二次函数论文

1、目 录1 引言12 文献综述12.1国内外研究现状12.2国内外研究现状评价22.3 提出问题23 数形结合的概述24 数形结合在高中二次函数中的运用34.1运用数形结合研究二次函数的性质34.2 数形结合在二次函数与相关知识中的综合运用44.2.1利用二次函数图象讨论一元二次不等式的解44.2.2利用二次函数图象讨论二次方程根的分布问题44.2.3利用二次函数图象讨论特殊三角函数式64.2.4巧用二次函数图象讨论含绝对值的二次函数问题84.2.5巧用二次函数图象讨论等差数列求和问题94.2.6巧用二次函数图象讨论二次函数与对数函数的复合问题114.2.7巧用二次函数图象讨论二次函数与一次函数

2、的交汇问题134.3运用数形结合求解问题误区的探讨145结论165.1主要发现165.2启示和意义165.3局限性165.4努力方向176参考文献18 1引言 数学是一种古老而又年轻的文化，人类从蛮荒时代的结绳计数，到如今用电子计算机指挥宇宙航行，无时无刻不受到数形结合思想的恩惠和影响.进入21世纪，我国数学课程中关于数学学习的理念发生了深刻地变化，数学教学的主要目的和任务早已不是简单的知识和方法的传授，而是通过数学学习在传授知识与方法的同时培养学生的数学能力.在促进学生数学学习过程中，加强数与形的结合,能化繁为简，对于帮助学生开阔思路,突破思维定势有积极的作用，能加深学生对知识的理解.二次函

3、数是初高中教材中一个重要的内容，同时二次函数也是高考命题的重点，如何让学生对二次函数了解更加的深刻透彻.本论文运用数形结合思想对高中二次函数做了更深一步的研究，主要有运用数形结合研究二次函数的性质、利用二次函数图象讨论一元二不等式的解、利用二次函数图象讨论二次方程根的分布问题、利用二次函数图象讨论特殊三角函数式、巧用二次函数图象讨论含绝对值的二次函数问题、巧用二次函数图象讨论等差数列求和问题、巧用二次函数图象讨论二次函数与对数函数的复合问题、巧用二次函数图象讨论二次函数与一次函数的交汇问题和运用数形结合求解问题误区的探讨这几个方面论述.2文献综述2.1国内外研究现状查阅相关文献，众多数学教育者

4、从不同角度和侧面探讨了数形结合在教学、解题及函数中的应用.王丰霞在文献1中浅谈了构造数形结合培养创新思维.张冰、杨光在文献2-3中浅谈了数形结合的概念及培养学生数形结合的兴趣.孙雪梅、王雨来、朴林玉等在文献4-6中浅谈了数形结合在解题中的应用.周建涛，姚爱梅在文献7-8中讲了高中数学教学中数形结合的有效应用.李德军在文献9中讲了二次函数在高中数学教学中的应用.曹学才、杨渭清、李一淳等人分别在文献10-18中谈论了数形结合思想可以在许多知识中都有应用.张武在文献19中对“数形结合”解题误区的认识与思考给出了自己独特的见解.2.2国内外研究现状评价在所查阅到的国内外参考文献1-19中，教育者们对数

5、形结合在二次函数中只针对二次函数中的某一问题作了相应的介绍，并未给出较为深入系统的研究.数形结合思想在高中二次函数中的应用非常广泛，对数形结合在高中二次函数中的综合应用进行深入研究，使之形成完整的体系，对今后利用数形结合思想在二次函数教学、解题及其在高考中的应用具有重要的意义.2.3提出问题数学结合不仅是一种重要的解题方法，而且是一种基本的、重要的数学思想.同时二次函数也是高中比较重要的一个内容，为了促进学生对这种思想方法在高中二次函数中的综合应用，数学教师应该怎样在二次函数教学及二次函数与其他知识综合中渗透这种思想方法呢？本论文在参考相关文献的基础上对这个问题进行了系统的阐述. 3数形结合的

6、概述数学研究的对象可以分为两个方面，一个方面是数，一个方面是形，但是数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合，他们是数学的两大基石.我国著名数学家华罗庚先生指出：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.“数”与“形”反映了事物两个方面的属性,我们认为:数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.【2】【3】 在数学思想中，数形结合的思想从渗透到形成和应用，经历了三个主要阶段：(1)

7、数-形对应：它是数形结合的基础.主要通过初中、高一、高二、高三阶段的学习逐步领悟和掌握的.(2)数-形转化：它体现了数与形的关系在解决问题的过程中，如何作为一种方法而得到运用的.在新授课时这类例子已相当普遍（例如解法、图解法等）. (3)数-形分工：这里指的是把应用数形结合思想作为解决问题过程中的一种策略，是数学规律性与灵活性的融合.从内容上看，数形结合的渠道主要有：(1)平面几何中的一些算法（主要是与解三角形有关的计算）；(2)解析几何中点与坐标、曲线与方程、区域（区间）与不等式的对应；在数学中，数形结合的具体方法有：解析法、三角法、图解法等；(3)函数与它的图象以及有相关的几何变换：(4)

8、三角函数的概念：负数的几何意义.4 数形结合在高中二次函数中的运用4.1运用数形结合研究二次函数的性质 数形结合是一种重要的教学思想方法，它在数学教学中主要表现在把抽象的数量关系，转化为适当的几何图形，从图形的直观特征发现数量之间存在的联系，以达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的，使问题简捷的得以解决.而函数在初高中数学教学中占了很主要部分，学好二次函数对于学好数学也就至关重要了.下面主要从三个方面进行阐述.(1)利用二次函数理加深解函数概念.初中讲述了函数的定义、一次函数、正比列函数、反比例函数，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着学习了函数概念，主要是用映射观点来阐述函数，这时

9、就可以用学生已经了解地函数，特别是二次函数来加以更深刻的认识函数的概念.二次函数是从一个集合B（定义域）到集合C（值域）上的映射:使得集合C中的元素(a0）与集合B的元素x对应，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识.(2)利用二次函数的图象研究与二次函数有关的函数性质.在高中学习单调性时，必须要对二次函数（a0）在区间(-，及k,+)上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严格理论的基础上，进一步利用函数图象的直观性，使学生逐步自觉的利用二次函数的图象研究其他函数的最值.(3)利用二次函数三个二次关系的知识训练数学思维.作为二次函数，它有丰富的内涵和外延.作为最基本的幂函数，可以以

10、它做代表来研究函数，二次函数可以与三角函数、等差数列求和、不等式等建立起联系，可以编出各种各样的数学问题，考查学生的基础知识.【9】4.2 数形结合在二次函数与相关知识中的综合运用4.2.1利用二次函数的图象讨论一元二次不等式的解 二次函数（a>0）与的相互位置关系有三种情况.利用二次函数图象讨论二次函数与一元二次不等式的关系.(1)当时，二次函数与轴有两个交点，不等式解集是| < 或 > ，不等式的解集是| .(2)当时，二次函数与轴有1个交点，不等式的解集是| - ，不等式的解集是空集.(3)当时, 二次函数与轴没有交点，不等式的解集是，不等式的解集.对于二次项系数是负数

11、（ 即0 )，可以把二次项系数化成正数，然后在按照上面的形式三种形式比较.例1任意实数, 不等式(2m - 1)x2+(m +1)x+m -4>0 都成立，求 m 的范围. 分析：右图说明为任意实数时 都成立,解这个问题时，常感到无从下手.其原因是单纯从代数角度及不等式本身考虑时很抽象,很难找到解决问题的切入点.如果结合图象考虑,可以发现：(1)图象与x轴没有交点；(2)抛物线的开口上. 图1 解：由题意得不等式组： 解得 m >5 时，x 为任意实数，原不等式都成立 评析：通过图象可以知道开口向上，并且它与x轴没有交点，由此可以根据二次函数的判别式解决此题.4.2.2利用二次函数

12、图象讨论二次方程根的分布问题一元二次方程ax2+bx+c（a0）的根与判别式=b2-4ac有关系，它的解按照,分为三种情况，二次函数y= ax2+bx+c（a0）与x轴的交点也有三种情况，下面讨论一下二次函数与一元二次方程之间的关系.（1）时,二次函数的图象与x轴有两个交点(x1 ,0),(x2 ,0),相应的一元二次方程有两个不等的实数根, 。（2）时，二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1 ,0) ,相应的一元二次方程有两个相等的实数根.(3)时，二次函数的图象与x轴没有交点，相应的一元二次方程没有实数根. 根据二次函数(a0)与 轴的交点情况就可以确定方程的实根的情况,即通过 与的相互转

13、化,利用函数 = 0的图象可以直观解决问题例2 a为何值时,方程 2 a 2 + 2a+1-a2=0的两根在( - 1,1)之内？ 图2 分析：显然 a20,我们可从已知方程联想到相应的二次函数的草图,从图象上我们可以看出,要使抛物线与x轴的两个交点在(-1,1)之间必须满足条件： 即从而可解得a的取值范围为a 或 a-且 a ±1.例3 已知方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实数根满足0<x1<1<x2<2，试求k的范围. 图3 分析:如果我们试图对这个题目用判别式和韦达定理求解，无疑是钻进了死胡同！如把它与二次函数的图象联系起来，问题就明朗

14、多了. 解:设二次函数=7x2-(k+13)x+k2-k-2因a=7>0,如图3所示，要使0<x1<1<x2<2必须有 解得-2<k<-1或 3<k<4. 在解一元二次方程问题时，我们有些时候感到无从下手. 这时候我们可以利用二次函数的草图，把一元二次方程和二次函数结合起来，一元二次方程问题就很容易解决.4.2.3利用二次函数的图象讨论特殊三角函数式三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数.它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义为整个实数域.高中重点研究过三角函数

15、的单调性，且有同一角的正弦值平方加余弦值平方和为1.所以特殊三角函数式经常与二次函数的单调性,有界性等相结合.即利用三角函数的性质进行转化.例4求函数y=sinm-cosm+sinmcosm的最值. 分析：本题可设sinm-cosm=n,再借助关系（sinm-cosm）2 =1-2sinmcosm将sinmcosm也用n表示，从而可将原函数转化为关于n的二次函数问题. 解设sinm-cosm=n（n(）,则sinmcosm=.于是原函数可化为y=,n(.n=-时，;当n=1时,=1 例5已知函数，= 2n·sint 2cos2t + -4n+3,n(-,2的最小值为n2+1,求函数的

16、最大值及取得最大值时的t值. 分析：首先要统一变元，由于有正弦一次项，故cos2t要化为1-sin2t,若再设m=sint,则y=2m2+2mn+-4n+1,m-1,1.问题转化为求闭区间-1,1上的一个二次函数的最值问题.这类问题首先要讨论对称轴与闭区间的相对位置. 解：设m=sint,则y=2m2+2mn+-4n+1，m-1,1.对称轴方程为m=-n<2,-1(1)0<n<2时，-1,0.t当0<n<2时，-1,0.t这时，ymin=-4n+1n=0ymax=3取得最大值时，t=2k±，kZ. 图 4当-2<n<0时，-（0,1(2) -

17、2<n<0时，-（0,1.这时，ymin=-4n+1n=0 图 5tymax=3取得最大值时，t=2k±，kZ.(3)n<-2时，-（1,+）当n<-2时，-（1,+） 这时，函数在-1,1上递减，ymin= = -2n+3 图 6tn2+4n-4=0解之，n=-2-2且ymax= -6n+3 = =21+16.取最大值时，t=2k-，kZ.综上所述，得n的取值（-，-2）-2,2y的最大值21+163t的值2k-，kZ.2k±，kZ4.2.4巧用二次函数图象讨论含绝对值的二次函数问题 图7绝对值是初高中的知识点，单独的绝对值和二次函数是很简单的，如

18、果把绝对值与二次函数组合起来，是比较复杂的复合的函数，对于这一去绝对值的分段函数，我们要把它按照直线x=a相对于两个抛物线的对称轴的位置分类讨论，借助于图象可有效的帮助解题. 例6求函数y=x2+|x-a|+1的值域. 解：y= 图8 = (1) 当a-时，如图7知 y-a(2) 当-<a<时，如图8知=a2+1 图9(3) 当a>时，如图9知-+a综合所述：当a-时，值域为-a,+)当-<a<时,值域为a2+1, +) 当a>时,值域+a, +)单纯的绝对值问题很简单，但是在二次函数中含有绝对值，问题就变得复杂，我们在解决这类问题是利用二次函数的图象分类讨

19、论的方法解决问题.4.2.5巧用二次函数图象讨论等差数列求和问题 数列和函数的结合是当今高考命题的重点与热点，同时数列也是一类定义在正整数集或它的有限子集上的特殊函数，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义.在解决数列问题时应该充分利用函数的图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，关注他们间的内在联系，从而有效的解决数列问题.对此类问题的分析，不但可以使学生进一步巩固函数性质，而且可以让学生提高解决数列问题的视野.等差数列前n项和公式，经过化简得Sn=,此公式可以看做n的二次函数，并且常数项为0，所以此式可以写成y=,在做数列问题，特别是等差数列前n项和公式问题时，有时候很难入手，这时我们可以

20、尝试联系二次函数的性质与图象，可以使数列问题很轻松的得到解决.例7 设等差数列的前n项和Sn,已知a3=12,>0 , . (1)求公差d的取值范围.(2) 指出，· ··中哪一个值最大，并说明理由. 图10 解：（1） 依题意 = 12 = +2d 且 联立解得 (2)>0,<0=的图象如图10所示，抛物线（0，0）点，不妨设另一交点为（n,0）且12<n<13.6<<6.5而此函数图象的对称轴方程为x=且n N . 最大.例8 在等差数列an中，S是其前n项和，公差为d0,mn.(1)若am=n ,an=m, am+n

21、=_;(2)若Sm=Sn，Sm+n=_. 解：（1）由an = a1+(n-1)d=nd+( a1 -d)可知：an是关于n的一次式，则三点（m, am）,（n, an）、（m+n, am+n）共线，根据任意两点斜率相等得am+n=0. 图11 （2）由=可知：Sn是关于n 的二次式，且无常数项,令= ,则=0,而 ， ,则x=为此二次函数图象的对称轴，此,即Sm+n=0. 注：此题可以用其它很多方法来解决，但是我们从中不难看出发现发现利用函数图象更直观简便.例9 知Sm是等差数列am的前m项和，若S3=S5 ，S8的值. 解：因=，故当d 0时，不妨设d>0,(m, Sm)是分布在抛物

22、线= 上的一些离散点，如图12所示.由S3=S5，可知抛物线关于直线m=4对称，故S8=0，综合上述，可知S8=0. 图12 等差数列前n项和公式（其中），此公式可以看做是n的二次函数，且常数为0.我们在解决等差数列求和问题是可以尝试着和二次函数的性质与图象联系，可以使问题很轻松的得到解决.4.2.6巧用二次函数图象讨论二次函数与对数函数的复合问题 对于一般的对数函数中有关定义域、值域以及单调性问题我们能够比较熟练的解决 , 但是我们在遇到的一些问题中往往对数函数不是单独出现的，它总是和其他函数同时出现，特别是二次函数，那么如何来解决这类比较复杂的问题呢？这就是这一小节所要讲的内容，首先强调一

23、点，做任何题，不管是简单的还是复杂的 , 关键的是抓住其基本性质，尽量把问题转化到为熟悉的情况下进行解决.对数函数和二次函数结合起来是最常见的复合函数.我们在考虑这类复合函数问题的时候，要仔细分析各函数的定义域和值域以及复合后的定义域和值域的变化.对数与二次函数复合主要三大点问题.(1)对数和二次函数交汇成复合函数问题的单调性.例10（天津卷）已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称,记若在区间上是增函数，则实数m的取值范围是（） A B C D 解析：已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，则，记=当m>1时，若在区间上是增函数，为增函数，令，v, ，要求对称轴，矛盾；当0&

24、lt;m<1时，若在区间上是增函数，为减函数，令，v,，要求对称轴，解得,所以实数m的取值范围是,选D.(2)对数与二次函数交汇成复合函数问题的条件最值. 例11设不等式2(logm)2+9(logm)+90的解集为t，求当mt时函数f(m)=(log2)(log2)的最大、最小值 解 2(m)2+9(m)+90(2m+3)( m+3)0 3m 即 ()3m()()m()3,2m8即=m|m2,8又=(log2m1)(log2m3)=log22m4log2m+3=(log2m2)21 2m8,log2m3当log2m=2,即m=4时ymin=1;当log2m=3,即m=8时，ymax=0

25、(3)对数和二次函数交汇成复合函数问题的定义域、值域. 例12已知函数（1）若定义域为，求的取值范围.（2）若值域为，求的取值范围.解：（1）由题意知，对任意实数x恒成立所以解得 (2）设，则因为函数的值域是所以解得 评注：这是一个由对数函数与二次函数复合而成的“对数型函数”的问题,由对数函数的图象与性质不难得到.前者是当x取任意实数时，二次函数v的值恒为正数,故应有；而后者是要求在复合函数的定义域内，二次函数的值域是,故应有0. 二次函数与对数函数的复合问题很复杂,在解决这类问题时，我们要抓住基本性质，把问题转化到我们熟悉的形式.4.2.7巧用二次函数图象讨论二次函数与一次函数的交汇问题 一

26、次函数和二次函数作为一种简单而基本的初等函数,不论在初中还是高中都非常重要,也是初高中具体数学内容中联系最密切的内容. 在现实生活中，一次函数和二次函数是一类重要的函数，初中就学习了这两个函数，但主要是在“看”的层面进行研究与认识.在高中阶段，一次函数与解析几何中直线方程有密切联系，二次函数是理解映射角度下的函数概念、函数单调性、奇偶性等概念的重要函数模型.在高考中一次函数与二次函数不会单独的出现，它们往往是相互交合起来.例13设函数 若互不相等的实数,满足 ，求的取值范围.图13xy0图13 解：如图13，在同一直角坐标系中分别画出,和的图象，从图可以看出，关于直线=2对称，所以.函数顶点坐

27、标为2，此时对应的，所以，故= 二次函数与一次函数的交汇问题是一个重要的问题，他们的结合也是高考的命题之一.4.3运用数形结合求解问题误区的探讨 数形结合不仅是一种重要的数学方法，更是一种重要的数学思想，它贯穿数学发展的每一个阶段.数形结合在数学中占有举足轻重的地位，加强数形结合教学对提高学生的思维能力，解题技巧以及解题速度有重大作用.但是许多的学生运用数形结合思想解觉与二次函数有关的数学问题时，许多学生往往由于思维定式、画图不准确、不全面，逻辑性偏面转化不等价等原因，导致出现错误.本节对运用数形结合思想时，容易出现的一些常见的误区的分析. 误区一.画出的图象不精确性 .在运用数形结合思想解题

28、时，由于思维定式，画图不准确，造成了视觉的误差.误区二.注意数与形转化不等价.利用数形结合解决数学问题时，要注意转化的等价性，由“形”观察“数”，由“数”构成“形”，在这转化过程中要注意它，不然会造成转化不等价问题.例14 已知方程a·sin2x+cosx+-a=0,有两个相异实根，求实数a的取值范围.误解：原方程化为a cos2x-cosx-=0,设=am2-m-,(这里cosx=m,m-1,1.原方程在区间0,2内有两个相异实根，等价于=0在(-1，1)内有且只有一解，即二次函数在(-1，1)内和x轴有且只有一个交点，如图14，即a(a-1)<0,所以0<a<1

29、.图14 评析：此题误认为 =0在(-1，1)内有且只有一个解等价于，事实上仅是方程=0在(-1，1)内有唯一解的充分条件，由于审题不周没有考虑图形的特殊情况而造成的不等价转化.正解：方程=0，在(-1，1)有且只有一解等价于 或 或<0,解得0<a<1误区三.在解题时要注意数形结合的简洁性、双向性.数与形是相互联系的，在利用数形结合解题时注意数与形之间存在着双面性，图形不是万能利器，能否利用图形，取决于图形的简洁、优美.误区四.画图不全面.由于某些数学问题所对应的图形可能不止一种，这时要根据不同情况对给出的问题分别进行讨论求解.误区五.运用数形结合方法解决数学问题时要注意时

30、效性，有的问题在特定条件下能使用此方法.而条件发生了变化时就不能使用.因此在解决问题时是要注意问题的实效性.【19】 5结论5.1 主要发现本论文在文献1-19研究的基础上，研究了数形结合在二次函数中与（函数、方程、不等式、三角函数、三角形）等问题方面的应用，通过实例说明数形结合能启发学生的思维；通过对二次函数与其他知识（一元二次不等式、一元二次方程、三角函数、等差数列前n项和等）的综合应用的论述，我利用了二次函数的性质与图象，解决了上述的综合问题.通过数形结合，把代数关系（数量关系）与几何图形的直观有机地结合起来，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化，引导训练学生掌握解题方法，能促进学生提高学习数学的兴趣，开拓学生的解题思路，发展学生的形象思维能力、空间想象能力.5.2 启示和意义二次函数是高中重要的知识点，它贯穿高中知识的始终，同时二次函数与其他知识的综合也是高考的重点和难点，是解决很多复杂的数学问题的一把利刃.在日常的数学学习中，通过数与形的结合，能够有的放矢地帮助学生多角度、多层次地思考问题，可以养成多向性思维的好习惯.数形并茂，以数论形，能精确判断，深刻表述；以形助数，使抽象的代数