概率论与数理统计课堂练习

1、概率论与数理统计课堂练习第一部分1、单项选择题 (1) 设A, B为任二事件, 则下列关系正确的是( ). (A). (B).(C). (D). 解 由文氏图易知本题应选(D).(2) 若两个事件A和B同时出现的概率P(AB)=0, 则下列结论正确的是 ( ).(A) A和B互不相容. (B) AB是不可能事件. (C) AB未必是不可能事件. (D) P(A)=0或P(B)=0.解 本题答案应选(C). （3）在5件产品中, 有3件一等品和2件二等品. 若从中任取2件, 那么以0.7为概率的事件是( ) (A) 都不是一等品. (B) 恰有1件一等品.(C) 至少有1件一等品. (D) 至多

2、有1件一等品.解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含有一件一等品的概率为, 没有一等品的概率为, 将两者加起即为0.7. 答案为（D）. （4) 设随机事件A, B满足P(A|B)=1, 则下列结论正确的是( )(A) A是必然事件. (B) B是必然事件.(C) . (D).解 由条件概率定义可知选(D). (5) 设A, B为两个随机事件, 且, 则下列命题正确的是( ).(A) 若, 则A, B互斥.(B) 若, 则.(C) 若, 则A, B为对立事件.(D) 若, 则B为必然事件.解 由条件概率的定义知选（B） (6) 设随机事件A与B互不相容, 且有P(A)&

3、gt;0, P(B)>0, 则下列关系成立的是( ). (A) A, B相互独立.  (B) A, B不相互独立. (C) A, B互为对立事件.  (D) A, B不互为对立事件. 解 用反证法, 本题应选(B). (7) 设事件A与B独立, 则下面的说法中错误的是( ). (A) 与独立. (B) 与独立.(C) . (D) A与B一定互斥. 解 因事件A与B独立, 故,A与及与B也相互独立. 因此本题应选(D).(8) 设事件A与 B相互独立, 且0<P(B)<1, 则下列说法错误的是( ). (A) . (B

4、) .(C) A与B一定互斥. (D) .解 因事件A与B独立, 故也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从而本题应选(C). 2. 设P(AB)=P(), 且P(A)p，求P(B). 解 因 ,故. 于是3. 已知, 求. 解 由公式知. 于是4. 设A, B为随机事件, 求.解 由公式可知,. 于是.5. 已知, , 求A, B, C全不发生的概率.解 因为,所以=0, 即有=0.由概率一般加法公式得 由对立事件的概率性质知A ,B, C全不发生的概率是6. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次

5、品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) 至少有1件次品的概率; (4) 至多有1件次品的概率; (5) 至少有2件次品的概率.解 (1) 恰有1件次品的概率是;(2) 恰有2件次品的概率是; (3 )至少有1件次品的概率是1-; (4) 至多有1件次品的概率是+; (5) 至少有2件次品的概率是+.7. 袋中有9个球, 其中有4个白球和5个黑球. 现从中任取两个球. 求：(1) 两个球均为白球的概率；(2) 两个球中一个是白的, 另一个是黑的概率；(3）至少有一个黑球的概率.解 从9个球中取出2个球的取法有种，两个球都是白球的取法有种，一黑一白的取法有种，由古典概率的公式知道(1)

6、两球都是白球的概率是;(2) 两球中一黑一白的概率是;(3) 至少有一个黑球的概率是1.8. 从1,2,3,4中任取一个数, 记为X, 再从1,2,X中任取一个数, 记为Y,求PY=2.解 解 PY=2=PX=1PY=2|X=1+PX=2PY=2|X=2+PX=3PY=2|X=3+PX=4PY=2|X=4 =×(0+)=.9. 甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2, 被两人击中而被击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率.解 目标被击落是由于三人射击的结果, 但

7、它显然不能看作三人射击的和事件. 因此这属于全概率类型. 设A表示“飞机在一次三人射击中被击落”, 则表示“恰有i发击中目标”. 为互斥的完备事件组. 于是没有击中目标概率为,恰有一发击中目标概率为,恰有两发击中目标概率为,恰有三发击中目标概率为.又已知 ,所以由全概率公式得到 10. 在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑球, 3个白球; 第三箱装有3个黑球, 5个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取一球.(1) 求取出的球是白球的概率；(2) 若取出的为白球, 求该球属于第二箱的概率. 解 (1)以A表示“取得球是白球”，表示“取得球来至第i个箱子”,i=1,2

8、,3.则P()=, i=1,2,3, .由全概率公式知P(A)=. (2) 由贝叶斯公式知 P()=11. 某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查. (1) 求这件产品是次品的概率;(2) 已知抽得的一件是次品, 问此产品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少？解 设A表示“取到的是一件次品”, (i=1, 2, 3)分别表示“所取到的产品来自甲、乙、丙工厂”. 易知, 是样本空间S的一个划分, 且，,.(1) 由全概率公式可得 .(2) 由贝叶

9、斯公式可得, , . 12. 设三事件A , B和C两两独立, 满足条件：, 且,求.解 根据一般加法公式有.由题设可知 A, B和C 两两相互独立, , 因此有 从而,于是或, 再根据题设, 故.13. 甲、乙两人各自向同一目标射击, 已知甲命中目标的概率为 0.7, 乙命中目标的概率为0.8. 求：(1) 甲、乙两人同时命中目标的概率；(2) 恰有一人命中目标的概率；(3) 目标被命中的概率. 解 甲、乙两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件. 于是(1) (2) (3) 第二部分1. 选择题(1) 设 如果c=( ), 则是某一随机变量的概率密度函数. (A) . (B) . (C)

10、1. (D) .解 由概率密度函数的性质可得, 于是, 故本题应选(C ).(2) 设又常数c满足, 则c等于( ).(A) 1. (B) 0. (C) . (D) -1.解 因为, 所以,即, 从而,即, 得c=0. 因此本题应选(B). (3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).(A) (B) (C) (D) 解 由概率密度函数的性质可知本题应选(D). (4) 设随机变量X的概率密度为, 且, 又F(x)为分布函数, 则对任意实数, 有( ).(A) . (B) . (C) .   (D) .解 由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B).(5) 设随

11、机变量服从正态分布,服从正态分布,且 则下式中成立的是( ).(A) 1 < 2. (B) 1 > 2. (C) 1 <2. (D) 1 >2. 解 对12时, 答案是(A).(6) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的正数, 数满足, 若, 则等于( ).(A) . (B) . (C) . (D) .解 答案是(C).(7) 已知 则.(A) . (B) . (C) . (D) . 解 . 可见，应选(D).(8) 设, 则有( ).(A) . (B) .(C) . (D) .解 因为所以E(X)=np,D(X)=np(1-p), 得到np=6, np(1

12、-p)=3.6 . 解之, n=15 , p=0.4 . 可见，应选(C).(9) 设X与Y相互独立，且都服从, 则有( ). (A) . (B) . (C) . (D) .解 注意到.由于X与Y相互独立,所以. 选(D).(10) 在下列结论中, 错误的是( ).(A) 若(B) 若，则.(C) 若X服从泊松分布, 则.(D) 若 则. 解 , 则. 选(B).2. 设A为任一随机事件, 且P(A)=p(0<p<1). 定义随机变量写出随机变量X的分布律.解 PX=1=p, PX=0=1-p.或者X0 1 P1-p p 3. 已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四

13、个值的相应概率依次为. 试确定常数c, 并计算条件概率.解 由离散型随机变量的分布律的性质知，所以.所求概率为 PX<1| X =.4. 设随机变量X服从参数为2, p的二项分布, 随机变量Y服从参数为3, p的二项分布, 若, 求.解 注意px=k=,由题设故. 从而5. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为, 求每次试验成功的概率.解 设每次试验成功的概率为p, 由题意知至少成功一次的概率是，那么一次都没有成功的概率是. 即, 故 =.6. 若X服从参数为的泊松分布, 且, 求参数. 解 由泊松分布的分布律可知.7. 设X的分布律为X-1 0

14、1P0.15 0.20 0.65求分布函数F(x), 并计算概率PX<0, PX<2, P-2X<1.解 (1) F(x)= (2) PX<0=PX=-1=0.15; (3) PX<2= PX=-1+PX=0+PX=1=1; (4) P-2x<1=PX=-1+PX =0=0.35.8. 设随机变量X的分布函数为F(x) = A+Barctanx -<x<+.试求: (1) 常数A与B; (2)  X落在(-1, 1内的概率.解 (1) 由于F(-) = 0, F(+) = 1, 可知于是 (2)    &#

15、160;9. 设随机变量X的分布函数为F(x)=求PX-1, P0.3 <X<0.7, P0<X2.解 PX, P0.3<X<0.7=F(0.7)-F0.3-PX=0.7=0.2, P0<X2=F(2)-F(0)=1.10. 设连续型随机变量X的分布函数为求: (1) X的概率密度; (2).解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系,可得 (2) .11. 设连续型随机变量X具有概率密度函数求: (1) 常数A；(2) X的分布函数F(x).解 (1) 由概率密度的性质可得,于是 ；(2) 由公式可得当x0时, ;当1时, ;当2时, ;当x>2时,

16、.所以 12. 设随机变量, 若, 求.解 因为所以. 由条件可知,于是, 从而.所以 .第三部分1. 设随机变量的分布律为 X-2 0 2P0.4 0.3 0.3 求；E(23 X); ；.解 由定义和数学期望的性质知;.2. 设随机变量的概率密度为求的数学期望.解 ,.3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第分钟、第分钟和第分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X分钟到达底层侯梯处, 且X在区间0, 60上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望.解已知X在0,60上服从均匀分布, 其概率密度为记Y为游客等候电梯的时间,则因此, =11.67(分钟). 已知X,

17、Y独立, E(X)= E(Y)=2, E(X2)= E(Y2)=5, 求E(3X-2Y),D(3X-2Y).解 由数学期望和方差的性质有E(3X-2Y)= 3E(X)-2 E (Y)=3×2-2×2=2, . 设随机变量X1, X2, X3相互独立, 其中X1服从区间0, 6上的均匀分布, , , 记, 求E(Y)和D(Y) .解 由题设知.由期望的性质可得 又相互独立, 所以. 设随机变量, 随机变量求期望和方差.解 因为X的概率密度为于是Y的分布率为,.因此,.故有 .第四部分1. 选择题 (1) 下面关于统计量的说法不正确的是( ).(A) 统计量与总体同分布. (B

18、) 统计量是随机变量. (C) 统计量是样本的函数. (D) 统计量不含未知参数. 解 选(A).(2) 已知X1,X2,Xn是来自总体的样本, 则下列关系中正确的是( ).(A) (B) (C) (D) 解 选(C).(3) 设随机变量X与Y都服从标准正态分布, 则( ).(A)X+Y服从正态分布.  (B) X2+Y2服从分布.(C)X2和Y2都服从分布. (D) 服从F分布.解因为随机变量X与Y都服从标准正态分布, 但X与Y不一定相互独立,所以(A),(B),(D)都不对, 故选(C).() 设随机变量, 则下列关系中正确的是( ). (A) . (B) . (C) . (D)

19、 解 由题设知, 其中, 于是=,这里, 根据F分布的定义知故应选(C).() 设,(n),分别是标准正态分布N(0,1)、(n)分布、分布和分布的上分位点, 在下列结论中错误的是( ). (A) .   (B) (n)=1-(n). (C) . (D) .解 应选(B). 在总体中随机抽取一个容量为36的样本, 求样本均值落在50.8到53.8 之间的概率.解 因为,所以.于是, 标准化随机变量 .因此 . 已知是来自正态总体的样本, 求概率.解 由定理1知, 因此 ,所以 第五部分1. 选择题(1) 设总体X的均值与方差2都存在但未知, 而为来自X的样本, 则均值与方差

20、2的矩估计量分别是( ) . (A) 和S2. (B) 和.(C) 和2.   (D) 和.解 选(D).(2) 设, 其中>0为未知参数, 又为来自总体X的样本, 则的矩估计量是( ) . (A) . (B) . (C) . (D) .解 选(B).2. 设总体X的分布律为X-215P其中00.25为未知参数, X1, X2, , Xn为来自总体X的样本, 试求的矩估计量. 解 因为E(X)=(-2)×3+1×(1-4)+5×=1-5, 令得到的矩估计量为.3. 设总体的概率密度为其中>-1是未知参数, X1,X2,Xn 是来自的

21、容量为n的简单随机样本, 求: (1) 的矩估计量；(2) 的极大似然估计量.解 总体 X 的数学期望为.令, 即, 得参数的矩估计量为.设x1, x2, x n是相应于样本X1, X 2, , X n的一组观测值, 则似然函数为当0<xi<1(i=1,2,3,n)时, L>0且 ,令 =0, 得的极大似然估计值为 ,而的极大似然估计量为 .4. 设总体服从参数为的指数分布, 即的概率密度为其中为未知参数, X1, X2, , Xn为来自总体X的样本, 试求未知参数的矩估计量与极大似然估计量. 解 因为E(X)= =, 所以的矩估计量为. 设x1, x2, x n是相应于样本

22、X1, X 2, ,X n的一组观测值, 则似然函数,取对数 .令 得的极大似然估计值为,的极大似然估计量为.第六部分1. 选择题(1) 总体未知参数的置信水平为0.95的置信区间的意义是指( ). (A) 区间平均含总体95%的值. (B) 区间平均含样本95%的值. (C) 未知参数有95%的可靠程度落入此区间. (D) 区间有95%的可靠程度含参数的真值.解 选(D).(2) 对于置信水平1-(0<<1), 关于置信区间的可靠程度与精确程度, 下列说法不正确的是( ).(A) 若可靠程度越高, 则置信区间包含未知参数真值的可能性越大.(B) 如果越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低.(C) 如果1-越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低.(D) 若精确程度越高, 则可靠程度越低, 而1-越小.解 选（C）. 为调查某地旅游者的平均消费水平, 随机访问了40名旅游者, 算得平均消费额为元, 样本标准差元. 设消费额服从正态分布. 取置信水平为0.95, 求该地旅游者的平