方向导数与梯度73443

1、一、方向导数的定义一、方向导数的定义二、梯度的概念二、梯度的概念三、小结三、小结讨论函数讨论函数 z = f (x, y) 在一点在一点 p沿某一方向的变化率问题沿某一方向的变化率问题一、方向导数的定义一、方向导数的定义oyx lp x y p .),(),(lim0 yxfyyxxflf 定义定义的方向导数的方向导数沿方向沿方向限为函数在点限为函数在点的极限存在，则称这极的极限存在，则称这极时，如果此比时，如果此比趋于趋于沿着沿着比值，当比值，当之之两点间的距离两点间的距离与与函数的增量函数的增量lpplpyxppyxfyyxxf 22)()(),(),( 记为记为方向导数方向导数依定义，函

2、数依定义，函数),(yxf在点在点p沿着沿着x轴正向轴正向 0 , 11 e、 y轴正向轴正向 1 , 02 e 的方向导数分别为的方向导数分别为yxff ,； 沿沿着着x轴轴负负向向、y轴轴负负向向的的方方向向导导数数是是 yxff ,. . 定定理理 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxp是是可可微微分分的的， 那那末末函函数数在在该该点点沿沿任任意意方方向向 l的的方方向向导导数数都都 存存在在，且且有有 sincosyfxflf ， 其其中中 为为 x 轴轴到到方方向向 l的的转转角角 xyo例例 1 1 求函数求函数 yxez2 在点在点 )0 , 1(p 处沿从点处沿

3、从点 )0 , 1(p 到点到点 )1 , 2( q 的方向的方向导数的方向的方向导数. . 解解故故x轴到方向轴到方向 l的转角的转角4 . . )0 , 1( xz由由 )0 , 1(yz)4sin(2)4cos(1 lz.22 这里方向这里方向 l即为即为1 , 1 pq, , 方向导数方向导数pq )0 , 1(2ye; 1 )0 , 1(22yxe, 2 对对于于三三元元函函数数),(zyxfu ，它它在在空空间间一一点点 ),(zyxp沿沿着着方方向向 l的的方方向向导导数数 ，可可定定义义为为 ,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推广可得三元函数方向导数的定义推广

4、可得三元函数方向导数的定义（ 其其中中222)()()(zyx ） 同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿 任意方向任意方向 l的方向导数都存在，且有的方向导数都存在，且有 .coscoscos zfyfxflf 设设方方向向 l 的的方方向向角角为为 , ,. . 定义定义 设函数设函数),(yxfz 在平面区域在平面区域 d 内具有一阶内具有一阶 连续偏导数，则对于每一点连续偏导数，则对于每一点dyxp ),(，都，都 可定出一个向量可定出一个向量 jyfixf ，这向量称为函，这向量称为函 数数),(yxfz 在点在点),(yxp的的梯度梯度

5、，记为，记为 二、梯度的概念二、梯度的概念?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函数在点函数在点问题问题p. ),( jyfixfyxfgrad sincosyfxflf sin,cos, yfxf ),(eyxfgrad ,cos| ),(| yxfgrad lf 有最大值有最大值. . 设设 sin cos jie 是方向是方向 l上的单位向量，上的单位向量， 由由方方向向导导数数公公式式知知 其中其中) ),(eyxfgrad 当当1) ),(cos( eyxfgrad 时时， 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方 向与取得最大方向导

6、数的方向一致向与取得最大方向导数的方向一致, ,而它的而它的 模为方向导数的最大值梯度的模为模为方向导数的最大值梯度的模为 结论结论. | ),(|22 yfxfyxfgrad),(yxfz 在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图等高线等高线),(yxfgrad梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量p2),(cyxf 1),(cyxf oyxcyxf ),(12cc 三元函数三元函数),(zyxfu 在空间区域在空间区域 g内具有一阶内具有一阶 连续偏导数，则对于每一点连续

7、偏导数，则对于每一点gzyxp ),(，都可，都可 定义一个向量定义一个向量( (梯度梯度) ) . ),(kzfjyfixfzyxfgrad 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值最大值. .梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数类似地类似地, ,设曲面设曲面czyxf ),(为函数为函数),(zyxfu 的等量面，此函数在点的等量面，此函数在点),(zyxp的梯度的方向与的梯度的方向与 过点过点 p的等量面的等量面czyxf ),

8、(在这点的法线的一在这点的法线的一 个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方 向的方向导数向的方向导数. . 例例 4 4 求求函函数数 yxzyxu2332222 在在点点 )2 , 1 , 1( 处处的的梯梯度度，并并问问在在 哪哪些些点点处处梯梯度度为为零零向向量量？ 解解由梯度计算公式得由梯度计算公式得 ),(kzujyuixuzyxugrad , 6 )24( )32(kzjyix 故故. 12 2 5)2 , 1 , 1( kjiugrad 在在)0 ,21 ,23(0 p处处梯梯度度为为零零向向量量. . 1 1、方向导数的概念、方向导数的概念2 2、梯度的概念、梯度的概念3 3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向