讲2梯度散度7

1、1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 1. 矢量线矢量线 矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。点矢量场的方向。矢量线矢量线om fdrrr),(),(),(zyxfezyxfezyxfefzzyyxx单位面积上的电力线条数等于单位面积上的电力线条数等于该点场的大小该点场的大小. 面元矢量（面元有法向且有正侧和负侧）面元矢量（面元有法向且有正侧和负侧）2. 矢量场的通量矢量场的通量 每秒钟穿过面元每秒钟穿过面元ds的流体的体积的流体的体积dszyxvd),(sdzyxfd),(),(zyxvsdv每秒钟穿过面元每

2、秒钟穿过面元ds的流体的体积的流体的体积dsezyxvdn),(),(zyxvsdnesdzyxv),(dsesdnpnevv 穿过面元矢量穿过面元矢量 的通量的通量fsd通量为正：场从通量为正：场从ds的下面指向上面；的下面指向上面；通量为负：场从通量为负：场从ds的上面指向下面的上面指向下面。ne沿着法线方向穿过面元的力线条数。沿着法线方向穿过面元的力线条数。穿出穿出闭合闭合曲面曲面s s的通量的通量sdfs面元在闭合曲面上面元在闭合曲面上: :面元的法面元的法向矢量由闭合曲向矢量由闭合曲面面内内指向指向外外; ;面元在开曲面上面元在开曲面上( (由有向闭合由有向闭合曲线曲线c c围成的围

3、成的) ) ：面元的法向矢面元的法向矢量与量与c c成成右手螺旋法则右手螺旋法则。 nesdcsdnesdfs穿过曲面穿过曲面s s的通量的通量 闭合面的通量代表穿出曲面的力线的条数，反映了场在闭合闭合面的通量代表穿出曲面的力线的条数，反映了场在闭合面内的发散情况，也反映了产生场的发散源的强度。面内的发散情况，也反映了产生场的发散源的强度。sdzyxfd),( 穿过面元矢量穿过面元矢量 的通量的通量fsd沿着法线方向穿过面元的力线条数。沿着法线方向穿过面元的力线条数。穿出穿出闭合曲面闭合曲面s的通量的通量sdfs面元在闭合曲面上面元在闭合曲面上: :面元的面元的法向矢量由闭合曲法向矢量由闭合曲

4、面面内内指向指向外外; ; 面元在开曲面上面元在开曲面上( (由有向闭由有向闭合曲线合曲线c c围成的围成的) ) ：面元的法向面元的法向矢量与矢量与c c成成右手螺旋法则右手螺旋法则。面元的法向矢量：面元的法向矢量：nesdcsdnesdfs穿过曲面穿过曲面s的通量的通量 对于流速场，通量代表每秒钟流出闭合曲面的流体的体积。对对于流速场，通量代表每秒钟流出闭合曲面的流体的体积。对于电磁场，通量代表穿出闭合曲面的力线的条数。于电磁场，通量代表穿出闭合曲面的力线的条数。sdne电场是发散场，电荷是电场电场是发散场，电荷是电场的发散源。正电荷为正的发散源。正电荷为正通量通量源源，负电荷为负，负电荷

5、为负通量源通量源。qsdds0sdbs磁场是非发散场，没有发散源。磁场是非发散场，没有发散源。+-0有净的矢量线从内有净的矢量线从内向外穿出向外穿出s s （发发散场）散场）；s s内有发内有发出矢量线的正通量出矢量线的正通量源。正电荷是电场源。正电荷是电场的正通量源。的正通量源。0有净的矢量线从外有净的矢量线从外向内穿入向内穿入s s（汇聚汇聚场）场）, s, s内有汇聚内有汇聚矢量线的负通量源。矢量线的负通量源。负电荷是电场的负负电荷是电场的负通量源。通量源。0进入与穿出闭合曲面进入与穿出闭合曲面的矢量线相等的矢量线相等,s,s内源内源的代数和为的代数和为0.0.不能判不能判断场是否发散，

6、除非断场是否发散，除非s是任意曲面。是任意曲面。 矢量场穿出矢量场穿出闭合面闭合面s的通量大小反映了场在的通量大小反映了场在s内的发散情内的发散情况，也反映了况，也反映了s内通量源的大小。内通量源的大小。例例1：已知空间电场分布为：已知空间电场分布为 ，求电场强，求电场强度穿过以坐标原点为球心半径为度穿过以坐标原点为球心半径为a的闭合球面的通量。的闭合球面的通量。)()(reerersdres)()(42aeas )(aeerdsersdsae)(oxyzrnesd 通量密度（散度）通量密度（散度）：单位体积内散发出来的矢：单位体积内散发出来的矢量的通量。量的通量。vsdfrfdivsv0li

7、m)(3. 矢量场的散度矢量场的散度散度描述了通量源的密度。散度描述了通量源的密度。p p点的散度点的散度0 0 ，p p点的场发散，点的场发散，p p点有发散源；点有发散源；p p点的散度点的散度0 0 ，p p点的场汇聚，点的场汇聚，p p点有汇聚源；点有汇聚源；p p点的散度点的散度为为0 0，p p点没点没有发散源；有发散源；空间任意点散度空间任意点散度0，场非发散，无发散源；，场非发散，无发散源；( )yxzfffdivf rfxyz 直角坐标系下散度的计算公式：直角坐标系下散度的计算公式：zeyexezyx直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导 穿出立方体的前侧面

8、的净通量值为穿出立方体的前侧面的净通量值为 做一无限小立方体包围做一无限小立方体包围p（x0,y0,z0)点点zyezyxxfx),2(000zyzyxxfx),2(000oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzxypf),(000zyxzyzyxxfx),2(000穿出后侧面的净通量值为穿出后侧面的净通量值为zyezyxxfx)(),2(000穿出前、后两侧面的净通量值为穿出前、后两侧面的净通量值为zyzyxxfzyxxfxx),2(),2(000000zyxxfzyxx),(0002),2(),(2),(),2(000000000000),(000 xzyxxfzyxfxzyxfzy

9、xxfxfxxxxzyxx穿出前、后两侧面的净通量值为穿出前、后两侧面的净通量值为oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzxypfzyxxfx),(000zyx穿出左、右两侧面的净通量值为穿出左、右两侧面的净通量值为zyxyfy穿出上、下两侧面的净通量值为穿出上、下两侧面的净通量值为zyxzfz穿出包围立方体的闭合面的通量穿出包围立方体的闭合面的通量sdfszyxzfyfxfzyx)(直角坐标系中的散度为直角坐标系中的散度为fzfyfxffdivzyxzeyexezyxvzfyfxfzyx)(xfxfx沿沿x方向的变化率，场沿方向的变化率，场沿x方向发散，产生穿出垂直方向发散，产生穿出垂

10、直于于x轴方向的面积的通量轴方向的面积的通量 oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzxypf单位体积内沿单位体积内沿x x方向发散源，方向发散源，x x方向发散源的强度方向发散源的强度 。yfy单位体积内沿单位体积内沿y y方向发散源，方向发散源，y y方向发散源的方向发散源的强强度度 。zfz单位体积内沿单位体积内沿z z方向发散源，方向发散源，z z方向发散源的方向发散源的强强度度 。fzfyfxffdivzyxd0b电荷密度表征了产生电位移矢量的发散源的强度。电荷密度表征了产生电位移矢量的发散源的强度。磁场是非发散场，没有发散源。磁场是非发散场，没有发散源。d圆柱坐标系圆柱坐标系

11、)(sin1)(sinsin1)(122frfrfrrrfrzffffz)(球坐标系球坐标系4. 散度定理散度定理体积的剖分体积的剖分vsisi+1s 矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分。中矢量场的散度的体积分。vsvfsfddisisdfiiiiivzyxf),(vvfdisiiivszyxfzyxfid),(),(isiiszyxfvfd),(ssdfie1ie),(iiizyx散度定理的应用散度定理的应用qsdds d0sdbs0 bdvdvdvv0dvbv任意任意s,v成立成立任意任意s,v

12、成立成立zyxezeyexr3zzyyxxr例例1 求空间任一点求空间任一点p（x,y,z）的位置矢量）的位置矢量 的散度。的散度。r rrr r) (rr rr3例例1.4.2 已知已知 ， 求：求： 的散度（的散度（ ） 。zyxezzeyyexxr) () () (3rrd)()()(333rzzzryyyrxxxd31r00rd523) (31rxxr)1() (3rxxx31r)1() (3ryyy31r)1() (3rzzz)1(3rxxrr43rxxr3453) (3)1(ryyry53) (3)1(rzzrz523) (31ryyr523) (31rzzr3333rr5) (3

13、rxx 2/1222) () () (zzyyxxxxr) (2) () () (212/1222xxzzyyxxrxx例例2.4.1 (v4) 半径为半径为a的球形区域内充满介电常数为的电介质的球形区域内充满介电常数为的电介质，球，球外为真空外为真空。若已知电场分布如下，求空间电荷体密度（。若已知电场分布如下，求空间电荷体密度（a、a为常为常数）。数）。arraaaeararreerr24523)()(得根据高斯定理, e解：解：areare0erererrrersin1)(sinsin1)(122)(122rerrr )(1452arrrre)45(1342arrrarr452ar ar )(1452aaarre0arararr0)45(20为什么要定义通量？为什么要定义通量？有散场，例如静电场