，28tan50 ° 1.19）18xx 外国语学校初三数学导学案课题：§ 7.3 特别角的三角函数执笔：审核：初三数学备课组【学习目标

15、】1. 能通过推理得30°、 45°、 60°角的三角函数值，进一步体会三角函数的意义.2. 会运算含有30°、 45°、 60°角的三角函数的值.3. 能依据 30°、 45°、 60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小.4. 经受探究30°、45°、60°角的三角函数值的过程进展同学们的推理才能和运算才能.【学习过程】一、情形创设同学们已经学习了锐角的三角函数，你能分别说出正切、正弦、余弦的定义吗？二、探究活动1 活动一 .观看与摸索你能分别说出30°、 45&

16、#176;、 60°角的三角函数值吗？2. 活动二 . 依据以上探究完成以下表格三角函数值三角函数sin cos tan 三、典例分析30°45°60°例 1：求以下各式的值；（ 1） 2sin30 ° -cos45 ° （2） sin60 °· cos60 °（ 3）sin 230° +cos230°练习：运算 .（ 1） cos45 ° sin30 °（ 2） sin260° cos260°3tan45° sin30 °&

17、#183; cos60 °4cos2 450tan2 30 0例 2. 求满意以下条件的锐角 :(1) cos =322sin=132sin 2 =043 tan 1=02练习：1 如 sin =2 , 就锐角 = . 如 2cos =1, 就锐角 = .22 如 sin = 1 , 就锐角 = . 如 sin =23 , 就锐角 = .23 如 a 是锐角，且tana=3 , 就 cosa= .34 求满意以下条件的锐角 :(1) cos -3 =02-3 tan +3 =0232 cos -2=04tan（ +10°） =35. 已知 为锐角 , 当12无意义时 , 求

18、 tan +15° -tan -15 ° 的值 .tan五. 拓展与延长1. 等腰三角形的一腰长为6 , 底边长为63 , 请你判定这个三角形是锐角三角形、直角三角形仍是钝角三角形.xx 外国语学校初三数学导学案课题：§ 7.4 由三角函数值求锐角执笔：审核：初三数学备课组学习目标：会依据锐角的三角函数值，利用科学运算器求锐角的大小；学习过程： 一、复习回忆1、利用运算器求以下各角的正弦、余弦值（精确到0.01）（ 1） 15°（ 2） 72°（ 3） 55° 12（ 4） 22.5 °2、在 rtabc 中， c90

19、76;， ac=bc ，求：（ 1） cosa（ 2）当 ab=4时，求 bc的长；二、新课学习：1、问题：如图，小明沿斜坡ab 行走了 13cm；他的相对位置上升了5cm，你能知道这个斜 坡的倾斜角a 的大小吗？ba c依据已知条件，有：sina=利用运算器，可以由一个锐角的三角函数值求这个角的大小；依次按键为：结果显示为，得 a（精确到0.01 ）2、例题学习：求满意以下条件的锐角a（精确到0.01°）；cos a1tan a2（ 1）4（ 2）解：（ 1）依次按键，结果显示为，得 a（ 2）三、课堂练习：1、求满意以下条件的锐角a（精确到0.01 °）（ 1） sin

20、 a1（ 2）4cos a0.23（ 3）tan a10（ 2）拓展训练：1、如图，已知秋千吊绳的长度3.5m，求秋千上升1m 时，秋千吊绳与竖直方向所成的角度（精确到0.01 °）o1dbac2、已知，如图，ad 是 abc 的高， cd=16 ， bd=12 ， c 35°（精确到0.01 °）ab dcxx 外国语学校初三数学导学案课题：§ 7.5 解直角三角形执笔：审核：初三数学备课组学习目标：使同学明白解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角两锐角互余 ，边与边勾股定理 、边与角关系解直角三角形；学习过程一、问题情形：如下列图， 一棵大树在

21、一次剧烈的台风中于地面10 米处折断倒下，树顶落在离数根24 米处；问大树在折断之前高多少d米.明显，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分eco的长度为， 10 36所以，大树在折断之前的高为36 米；二、新课（请阅读）hb1解直角三角形的定义；a图7-13任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角， 在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出末知元素的过程，叫做解直角三角形；像上述的就是由两条直角边这两个元素，利用勾股定理求出斜边的长度，我们仍可以利用直角三角 形的边角关系求出两个锐角，像这样的过程， 就是解直角三角形；2解直角三角形的所需的工具；如图 7 12，在 rt

22、 abc 中， acb 90°，其余 5 个元素之间有以下关系：1 两锐角互余 a b2 三边满意勾股定理a2 b2ab3 边与角关系sina c ， cosa sinb c ， tana ，bcota ；a3例题讲解；例 1：在 rt abc 中， c 90°， c 30°， a=5，解直角三角形；例 2： rt abc 中， c 90°， a=104， b=20.49，求（ 1） c 的大小（精确到0.01）2 a、 b 的大小；例 3：如图 7 13，圆 o 半径为 10，求圆 o 的内接正五边形abcde 的边长（精确到0.1）三、课堂练习：1、

23、已知：在rt abc 中， c 90°，b=23 ， c = 4 ， 求（ 1） a；（ 2）求 b 、 a2、求半径为12 的圆的内接正八边形的边长（精确到0.1） .四、拓展练习：1、由以下条件解题：在rt abc中， c=90°：（ 1）已知 a=4， b=8，求 c（ 2）已知 b=10， b=60°，求 a， c （ 3）已知 c=20， a=60°，求 a， b2、已知等腰abc中， ab=ac=13， bc=10，求顶角 a 的四种三角函数值3、在 abc 中， c 90°，求 a、 b、c 边 .xx 外国语学校初三数学导学案课

24、题：§ 7.6 锐角 三角函数的简洁应用（1） 执笔：吴美平审核：初三数学备课组学习目标：通过详细的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系；学习过程：一、复习巩固：1、在 abc中， c=90°， a=45°，就 bc：ac： ab =；2、在 abc中， c=90°；（ 1）已知 a=30°， bc=8cm，求 ab与 ac的长；（ 2）已知 a=60°， ac=3 cm，求 ab与 bc的长；二、例题学习：例 1：“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为 20m，旋转 1 周

25、需要 12min ；小明乘坐最底部的车厢（离地面约 0.5m）开头 1 周的观光， 2min 后小明离地面的高度是多少（精确到 0.1m）？edcba分析：如图，小明开头在车厢点b ，经过 2min 后到了点c，点 c 离地面的高度就是小明离地面的高度，其实就是da 的长度da=ae -解：拓展延长： 1、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达10m？2、小明将有多长时间连续保持在离地面20m 以上的空中？三、课堂练习；书本p551、2四、摸索练习如图，东西两炮台 a 、b 相距 2000 米，同时发觉入侵敌舰 c，炮台 a 测得敌舰 c 在它的南偏东 40°的方向，炮台

26、b 测得敌舰 c 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离 精确到l 米；分析：此题中，已知条件是什么.ab 2000 米， cab 90°cad 50° ，那么求ac 的长是用 “弦”仍是用“切”呢.求 bc 的长呢 .明显，ac 是直角三角形的斜边，应当用余弦函数，而求 bc 的长可以用正切函数，也可以用余切函数；xx 外国语学校初三数学导学案课题：§ 7.6 锐角 三角函数的简洁应用（2） 执笔：吴美平审核：初三数学备课组学习目标：进一步把握解直角三角形的方法，比较娴熟的应用解直角三角形的学问解决与仰角、俯角有关的实际问题，培育同学把实际问题转化为数学问题的才能

27、；学习过程一、给出仰角、俯角的定义如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角；右图中的1 就是仰角， 2 就是俯角；二、例题讲解例 2、为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为27°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为40°；如小明的眼睛离 地面 1.6m ，小明如何运算气球的高度呢（精确到0.01m）a2740c 分析： 1、由题目可知道， 气球的高度就是cd的长加 上 小 明 的 眼 睛 离 地 面h m1.6m2、假设cd 为 h m， bd为 x m，在rt adc和50m

28、bx mdrt bdc 利用正弦列出两个方程求出解：2、课堂练习：书本p 561、23、摸索与探究： 大海中某小岛的四周10km 范畴内有暗礁； 一艘海轮在该岛的南偏西55° 方向的某处，由西向东行驶了20km 后到达该岛的南偏西25°方向的另一处；假如该海轮 连续向东行驶，会有触礁的危急吗？四、拓展训练：1、如图， 为了测量电线杆的高度ab ，在离电线杆22.7 米的 c 处，用 1.20 米的测角仪cd测得电线杆顶端b 的仰角 a 22°，求电线杆ab 的高度；分析：由于ab ae be， ae cd 1.20 米，所以只要求出be 的长度，问题就得到解决 ,

29、在 bde 中,已知 de ca 22.7 米， bde 22°，那么用哪个三角函数可解决这个问题呢 .明显正切或余切都能解决这个问题；2如图， a 、b 是两幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物，b 楼不能到达，由于建筑物密 集，在 a 楼的四周没有开阔地带，为测量b 楼的高度，只能充分利用a 楼的空间， a 楼的各层都可到达且能观察b 楼，现仅有测量工具为皮尺和测角器 皮尺可用于测量长度， 测角器可以测量仰角、俯角或两视线的夹角；(1) 你设计一个测量b 楼高度的方法，要求写出测量步骤和必需的测量数据用字母表示 ，并画出测量图形；(2) 用你测量的数据用字母表示 写出运算 b 楼高度

30、的表达式；分析： 如右图， 由于楼的各层都能到达，所以 a 楼的高度可以测量，我们不妨站在a 楼的顶层测b 楼的顶端的仰角，再测b 楼的底端的俯角，这样在rt abd 中就可以求出 bd 的长度，由于ae bd ，而后 rtace 中求得 ce 的长度，这样cd 的长度就可以求出xx外国语学校初三数学导学案课题：§ 7.6 锐角 三角函数的简洁应用（3 ） 执笔：吴美平审核：初三数学备课组学习目标：使同学知道测量中坡度、坡角的概念， 把握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的学问， 解决与坡度有关的实际问题，进一步培育同学把实际问题转化为数学问题的才能；教学过程一、阅读新学问：如右图

31、所示，斜坡ab 和斜坡a 1b 1 哪一个倾斜程度比 较大 .明显， 斜坡 a 1 bl 的倾斜程度比较大，说明 a a ；从图形可以看出b' c 'a' c 'bc，即 tanal tana ；ac在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度；1坡度的概念，坡度与坡角的关系；如下图， 这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 或坡比 ，记作 i，即 i ac ，坡度通常用l：m 的形式， 例如上图中的1：2 的形式；bc坡面与水平面的夹角叫做坡角；从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i tanb，明显，坡

32、度越大，坡角越大，坡面就越陡；二、例题讲解；例 3 如图，水坝的横截面是梯形abcd ，迎水坡bc 的坡角为 30°背水坡 ad的坡度 i（即 tan）为 1： 1.2, 坝顶宽 dc=2.5m，坝高 4.5m ；求（ 1）背水坡ad的坡角（精确到 0. 1°）； （ 2）坝底宽ab 的长（精确到0.1m）拓展与延长：假如在例题3 中，为了提高堤坝的防洪抗洪才能，市防汛指挥部打算加固坝堤，要求坝顶cd 加宽 0.5m，水坡 ad的坡度 i （即 tan）为 1： 1.4 ，已知堤坝的总长度为5km，求完成该项工程所需的土方（精确到dc0.1 m 3 ）bafe三、课堂训练：

33、书本p581、2、3四、补充练习：1如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2 米，上底的宽是12.51 米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和 28°，求路基下底的宽； 精确到0.1 米 分析：四边形abcd是梯形，通常的帮助线是过上底的两个顶点引下底的垂线，这样，就把梯形分割成直角三角形和矩形，从题目来看，下底ab ae ef bf， ef cd 12.51 米 ae 在直角三角形aed 中求得，而bf 可以在直角三角形bfc 中求得，问题得到解决；解：2如图，一段河坝的断面为梯形abcd ，试依据图中数据，求出坡角；和坝底宽ad ； i ce:ed ，单位米，结果保留

34、根号xx 外国语学校初三数学导学案课题： 回忆与摸索 1执笔：吴美平审核：初三数学备课组教学目标通过复习， 使同学系统地把握本章学问；由于本章的概念比较多，需要记忆的学问也比较多，因此，课前应当让同学先看看书本，以求得较高的复习效率；在系统复习学问的同时，使同学能够敏捷运用学问解决问题；教学过程一、学问回忆（填空）1应用相像测量物体的高度1如图 一，利用光线的平行和物体在地面的投影和物体构成的两个直角三角形相像，从而求得物体的高度；2 如图 二，我们可以利用测角仪测出ecb 的度数，用皮尺量出ce 的长度，而后按肯定的比例尺例如 1:500 画出图形，进而求出物体的高度；2锐角三角函数；如图三

35、 (1) 定义： sina ， cosa ， a， cotab（余切）；ba(2) 如 a 是锐角，就0 sina l ， 0 cosa 1， tina × cota 1，sin2a cos2a 1，你知道这是为什么吗.(3) 特别角的三角函数值；asinacosatanacota 30°45°60°同学们在记忆这些三角函数值时，一方面能由角度求出它的各个三角函数值，另一方面，要能由三角函数值求出相应的角度；(4) 娴熟应用运算器求出锐角三角函数值；(5) 正弦、正切值是随着角度的增大而，余弦是随着角度的增大而(6) 一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值，

36、一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值；正切、余切也一样；二、例题讲解例 1 rt abc 中， c90°， b 60°，两直角边的和为14，求这个直角三角 形的面积；例 2如图， ac bc ，cos adc 45， b 30°ad 10，求 bd 的长；三、练习1rt abc 中， c 90°， a 30°， a 、 b 、 c 所对的边为a、b、c，就 a：b： c a1:2:3b1:2:3c1:3:2d 1:2:32在 abc 中， c 90°， ac 2.1cm，bc 2.8cm；求 :1 abc 的面积；2斜边的长； 3 高 cd.3 rt abc中， c 90°， ac 8， a 的平分线ad 163，求 b 的度数以