311变化率问题1

1、3.1.1变化率问题变化率问题高二数学高二数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用创设情景创设情景 一、已知物体运动的路程作为时间的函数一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体求物体在任意时刻的速度与加速度等在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。四、求长度、面积、体积和重心等。 导数导数是微积分的是微积分的核心核心概念之一它是研究函数增减、变概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。化快慢、最大（小）值等问题最一般

2、、最有效的工具。 导数导数研究的问题即研究的问题即变化率问题变化率问题：研究某个变量相对：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度于另一个变量变化的快慢程度 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了数学中引入了函数函数，随着对函数的研究，产生了，随着对函数的研究，产生了微积分微积分，微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关：微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关：姚明身高变化曲线图姚明身高变化曲线图(部分部分)2.262.12年龄年龄身高身高4710131619220.81.61气气球球膨膨胀胀率率问问题题1 ,)

3、:(:,334rrvdmrlv 之间的函数关系是位单与半径单位气球的体积我们知道 .,343vvrvr 那么的函数表示为体积如果把半径 在吹气球的过程中在吹气球的过程中, 可发现可发现,随着气球内空气随着气球内空气容量的增加容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢气球的半径增加得越来越慢. 从数从数学的角度学的角度, 如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢? ,.,cmrrlv6200110 气球半径增加了时增加到从当空气容积 100.62/.10rrdm l气球的平均膨胀率为 ,.,dmrrll1601221 增加了气球半径时增加到当空气容量从类似地 210.16/.21rrdm l气球的平均膨

4、胀率为.,胀率逐渐变小了它的平均膨随着气球体积逐渐变大可以看出?,均膨胀率是多少均膨胀率是多少气球的平气球的平时时增加到增加到当空气的容量从当空气的容量从思考思考21vv 2121r vr vrvvv高台跳水高台跳水问题问题2 .:,1056942 ttthstmh存在函数关系存在函数关系单位单位与起跳后的时间与起跳后的时间单位单位面的高度面的高度运动员相对于水运动员相对于水在高台跳水运动中在高台跳水运动中人们发现人们发现那么述其运动状态描时间内的平均速度如果我们用运动员某段,v ;/.,.smhhvt054050050500 这段时间里在 ./.,smhhvt28121221 这段时间里在播

5、放暂停停止2121hththvttt 65049,:1?2?t探究计算运动员在这段时间里的平均速度 并思考下面的问题运动员在这段时间里是静止的吗你认为用平均速度描述运动员运动状态有什么问题吗探究过程：如图是函数探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，的图像，结合图形可知， ，所以，所以，) 0 ()4965(hh)/(004965)0()4965(mshhv虽然运动员在虽然运动员在 这段时间里的平均这段时间里的平均速度为速度为 ，但实际情况是运动员仍然，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确

6、描述运动员的运动状态能精确描述运动员的运动状态49650 t)/(0mstho65496598t 2121)()(xxxfxf在例在例2中：对于中：对于函数函数h=-4.9t2+6.5t+10计算运动员在计算运动员在0s到到0.5s内的内的 平均速度平均速度)/(05. 405 . 0) 0( h) 5 . 0( hsmv在例在例1中：对于函数中：对于函数 当空气容量当空气容量从从v1增加到增加到v2时时,气球的气球的 平均膨胀率平均膨胀率)/()()(1212ldmvvvrvr一般地，函数一般地，函数f（x）在区间）在区间x1，x2上的上的 平均变化率平均变化率343vr 2121)()(x

7、xxfxf1212xxxxxx，即表示习惯上用)()()()(1212xfxfyxfxfy，即表示用所以，平均变化率可以表示为：所以，平均变化率可以表示为：xxfxxf)()(111212）（）（xxxfxfxy平均变化率平均变化率: 式子式子 2121()()f xf xxx令令x = x2 x1 , y = f (x2) f (x1) ,则则2121()() y f xf xxxx称为函数称为函数 f (x)从从x1到到 x2的平均变化率的平均变化率.平均变化率的定义：.,相乘相乘与与而不是而不是是一个整体符号是一个整体符号xx11221,;,.xxxxxyf xf x 可把看作是相对于的

8、一个 增量 可用代替类似地,.yx于是 平均变化率可表示为1、式子中、式子中x 、 y 的值可正、可负，但的值可正、可负，但 的的x值不能为值不能为0， y 的值可以为的值可以为0 y x2、若函数、若函数f (x)为常函数时，为常函数时， y =0 理解理解211121()()( )() f xf xf xxf xxxx3、变式、变式:2121()() y f xf xxxx 观察函数观察函数f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率 表示什么表示什么?121()()f xf xxx2xyobx2f (x2)ax1f (x1)f (x2)-f (x1)x2-x1直线ab的斜率y=f (x)思考

9、 ?,1 . 1 . 11212表示什么变化率平均图的图象观察函数思考xxxfxfxyxfoxy 1xf 2xf xfy 12xfxf 12xx 1x2x111 .图图直线直线ab的斜率的斜率ab思考例例 (1) 计算函数计算函数 f (x) = 2 x +1在区间在区间 3 , 1上的平均变化率上的平均变化率 ；(2) 求函数求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。的平均变化率。(1)解：解：y=f (-1)- f (-3)=4 x=-1- (-3)=2422yx(2)解：解：y=f (x+x)- f (x) =2x x+(x )2 22()2yx xxxxxx 题型一：求函数的平均变

10、化率题型一：求函数的平均变化率练习1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点a(-1,-2)及临近一点b(-1+x,-2+y),则y/x=( ) a . 3 b . 3x-(x)2 c . 3-(x)2 d . 3-x d3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2.t2质点运动规律s=t +3,则在时间(3,3+ t)中相应的平均速度为( )9a. 6+ t b. 6+ t+ c.3+ t d.9+ tax+2x0小结：小结： 1.函数的平均变化率函数的平均变化率l2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量：y=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率：1212)()( y xxxfxfx1212)()( y xxxfxfx（1）1, 3;（2）1, 2;（3）1, 1.1;（4）1, 1.001; （5）1, 1.0001; 一一运动运动质点的位移质点的位移s与时间与时间t满足满足s(t)=t2,分别计算分别计算s(t)在下列区间上的平均变化率在下列区间上的平均变化率.(位移单位为位移单位为m,时间单位为时间单位为s)