第12讲一元微分学应用(二)1

1、高等院校非数学类本科数学课程第四章 导数的应用本章学习要求： 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理， 并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、 不等式的证明等）。 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。能运用函数的单调性、凸凹性、极值等来讨论函数的图形性质，并熟练掌握函数作图过程。掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。一、曲线的凹凸性、拐点二、曲线的渐近线三、函数图形的描绘第四章 中值定理与导数的应用第六节 曲线的凹凸性、拐

2、点第七节 函数图形的描绘我们说一个函数单调增加, 你能画出函数所对应的曲线的图形吗?oxyab? !. 一、曲线的凹凸性、拐点, )() ,(时baxf它的图形的形式不尽相同.一般说来, 对于一个区间上单调的函数的图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线（或切线）的“上方”或“下方”的问题 .在数学分析中将这种问题称为曲线 (函数)的凹凸性问题 .简单地说 , 在区间 i 上 :曲线弧段位于相应的弦线上方(在切线的 “下方”)时, 称之为凸的（下凹 ） ;曲线弧段位于相应的弦线下方(切线“上方” )时, 称之为凹的（上凹）.凸凹oxy221xx )(xfy 2x1xoxy221xx )(xfy

3、 2x1x. ) i ()( cxf设 , )( i , 2121恒有如果xxxx) )()(21) 2 (2121xfxfxxf成立 , 则称曲线)(xfy 在区间 i 上是凸的 ; , )( i , 2121恒有如果xxxx) )()(21) 2 (2121xfxfxxf成立 , 则称曲线)(xfy 在区间 i 上是凹的 .1. 曲线凹凸性的定义及其判别法oxy3xy , )0 ,( 上在 , 3是凸的xy ,32xy , 6xy . 0 y此时, ) , 0( 上在, 3是凹的xy . 0 y此时, 0 时x, 0 y . )0 , 0( 是曲线凹凸性的分界点点有何体会？能不能根据函数的

4、二阶导数的符号来判别函数所对应的曲线的凸凹性呢？定理 . ) ,( , ) , ()( 内有二阶导数在设babacxf . , )( , ) ,( , 0)( 是凹的在则若baxfybaxxf . , )( , ) ,( , 0)( 是凸的在则若baxfybaxxf 在运用该定理时要注意：但仅在个别孤立点处等于零 , 则定理仍然成立 . , ) ,( , 0)( 0)( baxxf 如果. 1 的凹凸性判别曲线xy . ) , 0()0 ,( 函数的定义域为, 2 , 1 32xyxy 因为 , 1 , 0 , )0 ,( 为凸的时所以xyyx . 1 , 0 , ) , 0(为凹的时xyyx

5、 该函数的图形 请自己绘出. 例2解解 . 1) , 1( 12 - 34内的凹凸性在研究xxy,6423xxy),1(1212122 xxxxy, 0 ,1 )0 ,( yx）时，或（. 函数是凹的故10 xx，是使0 y的点,是曲线凹凸性的分界点.例4解解为判断y的正负,先计算y=0, 得 x=0 或 x=1, 0 , ) 1 , 0( yx时. 函数是凸的故 比较例3 和例4 , 发现使得曲线所对的分界点 .我们的兴趣 , 因为它可能是曲线凹凸性应的函数的二阶导数等于零的点引起了拐 点连续曲线上凸弧与凹弧的分界点 , 称为曲线的拐点.oxyoxy)(xfy )(xgy 2. 曲线拐点的定

6、义及判别法 . )(上二阶可导在区间设 ixf . 0)( , ) ( )( ) ,( 0000 xfixxfyyx则的拐点为曲线若定理( 判别拐点的必要条件 ), )( 0)( 不存在的点及使xfxf 称为曲线的拐点可疑点 .定理( 判别拐点的充分条件 ) . ) i( )(u )( , ) i ()( 00内二阶可导在设xxxfcxf , )( 0则两侧符号相反在点若xxf . )( )( ,( 00的拐点为曲线点xfyxfx根据拐点的定义立即可证明该定理 . 求拐点一般步骤: )( 拐点的一般步骤求曲线xfy ; )( )( ) 1 (或确定讨论区间的定义域求xf; ) )( ( , )

7、( , )( )2(xfxfxf 如需要可求出计算; )( 0)( 不存在的点的点和使xfxf . )4(否确为拐点根据定理判别可疑点是 : )3(求拐点可疑点 . , 22并求拐点的凹凸性讨论曲线xey) ,( :定义域为, 22xxey,) 1(222xexy : 0 得拐点可疑点令 y)( 1 , 1横坐标xxxy y) 1 , (1) 1 , 1(1) , 1 (00拐点拐点拐点拐点例4解解, ) , 1 ( ) 1 , ( 内为凹的及在. 1) , 1( 内为凸的在 . ) , 1 ( ) , 1( 2121为其拐点及点eeoxy1122xey : 22xey曲线 , 0 )2.5

8、, 2( 2的拐点为曲线已知点ybxayx . , 的值求ba . 0 :2bx由题意 , 得由隐函数求导法则, 22bxayxy, )(246222bxybxayxy . 0 :1 y由拐点的必要条件得 : 5 . 2 , 2 代入得以yx (1) 05860ba例6解解 : , ,得其坐标满足曲线方程又拐点在曲线上 (2) 05 . 2210ba , )2( , ) 1 ( 解之得成方程组联立 , 320a . 34b例7 , )( 其一阶导数的图形上二阶可导，在设函数baxf .如下图所示 . )( 性、凹凸性的极值点、拐点、单调指出函数xf ; , , ,内单调增加tqpkja . ,

9、 ,内单调减少qpkj ; q , : ; , :kpj极小点极大点 凹 凹 凹 凹 凸 凸 凸 凸 . , , , , , , :ihfedcb拐点xyo)(xfyabcdefhikjpqtabmw 函数的凹凸性的判别以及函数的极值的判别都与函数的二阶导数有关.你清楚它们之间的联系吗?画画图就能搞清楚. 极大凸 0)( xf 极小凹 0)( xf 现在我们还不能很好地作出函数的图形 , 因为还不知道如何求曲线的渐近线 .中学就会求了.若动点 p 沿着曲线 y = f ( x ) 的某一方向无限远离坐标原点时, 动点 p 到一直线 l 的距离趋于零 , 则称此直线 l 为曲线 y = f (

10、x ) 的一条渐近线 . 二、曲线的渐近线曲线的渐近线水平渐近线垂直渐近线斜渐近线oxyxy1, 01limxx . 0 y水平渐近线, 1lim0 xx . 0 x垂直渐近线水平渐近线 . )( , )(lim byxfbxfx有一条水平渐近线则曲线若 . )(lim )(lim bxfbxfxx或这里的极限可以是 . )( , )(lim axxfyxfax有一条垂直渐近线则曲线若这里的极限可以是; )(lim ,)(limxfxfaxax. )(lim ,)(limxfxfaxax; )(limxfax垂直渐近线oxy)(xfy bxay, 0)()(limbxaxfx . bxay斜渐

11、近线想想： 怎么求 a ,b ? )( , )(lim , )(lim xfybxaxfaxxfxx则曲线若 . bxay有一条斜渐近线这里的极限过程可以是. , xx以上的极限实际是. 0)()(limbxaxfx 斜渐近线. sin 的渐近线求曲线xxy , 0sinlim xxx. sin 0 的水平渐近线是曲线xxyyoxyxxysin0y 曲线可以穿过其渐近线 .例8解解. ln 的渐近线求曲线xy 的定义域： ln xy ) , 0(x, lnlim 0 xx是曲线 0 x. ln的垂直渐近线xy oxyxyln1例9解解. 1 2的渐近线求曲线xxy 1lim2xxx曲线无水平渐

12、近线, 1lim20 xxx 1lim20 xxx . 0 x曲线有垂直渐近线(函数间断)曲线有斜渐近线吗？例10解解11lim1lim222xxxxxxx1a0 1 lim 11 lim)()(2xxxxxx0b . xbxay曲线有斜渐近线请同学课后自己绘出此函数的图形 .现在给定一个函数 , 我们可以讨论它的：定义域、 值 域、 奇偶性、 有界性、 周期性、 连续性、 间断点、 可微性、单调性、 极 值、 最 值、 凹凸性、拐 点、 渐近线、 零点位置 .用极限讨论函数的变化趋势 .用泰勒公式将函数离散化 .作函数图形的一般步骤如下：(1) 确定函数的定义域 , 观察奇偶性、周期性 .(2) 求函数的一、二阶导数 , (3) 列表 , 确定函数的单调性、凹凸性、极值、拐点 .(4) 求曲线的渐近线 .(5) 作出函数的图形 . 三、函数图形的描绘确定极值可疑点和拐点可疑点 . ) 1() 1( 23的图形作出函数xxy :函数的定义域. ) , 1() 1 ,(x, ) 1()5() 1(32xxxy, ) 1() 1(244 xxy , 5 , 1 , 0 xxy得驻点令 , 1 , 0 xy得拐点可疑点令例12解解xyy y)5 ,(5) 1 , 5(1) 1 , 1(1) , 1 (000极大拐点, 5 : x极大点, 5 .13)5( : f极