八年级数学勾股定理及其常考题型2

1、八年级数学勾股定理及其常考题型勾股定理也称毕达哥拉斯定理，文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.结合直角三角形图形，用字母22可表示为：abc2 ，如下图， a、b 为直角边， c 为斜边；勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，完善地表达了“数形统一”的数学思想，将中学几何与代数很好的联系起来；因此，学好勾股定理这一学问点对于我们解决数学问题有很大的帮忙，下面我们详细来看看中学数学有关勾股定理的一些常见题型及其解答方法；一、边的运算1、在 rt abc中， c 90°，如 a=6， b=8，就 c=解：由于 a 2b2c2 ，所以 c=10；评论：直接由勾股定理所

2、以得2、在 rt abc中， c 90°， ac3， bc 4，就斜边上的高cd 的长为（）125ab5525cd 572解：由勾股定理知：ab=5，又由于sabc= 1 ac×21bc=2ab× cd即： 1 × 3× 4= 1 × 5× cd,所以12cd=225评论：通过勾股定理求出斜边，再利用面桥关系求出斜边上的高；3、如始终角三角形两边的长为12 和 5，就第三边的长为（）a 13b13 或119c 13 或 15d 15解：当 12 对应的边为斜边时，此时由勾股定理得第三边为119当 12 对应的边是直角边时，就

3、第三边为斜边，由222a bc 得第三边的长为13评论：勾股定理结合分类争论思想，同学要留意这类试题的多解性；4rt始终角边的长为11，另两边为自然数，就rt的周长为（）a、121b、120c、132d、不能确定解：设该 rt的三边分别为a、b、c，a、b 为直角边， c 为斜边由勾股定理知： a 2b 2c2 ，即： 112b 2= c2所以（ b+c ）（ c b） =121由于 b、c 都为自然数，所以b+c， c b，都为正自然数；又由于 121 只有 1、11、121 这三个正整数因式，所以b+c=121， c b=1；所以 b=60， c=61评论，此题以直角三角形为载体，同过勾股

4、定理将中学几何学问和代数学问很好地串联起来考察同学的才能；二、直角三角形的判定5、 在abc中中， a、b、c 为 a、 b、c 的对边，给出如下的命题： 如a：b： c 1：2：3，就 abc 为直角三角形； 如 a c一 b，就 abc为直角三角形； 如 c4 a ，5b 3 a ， 就 abc为直角三角形； 如 a：b：c5： 3： 4， 就 abc 为直角三角形；如（ a c）（ ac） b2，就522 abc为直角三角形；如a c 2ac b ，就 abc为直角三角形； 如 12, 9,b 15,就 abc为直角三角形；上面的命题中正确的有（）a 6b 7c 8d 9解：对，由于三角

5、形内角和为180 度，所以 a+ b+c 180° ，由于 a： b： c 1：2：3，所以 c=180°× 12所以 c=90°就 abc为直角三角形，正确；对，由于a+b+ c 180°，而 a c一 b，所以 c 一 b+ b+ c 180°所以 c=90°，即 abc为直角三角形，正确；对，设a=5k ，由于 c4 a ， b53 a ，就 c=4k ，5c= bc2 b2= a2所以为 abc直角三角形 .正确，同理易知正确，对，由于（a c）（ a c） b2 所以 a222 ，所以 abc为直角三角形正确，对，

6、由于 a c 2 2ac b2 ，所以 a2 +c2+2ac=2ac b2所以 a2 +c2=b2 正确，对，由于12, 9, 15，所以 ab2 +ac2=bc2 所以正确；答案选b评论：直角三角形的评定可以从角和边两方面来进行，从角来判定需结合三角形内角和定理，从边来判定需结合勾股定理；一般是验证最大边的平方是否等于两小边的平方和；三、翻折6、矩形纸片abcd中， ad=4cm ，ab=10cm，按如图18-1 方式折叠，aeb使点 b 与点 d 重合，折痕为ef，就 de= cm解：设 de 为 x，由于 de 是由 be 翻折过来的，所以 de=be=x就,ae=10 x，在 rt a

7、bd中：dfc222ad +ae =de所以： 42 +（10 x） 2 = x 2解得 x=5.8 cmc'图 18-1评论： 翻折和旋转是中学数学常见的题型，解答这类题的关键在于把握翻折和旋转前后的联系，主要是看清哪些量没变，抓住这些不变的量，以此为突破口便可以顺当解决；此题的不变量是de 和 be 的长度，抓住这个关系，再通过勾股定理建立等式，在直角三角形中便可解出边长的长度；四、爬行7如图，有一个圆柱，它的高等于16cm ，底面半径等于4cm，在 圆柱下底面的a 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与a 点相对的 b点处的食物，需要爬行的最短路程是cm（ 取 3）解： 蚂蚁要沿圆柱体

8、侧面爬，将圆柱体的侧面沿蚂蚁所在的垂直于底面的直线切开，绽开后是一个长为8，宽为 16 的长方形， 蚂蚁所在的是一个顶点，而相对的点就是对面那条长为8的边的中点； 所以依据勾股定理，两点之间的距离为d，2d= 8 2 +16 2 从而解出d；评论：爬行问题是勾股定理的一大重要应用，关键在于将立体图形转化为平面图形，从而简洁便利地找出最短距离，然后再利用勾股定理求出边长；8已知长方体的长为2cm 、宽为 1cm、高为 4cm，一只蚂蚁假如沿长方体的表面从a 点爬到 b 点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少.解：将长方体的侧面b bc c 绽开到与长方体的正面ac c a在同一平面内，得到长方形

9、ab ba, 长 ab=3cm,宽 a a=4，蚂蚁沿长方体的表面从a 点爬到 b 点最短距离即为长方形ab ba的对角线a b 长；由勾股定理易知a b =5.五、图形变换dbacdbac9如图 2（ 1），是小红用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a 和 b，斜边长为c，如图 2（ 2）是以 c 为直角边的等腰直角三角形，她想将它们拼成一个能证明勾股定理的图形，可以吗？（ 1）假如能，请你画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形？（ 2）用这个图形证明勾股定理（ 3）假设图2（ 1）中的图有如干个，你能运用（1）中所示的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗？请画

10、出拼后的示意图 （无需证明）23，（ 1）如图是直角梯形.cbcaab（ 2）由于s 梯形 1 a+ba+b 1 a+b2， s 211111ab+c2ab+c2，所以a+b2 ab+c2，即 a 2+b2 c2.（3）如图2所示 .×222222评论：这是一道图形换的题，详细涉及到图形的拼凑，解决勾股定理这方面的试题关键是要对课本勾股定理证明涉及到的几种常见的图形以及证明过程和原理要娴熟把握，再利用适当的迁移便可以解答了；六、实际应用10，某校把一块外形为直角三角形的废地开创为生物园，如图5 所示， acb90°， ac 80 米， bc 60 米，如线段cd是一条小渠，

11、且d 点在边 ab 上，已知水渠的造价为10 元/ 米，问 d 点在距 a 点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？acgbc解：当cd 为斜边上的高时，cd 最短，从而水渠造价最低.由于 cd·ab ac·bc，所以cd 48 米，所以adabac 2cd 2802482 64 米.所以， d 点在距 a 点 64 米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480 元.11有一只小鸟在一棵高4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高 20m 的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，图 5它马上以4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？解：如下列图，依据题意，得ac=20-4=16，bc=12依