函数综合应用

1、函数的综合应用 课前热身1已知 y 关于 x 的函数图象如下列图，就当y0 时，自变量x 的取值范畴是（）y1o 12xa x0b1x 1 或 x2c x1d x1 或1x22在平面直角坐标系中，函数yx1 的图象经过（）a一、二、三象限b二、三、四象限c一、三、四象限d一、二、四象限3. 点p 1，3 在反比例函数yk （ k x0 ）的图象上，就k 的值是（）a 13b 3c13d34、如图为二次函数y ax2bxc 的图象，给出以下说法： ab0 ；方程ax2bxc0 的根为 x1，x3； abc0 ；当 x1 时，12y 随 x 值的增大而增大；当y0 时，1x3 其中，正确的说法有（

2、请写出全部正确说法的序号）【参考答案】1. b 2. d3. b4.考点聚焦学问点一次函数与反比例函数的综合应用；一次函数与二次函数的综合应用；二次函数与图象信息- 1 -类有关的实际应用问题大纲要求敏捷运用函数解决实际问题考查重点及常考题型利用函数解决实际问题，常显现在解答题中备考兵法1. 四种常见函数的图象和性质总结图象特殊点性质一与 x 轴交点次与 y 轴交点（ 0， b）函数(1) 当 k>0 时， y 随x 的增大而增大；2 当k<0 时，y 随 x 的增大而减小 .正与 x、y 轴交点是1 当 k>0 时 ， y 随比原点 0,0；x 的增大而增大， 且直线例经过

3、第一、三象限；函数2 当 k<0 时 ， y 随x 的增大而减小， 且直线经过其次、四象限反与坐标轴没有交1 当 k>0 时，双曲比点，但与坐标轴无限线经过第一、三象限，例靠近；在每个象限内， y 随 x 的函增大而减小；数2当 k<0 时，双曲线经过其次、四象限，在每个象限内， y 随 x 的增大而增大；- 2 -二与x轴 交 点 1 当 a>0 时，抛物线开次口向上，并向上无限延或，其函伸；对称轴是直线x=-中是 方 程数,的解 ， 与y轴 交 点 y 最小值 =；，顶点坐标是(2) 当 a<0 时，抛物线开口向下，并向下无-, ；限延长；对称轴是直线x=-,

4、y最 大 值 =留意事项总结：(1) 关于点的坐标的求法：方法有两种，一种是直接利用定义，结合几何直观图形，先求出有关垂线段的长，再依据该点的位置，明确其纵、横坐标的符号，并留意线段与坐标的转化，线段转换为坐标看象限加符号，坐标转换为线段加肯定值；另一种是依据该点纵、横坐标满意的条件确定，例如直线 y=2x 和 y=-x-3的交点坐标，只需解方程组就可以了；(2) 对解析式中常数的熟悉：一次函数y=kx+b k 0 、二次函数y=ax2+bx+ca 0 及其它形式、反比例函数y=k0, 不同常数对图像位置的影响各不相同，它们所起的作用，一般是按其正、零、负三种情形来考虑的，肯定要建立起图像位置

5、和常数的对应关系；(3) 对于二次函数解析式，除了把握一般式即：y=ax2+bx+ca0 之外， 仍应把握 “顶点式” y=ax-h2+k 及“两根式” y=ax-x1x-x2，（其中 x1,x2即为图象与x 轴两个交点的横坐标）；当已知图象过任意三点时，可设“一般式”求解；当已知顶点坐标，又过另一点，可设“顶点式”求解；已知抛物线与x 轴交点坐标时，可设“两根式”求解；总之，在确定二次函数解析式时，要仔细审题，分析条件，恰当挑选方法，以便运算简便；(4) 二次函数y=ax2 与 y=ax-h2+k的关系：图象开口方向相同，大小、外形相同，只是位- 3 -置不同； y=ax-h2+k图象可通过

6、y=ax2 平行移动得到；当h>0 时，向右平行移动|h| 个单位； h<0 向左平行移动 |h| 个单位； k>0 向上移动 |k| 个单位； k<0 向下移动 |k|个单位；也可以看顶点的坐标的移动,顶点从（ 0， 0）移到（ h,k ，由此简单确定平移的方向和单位；2. 中考中的函数综合题，聊了敏捷考查相关的基础学问外，仍特殊留意考查分析转化才能、数形结合思想的运用才能以及探究才能此类综合题，不仅综合了函数及其图象一章的基本学问，仍涉及方程（组）、不等式（组）及几何的很多学问点，是中考命题的热点善于依据数形结合的特点，将函数问题、几何问题转化为方程（或不等式）问题

7、，往往是解题的关键考点链接1点 ax0 , yo在函数 yax2bxc 的图像上 . 就有.2. 求函数 ykxb 与 x 轴的交点横坐标，即令，解方程；与 y 轴的交点纵坐标，即令，求 y 值3. 求一次函数ykxn k0 的图像 l 与二次函数y2axbxc a0 的图像的交点，解方程组.4二次函数yax 2bxc 通过配方可得ya x2b 24acb，2a4a 当 a0 时，抛物线开口向，有最（填“高”或“低”）点,当x时， y 有最（“大”或“小”）值是； 当 a0 时，抛物线开口向，有最（填“高”或“低”）点,当x时， y 有最（“大”或“小” ）值是5.每件商品的利润p =；商品的

8、总利润q =×.典例精析例 1（重庆市江津区）如图，反比例函数y2 的图像与一次函数yxkxb 的图像交于点a， 2 ，点 b 2, n ，一次函数图像与y 轴的交点为c；- 4 -（1）求一次函数解析式；（2）求 c点的坐标；（3）求 aoc的面积；解析：（ 1）确定一次函数的的关系式的关键是求出点a、点 b 的坐标，分别把a（ m， 2），b（-2 ， n）代入反比例函数的关系式易求出m=1、n=-1 ，由待定系数法确定出一次函数关系式为 yx1的值；（2）令关系式yx1中的 x 为 0 求出 y=1，所以 c（ 0， 1）；（3） aoc的面积等于1 × oc

9、5;1= 1 .22解：由题意：把a（m， 2）， b（ -2 ， n）代入2y中得xm 1n 1a（ 1， 2）b（ -2 ， -1 ）将 a.b 代入 ykxb 中得kb22kb1k1b1一次函数解析式为：yx1（2） c（ 0， 1）- 5 -（3） saoc111122例 2（内蒙古包头）某商场试销一种成本为每件60 元的服装，规定试销期间销售单价不低 于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发觉，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数ykxb ，且 x65 时， y55 ； x75 时， y45 （1）求一次函数ykxb 的表达式；（ 2）如该商场获得利润为w 元，试写出利

10、润w 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）如该商场获得利润不低于500 元，试确定销售单价x 的范畴解析：（ 1）利用待定系数法确定出一次函数ykxb 的表达式；（2）利润 w =每件的利润×销售件数，得w x90 2900 ，依据二次函数的最值问题确定单价为90 元，最大利润为900 元；（3）令 w=500，即 500x2180 x7200 ，解得 x70， x110 ，由于 60 x 87 ，12故单价定为70 元.解：（ 1）依据题意得65kb75kb55，解得 k45.1，b120所求一次函数的表达式为yx120 （

11、2） wx60 x120x2180 x7200 x902900 ，抛物线的开口向下，当 x90 时， w 随 x 的增大而增大，而 60 x 87 ，当 x87 时， w28790900891 当销售单价定为87 元时，商场可获得最大利润，最大利润是891 元（3）由 w500 ，得5002x180 x7200 ，整理得，x2180 x77000 ，解得，x70， x110 12- 6 -由图象可知，要使该商场获得利润不低于500 元，销售单价应在70 元到 110 元之间，而60 x 87 ，所以，销售单价x 的范畴是 70 x 87 例 3（山东烟台）某商场将进价为2000 元的冰箱以24

12、00 元售出，平均每天能售出8 台，为了协作国家“家电下乡”政策的实施，商场打算实行适当的降价措施. 调查说明：这种冰箱的售价每降低50 元，平均每天就能多售出4 台（ 1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元， 请写出 y 与 x 之间的函数表达式； （不要求写自变量的取值范畴）（ 2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（ 3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？x【解析】（ 1）利润 =单价×销售件数，单价为（2400-2000-x ），销售件数为84 ；50（2）令

13、 y=4800，即2 x224 x32004800，解方程得x100， x200 ，老百姓25要想得到实惠，所以取x12200 ；（3）利用二次函数的最值解决.解：（ 1）依据题意，得y24002000x84x，50即 y2 x22524 x3200 （2）由题意，得2 x22524 x32004800 整理，得x23002x00000 解这个方程，得x1100， x2200 要使百姓 得到实惠，取x200 所以，每台冰箱应降价200 元（3）对于 y2 x22524 x3200 ，当 x2415 0 时，2225y最大 值240020001508415050250205000 - 7 -所以

14、，每台冰箱的售价降价150 元时，商场的利润最大，最大利润是5000 元 迎考精炼一、挑选 题1. （四川凉山州）如 ab大致图象可能是（）0 ，就正比例函数yax 与反比例函数yb在同一坐标系中的xyyoxoa byyxoxox cd2 （黑龙江佳木斯）如关于的一元一次方程nx 22 x10 无实数根，就一次函数yn1xn 的图像不经过（）a. 第一象限b.其次象限c.第三象限d.第四象限二、填空题1（湖北十堰） 已知函数yx1 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点c.b，与双曲线yk 交x于点 a.d,如 ab+cd=bc，就 k 的值为k2（内蒙古包头）如图，已知一次函数yx1 的图象与反

15、比例函数y的图象在第一x象限相交于点a ，与 x 轴相交于点 c，ab x 轴于点 b ， aob 的面积为1，就 ac 的长为（保留根号）yaco bx3（青海） 如图，函数yx 与 y4的图象交于a、b 两点，过点a 作 ac垂直于 y 轴，垂x足为 c，就 abc 的面积为- 8 -yacoxb三、解答题1. （河南） 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形abcd的三个顶点b（ 4，0）、c（ 8，0）、2d（ 8， 8） . 抛物线 y=ax +bx 过 a、c 两点 .(1) 直接写出点a 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2) 动点 p 从点 a 动身沿线段ab向终点 b运动，同时点q

16、从点 c 动身，沿线段cd 向终点 d 运动速度均为每秒1 个单位长度，运动时间为t 秒. 过点 p 作 pe ab交 ac于点 e过点 e 作 ef ad于点 f，交抛物线于点g.当 t 为何值时，线段eg最长 .连接 eq在点 p、q运动的过程中，判定有几个时刻使得ceq是等腰三角形 .请直接写出相应的t 值.2. 贵州安顺 已知一次函数ykxbk0 和反比例函数yk的图象交于点a1 ， 12x（1） 求两个函数的解析式；（2） 如点 b 是 x 轴上一点，且aob是直角三角形，求b 点的坐标；3（重庆綦江） 如图，一次函数ykxb k象相交于a.b 两点（1）依据图象，分别写出点a.b

17、的坐标；（2）求出这两个函数的解析式0 的图象与反比例函数ym m x0 的图- 9 -yb1o1xa4. （辽宁锦州）某商场购进一批单价为50 元的商品，规定销售时单价不低于进价，每件的利润不超过40%.其中销售量y 件 与所售单价x 元 的关系可以近似的看作如图所表示的一次函数 .(1) 求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范畴；(2) 设该公司获得的总利润 总利润 =总销售额 - 总成本 为 w 元，求 w与 x 之间的函数关系 式 . 当 销 售 单 价 为 何 值 时 ， 所 获 利 润 最 大 ？ 最 大 利 润 是 多 少 ？ 5（安徽） 已知某种水果的批发单价与批

18、发量的函数关系如图（1）所示批发单价（元）54o2060（ 1）批发量（ kg）（ 1）请说明图中、两段函数图象的实际意义（ 2）写出批发该种水果的资金金额 w（元）与批发量 m（ kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象； 指出金额在什么范畴内， 以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果- 10 -金额 w（元）300200100o204060批发量 m（kg）（ 3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2） 所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮忙该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大日最高销量（

19、 kg）80（6， 80）40（ 7， 40）o246（ 2）8零售价（元）6. （ 山东威海 ）一次函数yaxb 的图象分别与x 轴、 y 轴交于点 m , n ，与反比例函数yk 的图象相交于点xa, b 过点 a 分别作 acx 轴， aey 轴，垂足分别为c , e ；过点 b 分别作 bfx 轴，bdy 轴，垂足分别为f，d，ac 与 bd 交于点 k ，连接 cd （1）如点 a， b 在反比例函数yk的图象的同一分支上，如图1，试证明：x s四边形 aedks四边形 cfbk ；yyna x1，y1 anbm （2）如点 a， b 分别在反比例函数ykeb x2，y2 dkea

20、x1， y1nfmx的图象的不同分支上，如图2，就 an 与bm 仍相等吗？试证明你的结论ocf mx（图 1）ocxd kb x3，y3 （图 2）7. （ 山 东 泰 安 ） 如 图 ， oab 是 边 长 为2的 等 边 三 角 形 ， 过 点a的 直 线- 11 -y3 x3m与x轴交于点 e；（1） 求点 e 的坐标；（2） 求过 a.o 、e 三点的抛物线解析式；（3） 如点 p 是（ 2）中求出的抛物线ae段上一动点（不与a.e 重合），设四边形oape的面 积为 s，求 s 的最大值；8（湖北黄石） 为了扩大内需，让惠于农夫，丰富农夫的业余生活，勉励送彩电下乡，国家打算对购买彩

21、电的农户实行政府补贴规定每购买一台彩电，政府补贴如干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x（元）之间大致满意如图所示的一次函数关系随着补贴款额x 的不断增大， 销售量也不断增加，但每台彩电的收益z （元） 会相应降低且z与 x 之间也大致满意如图所示的一次函数关系1200800y台 200160z元 0400x元0200x元图图（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益z 与政府补贴款额 x 之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益w （元）最大，政府应将每台补贴款额x 定为多

22、少？并求出总收益w 的最大值9. （内蒙古包头）已知二次函数yax2bxc（ a0 ）的图象经过点a1，0 ， b2，0 ，c 0，2 ，直线 xm （ m2 ）与 x 轴交于点 d （1）求二次函数的解析式；- 12 -（2）在直线 xm （ m2 ）上有一点 （点在第四象限），使得 e、 d、b 为顶点的三角形与以 a、 o、c 为顶点的三角形相像，求点坐标（用含m 的代数式表示） ；（3）在（2）成立 的条件下， 抛物线上是否存在一点f ，使 得四边形abef 为平行四边形？如存在，恳求出m 的值及四边形abef 的面积；如不存在，请说明理由yox10. 四川成都 已知一次函数yx象经过

23、点p k ， 5 2 与反比例函数yk，其中一次函数xyx2 的图(1) 试确定反比例函数的表达式；(2) 如点 q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点q的坐标- 13 -【参考答案】一、挑选题1.b2.二、填空题1.342.223.4三、解答题1.1点 a的坐标为（ 4， 8）2将 a4,8 、c（ 8， 0）两点坐标分别代入y=ax +bx8=16a+4b得0=64a+8b解 得 a=- 1 ,b=422抛物线的解析式为：y=- 12x +4x（ 2）在 rt ape和 rt abc中， tan pae=peap= bcab, 即 pe = 4ap8 pe=12ap=12t

24、 pb=8-t 点的坐标为（4+ 12t ， 8-t ） .点 g的纵坐标为：- 12（ 4+ 1221t ） +4（ 4+2t ） =- 1 t 2+8.82 eg=- 1 t8+8-8-t=-1 t 2+t.8 - 180，当 t=4 时，线段eg最长为 2.共有三个时刻.t 1=16 ， t2= 40， t 3=85313252. （ 1）点 a（ 1，1）在反比例函数yk的图象上 ,2x1k=2反比例函数的解析式为：yx- 14 -一次函数的解析式为：y2 xb 点 a（1， 1）在一次函数y2 xb 的图象上 b1一次函数的解析式为y2x1（ 2）点 a（ 1，1） aob=45o

25、aob是直角三角形点 b 只能在 x 轴正半轴上o当 ob1a=90 时，即 b1aob1.111 aob=45oba= obb（ 1， 0）1oo当 o a b 2=90时， aob2=ab2o=45 ,b1 是 ob2 中点,b2（ 2， 0）综上可知， b 点坐标为（ 1， 0）或（ 2， 0）3. （ 1）解：由图象知，点a 的坐标为 6， 1 ，点 b 的坐标为（ 3， 2）m（2）反比例函数y的图象经过点b ，xm 2，即 m6 3所求的反比例函数解析式为y6 x一次函数ykxb 的图象经过a 、 b 两点，16kb23kbk1解这个方程组，得3b11所求的一次函数解析式为yx1

26、34. 解 1最高销售单价为501+40%=70 元.依据题意，设y 与 x 的函数关系式为y=kx+bk 0.函数图象经过点60 ，400 和70 ， 300 ，解得- 15 - y 与 x 之间的函数关系式为y=-10x+1000 ，x 的取值范畴是50x70.2 依据题意， w=x-50-10x+1000，w=-10x2+1500x-50000,w=-10x-752+6250. a=-10，抛物线开口向下.又对称轴是x=75，自变量x 的取值范畴是50x70 ， y 随 x 的增大而增大.当 x=70 时， w 最大值 =-1070-752+6250=6000元.当销售单价为70 元时，

27、所获得利润有最大值为6000 元.5. （ 1）解：图表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按 5 元/kg 批发；3 分图表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4 元/kg 批发（ 2）解：由题意得：w5m （20 m 60），函数图象如下列图4m （ m60）由图可知资金金额满意240 w300 时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果（ 3）解法一：设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量w32040m当 m60 时， x 6.5由题意，销售利润为y x432040m40 x6 24当 x6 时，y最大值160 ，此时 m 80即经销商应批发80kg 该种水果，日

28、零售价定为6 元/kg ，当日可获得最大利润160 元解法二：设日最高销售量为xkg（x 60）就由图日零售价p 满意： x32040 p ，于是 p320x 40销售利润320xyx41 x8021604040- 16 -当 x80 时，y最大值160 ，此时 p6即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6 元/kg ，当日可获得最大利润160 元6. （ 1）ac x 轴， ae y 轴，四边形 aeoc 为矩形bf x 轴， bd y 轴，四边形 bdof 为矩形ac x 轴， bd y 轴，四边形 aedk，dock ，cfbk均为矩形ocx1， acy1， x1 y1k ，s矩

29、形 aeococacx1 y1kofx2， fby2， x2 y2k ，s矩形 bdofoffbx2y2k s矩形 aeocs矩形 bdof s矩形 aedks矩形 aeocs矩形 dock ，s矩形 cfbks矩形 bdofs矩形 dock ，s矩形 aedks矩形 cfbk 由（ 1）知s矩形 aedks矩形 cfbk ak dkbk ck akbkckdkakbckd akb ckd90°，cdkabk ab cd ac y 轴，四边形 acdn 是平行四边形- 17 -ancd 同理 bmcd anbm （2） an 与 bm 仍旧相等s矩形 aedks矩形 aeocs矩形

30、odkc ，s矩形 bkcfs矩形 bdofs矩形 odkc ，又s矩形 aeocs矩形 bdofk ，s矩形 aedks矩形 bkcf ak dkbk ck ckdkakbkkk ，cdk abk cdkabk ab cd ac y 轴，四边形andc 是平行四边形 ancd 同理 bmcd anbm 7. 解：（ 1）作 af x 轴与 fof=oacos60° =1，af=oftan60° =3点 a（ 1，3 ）代入直线解析式，得31m33 ，43m=3 y3 x4333- 18 -当 y=0 时，3 x43033得 x=4，点 e（4， 0）（2）设过 a.o、e 三点抛物线的解析式为yax 2bxc抛物线过原点c=0抛物线的解析式为y3 x2343 x3（3）作 pg x 轴于 g，设p x0， y0 ss aogs fgps pge332y0 x0124x0 y0213x0213y0 23x 253x0 003 x25 222538当 x5 时， s253