灰色系统理论资料1选讲

1、灰色系统理论（选讲）内容：灰色系统理论的产生和发展动态， 灰色系统的基本概念，灰色系统与模糊数学、 黑箱方法的区别，灰色系 GM（ 1，N）模型, 灰色系统模型的检验，应用举例。1.1灰色系统理论的产生和发展动态 1982邓聚龙发表第一篇中文论文灰色控制系统标志着灰色系统这一学科诞生1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速1989海洋岀版社岀版英文版灰色系统 论文集，同年，英文版国际刊物灰色系统 杂志正式创刊。目前，国际、国内 200多种 期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰 色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索 我国学者的灰色系统论著500多次。灰色系 统理论已应用范围已拓展

2、到工业、农业、社 会、经济、能源、地质、石油等众多科学领 域，成功地解决了生产、生活和科学研究中 的大量实际问题，取得了显著成果。1.2灰色系统的基本原理1.2.1灰色系统的基本概念我们将信息完全明确的系统称为白色系 统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信 息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系 统。系统信息不完全的情况有以下四种：1元素信息不完全2结构信息不完全3边界信息不完全4运行行为信息不完全1.2.2灰色系统与模糊数学、黑箱方法 的区别主要在于对系统内涵与外延处理态度不 同；研究对象内涵与外延的性质不同。灰色系统着重外延明确、内涵不明确的 对象，模糊数学着重外延不明确、内涵明确的对象“

3、黑箱”方法着重系统外部行为数据的 处理方法，是因果关系的两户方法，使扬外 延而弃内涵的处理方法，而灰色系统方法是 外延内涵均注重的方法。1.2.3灰色系统的基本原理公理1:差异信息原理。“差异”是信息, 凡信息必有差异。公理2:解的非唯一性原理。信息不完 全，不明确解是否唯一的。公理3:最少信息原理。灰色系统理论 的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。公理4:认知根据原理。信息是认知的 根据公理5:新信息优先原理。新信息对认 知的作用大于老信息。公理6:灰性不灭原理。“信息不完全” 是绝对的。1.2.4灰色系统理论的主要内容灰色系统理论经过10多年的发展， 已基本建立起了一门新兴学科的结构体

4、系， 其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的 理论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体 系、以晦涩序列生成为基础的方法体系，以 灰色模型（G, M）为核心的模型体系。以系 统分析、评估、建模、预测、决策、控制、 优化为主体的技术体系。灰色系统的应用范畴大致分为以下几方 面：1.2.5灰色系统的应用范畴(1) 灰色关联分析。(2) 灰色预测：人口预测；初霜预测； 灾变预测.等等。(3) 灰色决策。(4) 灰色预测控制。1.2灰色关联分析法灰色关联分析是灰色系统理论的一个分 支应用灰色关联分析方法对受多种因素影 响的事物和现象从整体观念出发进行综合评 价是一个被广为接受的方法.一、灰色关联分析的建模

5、过程和机理为 利用灰色关联分析进行综合评价的步骤 是：1. 根据评价目的确定评价指标体系，收 集评价数据设n个数据序列形成如下矩阵:x；(1)x；(2)x；(1)X；xn（i）x；（2） 1(X；, X2,Xn)=1 f99:1x；（m）其中m为指标的个数,（x；（1）,x；（2） , x'(m)T , i= 1,2，,n .Xi =2 确定参考数据列参考数据列应该是一个理想的比较标 准，可以以各指标的最优值 （或最劣值）构 成参考数据列，也可根据评价目的选择其它 参照值记作X。二 Xo(1), Xo 2 , Xo m3 对指标数据进行无量纲化无量纲化后的数据序列形成如下矩阵:l，Z

6、X°（1）x1)Xn（11 X。x/2)X2）(X。, X1，X n = I :aa:,x0(m)x/m)Xn (m)常用的无量纲化方法有均值化法（见（12-3）式）、初值化法（见（12-4）式）和变换等.xi k =xi k(12 - 3)xi kxi kXi 1(12 - 4)i = 0,1, n ; k = 1,2，: m.或采用内插法使各指标数据取值范围（或数量级）相同.例如，某地县级医院病床使用率最高为90%最低为60%我们可以将90%专化10, 60%专化为1,其它可以通过内插法确定其转化值.如80%专化为多少？可进行如下计算:10 - 1 90 - 60x T 80 一

7、 60解之得x=7，即80%专化为7.4 .逐个计算每个被评价对象指标序列（比较序列）与参考序列对应元素的绝 对差值即 xo（k） - x（k）（ k = 1,” ,m i = 1,n为被评价对象的个数）.n m5.确定 nPinm?inlxo(k x(k)与x(k)|n mmax maxi =1 k=16 计算关联系数由（12-5 ）式，分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数.min min x0(k) - xi(k) i(k k+ p max max x0(k) _ Xj(k)i kx°(k) - x(k)+ p max max x0(k) _ xi(k)i k(12

8、- 5k = 1, ,m式中,'为分辨系数，在（0, 1）内取值, :越小，关联系数间的差异越大，区分能力越 强.通常 '取0.5 .当用各指标的最优值(或最劣值)，构成参考数据列计算关联系数时，也可用改进 的更为简便的计算方法：min x0(k) - x；(k)| + p maxx0(k) - x；(k)l(k)x0(k) - x-；(k) + p maxx0(k x；(k)k = 1, ,m改进后的方法不仅可以省略第三步，使 计算简便，而且避免了无量纲化对指标作用 的某些负面影响.如果 x0 (k)为最优值数据列，l (k)越大，越好；如果x0(k)为最劣值数据列，,k)越

9、大，越不好。7.计算关联序对各评价对象(比较序列)分别计算其m 个指标与参考序列对应元素的关联系数的均 值，以反映各评价对象与参考序列的关联关系，并称其为关联序，记为roi :1 mr0i' i(k)i = 1, ,nm k=i用不同，可对关联系数求加权平均值即1 mr°厂Wk (k)(k=1,|,m)m k=i式中Wk为各指标权重。9.依据各观察对象的关联序，得出综合 评价结果.二、灰色关联分析的应用举例利用灰色关联分析对6位教师工作状况 进行综合评价1. 评价指标包括：专业素质、外语水平、 教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤.2. 对原始数据经处理后得到以下数值， 见

10、表(12 3 )表12 3 教师考评数据编号专业外语教学量科研论文著作出勤1898752927875738397966474688843658669838689576483 确定参考数据列：xo二9,9,9,9,8,9,94计算 Xo(k)-Xi(k),见表(12 4 )表12 4绝对差值lx)(kh Xi (k)编号专业外语教学量科研论文著作出勤110124702212426130203352431115635133016161042351n mmin min x()(k)人(k)| = min(0,1,0,1,0,0) = 0i =1 kd1n mmax max x0(k)片(k) = m

11、ax(7,6,5,6,6,5) = 7i =1 k =16依据（12 5）式，取一 0.5计算，得1(1) = 1 0.5 7 = 0.7781(2)1 + 0.5汉 71(3p 0.778(4p 0.636i(6p 0.333i(7p 1.00000.5 700.5 7二 1.0001(5) = 0.467同理得出其它各值，见表（12 5 ）表（12 5）i（k）计算结果编©(1)3(2)£(3)©(4)3(5)3(6)©号i0.71.00.70.60.40.31.01780078366733000.60.70.60.40.60.30.72367836

12、673668781.00.61.00.50.50.40.63003600383812360.50.70.70.70.40.30.54387878781268380.70.50.51.00.70.30.75783838007868780.71.00.40.60.50.40.76780067363812787.分别计算每个人各指标关联系数的均 值（关联序）：r01二 0.7130.778 1.000 0.778 0.636 0.467 0.333 1.0007r02 二 0.614， r03 二 0.680， r04 二 0.599，r05 二 0.683， r06 二 0.658.如果不考虑各指

13、标权重（认为各指标同等重要），六个被评价对象由好到劣依次为1 号 （ r01 = 0.3 ）,5 号 （ r°5=0.6 ）,3 号 （ r°3=0.0 ）， 6，号、（心=0.658 ）， 2号、（心-0.614 ）， 4号、（04 = 0.599 ）.r01r05r03r06r02r041.3灰色系统预测模型灰色预测方法的特点表现在：首先是它 把离散数据视为连续变量在其变化过程中所 取的离散值，从而可利用 微分方程式处理数 据；而不直接使用原始数据 而是由它产生累 加生成数，对生成数列使用微分方程模型。 这样，可以抵消大部分随机误差，显示岀规 律性。1.3.1灰色系统理

14、论的建模思想下面举一个例子，说明灰色理论的建模 思想。考虑4个数据，记为 X (0) (1), X (0) (2), X (0) (3), X (0)，其数据见下表：序号1234符号X(0)(1)X(0)(2)X(0) (3)X(0)(4)数据121.54将上表数据作图得性，其发展态势是摆动的。如果将原始数据 作累加生成，记第 K个累加生成为X(K), 并且X (1) (1)= X(0)(1p 1X (2) = x(0)(1) X(0)(2) = 1 2=3X(1)(3) = X(o)(1) X(o)(2) X(0)(3) T 2 1.5 二 4.5X(1)(4)= x(0)(1) X(0)(

15、2) X(0) (3) X(0)(4) = 1 2 1.5 3 = 7.5得到数据如下表所示上图表明生成数列X是单调递增数列632灰色系统预测模型建立记原始时列序列为M （1, 1）模型灰色系统理论的微分方程成为 Gm模型，G表示gray （灰色），m表示model （模 型），Gm（ 1，1）表示1阶的、1个变量的 微分方程模型。Gm（ 1，1 ）建模过程和机理如下:X S = 7°）（1）, xto）（2）, x"°3）,）（ n 卩 记原始数据序列X（0）为非负序列即 x（0）（k） - 0,k = 1,2, ,n其相应的生成数据序列为XX 1 二 x1 1

16、 ,x1 2 ,x1 3,.,.x1 n :k其中x(1)(k)=x(0)(i),k= 1,2,n、i=1Z为X(1)的紧邻均值生成序列Z 二 z(1)(1),z(1)(2)/ ,z(1)(n)其中Z(k)二 0.5x(k)0.5x(k- 1),k = 1,2, n称 x(0)(k) + az(k) = b 为 Gm(1,1)模型，其中a , b是需要通过建模求解的参数，若T/ (a,b)为参数列，且x(0) (2)-z(1) 1、/'x(0)(3)| - z(1) (3) 1Y = lx (3) | B= |:' 丿：-x<0)( n)，_-z(1)(n)1则求微分方程

17、x(k) az(k)= b的最小二乘估计系数列，满足? (BtB)_1BtYdx(1)称dtax(1)=b为灰微分方程x(0)(k) az(1)(k)= b的白化方程，也叫影 子方程。如上所述，则有dx(1)(1) _、1. 白化方程-df ax = b的解或称时间 响应函数为?(1)(t) = (x(0) b)e at ba a2. Gm(1,1)灰微分方程 x(0)(k) az(k)二 b的时间响应序列为? (k ip (x(0) - b)e ak b ,k = 1,2, naa3. 取 x(0) = x(0) (1)，则>?(1)(k 1)= (x(0)(1)-b)e ak b,k

18、 = 1,2, ,naa4. 还原值X(0)(k 1) = (k 1)- ?(1)(k),k T,2, ,n6.4灰色系统模型的检验定义1.设原始序列X(0) = ：x(0)(1),x(0)(2),x(0)( n)，相应的模型模拟序列为乂(0) = 3?(0)(1),?(0)(2),?(0)(n):，残差序列='(1), (2),(n)=<:x(0) (1) - ?(0) (1), x(0) (2) - ?(2), x(0) (n) - X(0)(n)相对误差序列(1)tx(0)(1)5 x(0)(2)5s(n) 1 = x(0)(n) j(0)1. 对于k v n,(其中，k=

19、1 n)称人z (k)人丨叫n) Ik =盯必为k点模拟相对误差，称n = |旳n)|1 n为滤波相对误差，称”"k为平均模拟相k=1对误差；2. 称1-为平均相对精度，1八n为滤波精度；3给定:，当，且n成立时，称模型为残差合格模型定义2设x为原始序列，熔0)为相应的模 拟误差序列，；为x与0°)的绝对关联度， 若对于给定的；° 0°，则称模型为关联合格模型。定义3设x(0)为原始序列，)?(0)为相应的模拟序列，k为残差序列_ 1 nxx(0)(k)为 x(0)的均值,k =12SinUH2为x的方差,1 nzn k=i（k）为残差均值,1'

20、(k)-2）为残差方差，1. 称7为均方差比值；对于给定的Co 0，当c r。时，称模型为均方差比合格 模型。2. 称 P = P” （k）厂卜0.674$）为小误差概率，对于给定的Po 0,当P Po时，称模型 为小误差概率合格模型。精度检验等级参照表指标临 精度'、临界 度等级相对误差关联度均方差比值小误差概率一级0.010.900.350.95二级0.050.800.500.80三级0.100.700.650.70四级0.200.600.800.60般情况下，最常用的是相对误差检验指标。6.5应用举例例6-1设原始序列X =：x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),x(0

21、)(4),x(0)(5y=2.874,3.278,3.337,3.390,3.679建立Gm(1,1)模型，并进行检验。求x0(6) 的值解：1)对 X(0)作 1-AGO,得(D为x(0)的一次累加生成算子，记为1-AGO，A cumulated Gen erat ing Operato)X(1) = ：x(1),x (2),x(3),x (4),x(1)( 5):=2.874,6.152,9.489,12.579,16.5582)对X(1)作紧邻均值生成，令Z (k) = 0.5x(k) 0.5x(kT)Z ='z(1),z(2),z(3),z(4),z(1)(»二 2.

22、874,4.513,7.82Q11.84,14.718于疋，-z(1)(2)-z-z(1 )(4)_-z(1)(5)11-4.51311- 7.82011 II -11.841I ,彳:-14.7181j一一Yo o o o xxxx- j3.2783.3373.390I c z-x XX4.513 - 7.820 -11.184B B - 1 1 1-4.513 11-14.718- 7.820 11-11.84 1-14.718 1j_423.221- 38.23538.2354(B B) =423.221|-38.235-38.235 '0.017318 0.16554240.1

23、665542 1.832371.1 438.235 1423.2214-38.2352卩38235 423.221| ( 卜 l_ 1 438.235 1I230.96938.235 423.221 J3.2783.33713.3903679一召=(B B)，B Y0.017318 0.165542-4.513 -7.820 -11.184 -14.718o.1665542 1.832371：1111 一3 2780.087386 0.030115 -0.028143 - 0.089344 . 3.33711.085280 0.537833 -0.019051 10.604076 j 3.39

24、0-3.679 J-0.037156_ 3.0653183)确定模型3.065318dx(1)0.037156Xdt及时间响应式?(1)(k ”(x(0)(1)-b)e" baa二 85.3728e°.°37156 82.4 94)求x(1)的模拟值X(1 =去(1),x(2),x(1)(3),x(1)(4),x(1)(5)=(2.8740,6.1058,9.4599,12.9410,16.5538)5)还原出x的模拟值，由)?(0)(k1) = ?(1)(k1)X(k)得 刃(0)= £0)(1),只0)(2),曲(3),只0)(4),炉®=

25、(2.8740, 3.2318, 3.3541, 3.4811, 3.6128)6）误差检验序号实际数据模拟数据残差相对误差x(0)(k)孙0)(“qk)d0)(k)-?0)(k)屮)k x(0)(k)23.2783.23180.04621.41%33.3373.3541-0.01710.51%43.3903.4811-0.09112.69%53.6793.61280.06621.80%号残差平方和Ls-sTs-s-7 -7 -7 -72 3 4 5 zk zk zk zk0.0462= 10.0462 -0.0171 - 0.0911 0.0662】O；_ 0.0662=0.0151085平

26、均相对误差1(1.41% 0.51%2.69% 1.80%)=1.0625%计算X与X的灰色关联度1Z（x0（k）x0（1）石（x0（5）-x°(1)k =2(3.278- 2.874)(3.337 - 2.874)(3.390 - 2.874)丄(3.679 - 2.874)2o.404 0.463 0.516 0.402$=1.78554Zk =21（和“户护-如(3.2318-2.874)+(33541-2.874)+(3.4811-2.874)+ 1 (3.6128-2.874)20.3578 0.4801 0.6071 0.3694=1.81444 _ _ 1 _ _2 (

27、x0(k) x0(1) (?(k)?(1) + (“一/厂&一丫) k =221=(0.3578 -0.404) + (0.4801 0.463) + (0.6071 0.516) + (0.3694 - 0.4025) 2二 -0.0462+0.0171+ 0.091- 0.01655=0.045351 +S+S_1 + 1.7855+ 1.8144_ 4.59991 +S+S十S- s1 十 1.7855 十 1.8144 + 0.045354.64525=0.9902> 0.90精度为一级，可以用x(k 1)=0.037156k2.49860o)(k 1)= ?(k 1)?

28、(1)(k)预例6-2某大型企业1997-2000年四年产值资料年份199719981992000产值(万元)02726729543241183538试建立Gm(1,1)模型的白化方程及时间响应式，并对 Gm(1,1)模型进行检验，预测该企业2001 -2005年产值。解：设时间序列为X(0j 70)(1),x(0)(2),x(0)(3),x(0)(4y= (27260, 29547, 62411, 35388)X(1) = 'x(1)(1),x(2),x(3),x二 27260,56807,89218,1246062)对x作紧邻均值生成，令Z (k)二 0.5x(1)(k)0.5x(

29、k - 1)z(1) = 'z(1),z(2),z(3),z(4)1二 27260,42033.5,73012.5,106912于是，-Z(1)(2)1- 42033.5 18= - z(1) (3) 1 二-73012.5 1-zd) (4) 1- 1069121，x(0) (2)295473241135388对参数列a,b作最小二乘估计，得_ 25790.28? = (B B)1 B Y -0.089995dx(1)设矿 由于a =0.089995, b = 257902可得Gm(1,1)模型的白化方程dxdx0.089995x(1) = 25790.28dt其时间响应式为?(1)

30、(k 1) = (x(0)(1) - b)e_ak b = 313834e0.089995k - 286574|aaI?(0)(k + 1) = ?(1)(k + 1) - ?(k)由此得模拟序列f(O)= #(1),0°)去0)(3),0°):=(27260,29553,32336,35381)检验: 残差序列为(0)= ( (0)(1), (0)(2), (0)(3), (0) (4)=(0,-6, 75, 7)(0)(2)x(0)(2)(0)x(0 )(3)x(0)(4)=(0,0.0000.00231,0.0002)= C 2严 3亠 4)平均相对误差4k 二二 0

31、.00068 二 0.068% 0.01模拟误差 厂0.0002二0.02% 7.01，精度计算x(0)与炉的灰色关联度；S = Z (x(0)(k) x(0)(1) + 1(x(0"4) -x(0)(1) = 11502k=22S=i(x(k)x(1)+£(?(4)x(1) =11429.5k=2231S-S =X 仪0)(k) - 5?(0)(1) - (x(0)(k) - x(0)(1)】+1 (?(0) (4)-00)(1) )_(x(0)(4) _x(0)(1) 心2=72.51 +is+|q+|§_s二 0.9970.901 11502 11429.5

32、1 11502 11429.5 72.5精度为一级计算均方差比_ 1 4x = ' x(0)(k)二 31151.54心1 4Si2 二十(x(k)-x)24心二 9313116.25,0 = 3051.74丁 =(K) = 194心1 4 _S；( (k)2 - 1066.5,s2 = 32.664 k=1所以，S132.663051.74二 0.011 0.35均方差比值为一级计算小误差概率0.6745S厂 2058.40叫1)-寸二 19卜(2)- 订=25*3) - & 卜 56卜(4) - 打=120.95所以，P 二 PL(k)-厂卜 0.6745SJ 二 1>

33、;小误差概率为一级，故可用?(1)(k 1) = 313834e0.089995k - 286574X(0)(k 1) = X>(1)(k 1) - ?(k)进行预测，2001 -2005年预测值为刃(0空0) (5), ?(0) (6), x(0) (7), x(0) (8), ?(0) (9=(38713, 42359, 46318,50712, 55488)例6-3预测实例，已知某企业 2001 -2005年的工业总产值年 22222份001002003004005总1 11121产值.67.51.03.14.99建立Gm(1,1)模型的白化方程，预测2006-2015工业总产值。

34、解：X(0) =，:x(0) (1), x(0) (2), x(0) (3), x(0) (4), x(0) (5):；二 1.67,1.51,1.032.14,1.99x(1) = /(1),x(2), x(3), x(4),x(5)、二 1.67,3.18,4.21,6.35,8.43对x(1)作紧邻均值生成，令Z(k)二 0.5x(k)0.5x(k - 1)Z(1) =，:z(1) (1), z(1) (2), z(1) (3), z(1) (4), z(1) (5):，二 1.67,2.425,3.695,5.28,7.345于疋，-z _z(1)(3) |-z IL- Z(5)1-2

35、.425 -3.695I -5.28-7.345111 ,1-12 3 4 5 /k /k /k /k X17 X17 X17 X17 o o o o z-fk z/k z/k z/kX XXX iL一一丫1.511.032.14-2.425 11 B B - 2.425 - 3.695 - 5.28 - 7.345- 3.695 1B B 一 I 1111丨-5.28 1- 7.345 1J101.361- 18.74518.7 4 54T -1(B B)0.07398 0.34669 _ 0.346691.87471.511B Y - 2.425 - 3.695 - 5.28 - 7.34

36、51.03B 丫1111* 2.14-11.99_ - 33.3833516.67? a (B B-1B Y 0.03798 00.34669 . - 33.38335a b (B B丿 B Y 0.346691.8747_6.67-0.157 _ 0.931dx(1)方程为百-ax(1) =bdx(1)dt-0.157x(1) = 0.931及时间响应式?(1)(k 1(x(0)(1)-b)e-ak baa二(1.67 5.93)e0.157k - 5.93=7.6e0.157k5.93求X(1)的模拟值竞二'x(1),x(2), ?(3),x(1)(4),x(5)1=(1.67,2

37、.962,4.474,6.202,8.311)还原出X(0)的模拟值，由?(0) (k 1p ?(1)(k 1) - :?(1)(k)得 £(0) = £0)(1),?(0)(2)玄0)(3),?(0)(4)玄0)®=(1.67, 1.292,1.512,1.728,2.109)计算X与兄的灰色关联度S卜 *(X(k)-X(1)+2(X(5)-X(1)k=22二 0.17=(-0.61 - 0.64 + 0.47 + J 0.3224iS = L(x(k)xn) + G(x(5) x(1) k=221=- 0.378-0.1580.058 +i 0.4392=0.

38、25854 1S-S (x(k) x(1) - (X(k) X(1)】+ £x(5) - x(1) (?(5) X(1)k=21(-0.378 + 0.16 + (-0.158 + 0.64) + (0.058 - 0.47 + (0.439 - 0.32) 2-0.218+ 0.482 - 0.417+ 0.0595=0.01 + |s| +_1 +0.17 + 0.2585_ 1.42851 +S调十g-S1 +0.17 + 0.2585 + 0.08851.517=0.94> 0.90精度为一级，关联度为一级，可以用:?(1)(k+ 1) = 7.6e0.157k - 5.93、？(0)(k + 1)= ?(1) ( 1) - ? (k)进行预测。)?(1) = 01)(6), 0)(7),?(8),?(9), "(10), ?(1) (11), #0) (12), 5?(1) (13), ?(14), ?(1) (15)?二 10.732,13.565,16.879,20.756,25.293, 30.601,36.811,44.076,52.577,62.523)>?(0) = ?(0) (6), ?(0) (7), ?(0)(8)