2021届高三新高考八省模拟测试数学试题

1、“决胜高考” 2021届高三新高考八省第一次模拟测试数学试题学校:姓名： 班级： 考号： 一、单选题1 .已知集合A = xeZH2x<3, 3 = 0,3,则4口8=()A. -1,0,1,2,3 B. 0,1,2C. 0,1,3D, 0,1【答案】D【的】【分析】先求出A = 0,1,2,再求出AC18得解.【详解】由题得 A = xeZM -2%<3 = xwZ|-l V4<3 = 0,1,2,又5 = 0,1,3,所以An6 = 01.故选：D.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2 .已知复数 =,贝%一1|=()1

2、 + 1A.巫B.正C. J2D.正2 2N【答案】A【解析】【分析】先利用复数的运算法则计算Z 1,然后再利用模长公式求模长.【详解】,1 + 2Z 1 1 + 2/-1-Zi /(1-z)1 + zzi =-1 =1 + il + i1 + i (1 + 0(1-/)2所冲t卜后另T邛 故选：A【点睛】本题主要考查了发数的运算，求更数的模，属于基础题.3 .网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表如下，第一行是我们习惯称呼的“鞋号” （单位：.号），第二行是脚长（单位：mm）,请根据表中数据，思考：他们家正好有一款“32号”的女鞋在搞打折，那么适合购买这款鞋的脚长的取值范围是（）鞋码353

3、6373839脚长225230235240245A. 201,205 B. 206,210 c. 211,215 D. 216,220【答案】B【解析】【分析】先建立函数关系y = 5x+50,再求解即可.【详解】解：设“脚长”为）'，“鞋号”为X,根据题意发现X与'满足y = 5x+50的函数关系，当x = 32时， = 5x32 + 50 = 210,故选：B.【点睛】本题考查函数关系的建立，是基础题.4 .已知圆/+）3+ 2工2）2 = 0上的点到直线.r+y + & = 0的最远距离为4,则实数。的值是（）A. 0 或 4B. -2 或 2C. -2D. 2【

4、答案】B【懒】【分析】圆上的点到直线的最远距离为圆心到直线的距离再加上半径,即可求出。的值.【详解】由父 +）尸 + 2文一2一2 = 0得（.丫+1+（-1）： =4,所以圆心为（一口），=2, 圆心到直线x+ y + ® = 0的距离为d=所以同+ 2 = 4,解得 =2或2.故选：B【点睛】本题主要考查了圆上的点到直线的距离，关健是要找到到直线距离最大的点，属于中档 题.试卷第4页，总23页【答案】D【分析】由/（0）>0,函数不具有奇偶性，以及x>0时，函数值大于0,结合选项即可得解.【详解】,、e° + sm0 解：0) = 丁 一十o- 2=2>

5、;0，则可排除A；ev + sin x又函数/W二 不具有奇偶性'则可排除C； 当x>0时，+ sinx>0，- + x2 >0,则可排除 B.乙故选：D.【点睛】本题考查已知函数解析式，利用函数性质确定函数图象，常用排除法进行解题，属于中 档题.6.已知向量。二 (1,1), 3 = (/儿2).若(加6)_1。，则向量垢+B与£+3的夹角的余 弦值为()在10【答案】A【而】【分析】首先根据向量垂直，得到(。一4。=0,即可求出参数7的值，从而取出 + 5与£ + (2a + b4a + b的坐标，最后根据cose='|TY .，计算可

6、得;27+ /?« + /?【详解】解：因为 4 = (-1,1), 3 =。几2),所以 -3 二 (-1 - 7,-1),因为(4-6)_Lo,所以(«- = (-l)x(-l-7w) + (-l)xl = 0,解得m=0,所以B = (O,2),所以2a +b = (-2,4), + B = (1,3),所以12a + B = "(-2+ 4? = 2 下，a+ b = (I)2 + 32 = 5yi",(2a+ b(a + b) = (2)x(1) +4x3 = 14 ,所以 ”(2"叩("14_7 小囚+肝+q -26、亚一

7、丁故选：A【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标运算以及平面向量的夹角的计算，属于中档题.7.六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为()作出函数/(X)的图象如下图所示，作直线y = cx,如图，%>0时，y = ex与函数f(x)的图象有两个交点，即/'(%)- ex = 0有两个解且0 < tl V 1 ,上1，x < 0时，/(x) = ex,则f(x) = ex,由r(%) = ex = e,解得x = 1,而x = 1时， y = e x (1) = e,/(1) = e,所以直线y = ex与/(%) =在(-1, e)处相切，即xvO时，方

8、程/(X)-。X = 0有 一个解一1,令F(x) = /(/(x) - ef(x) = 0,令亡=/(x),则F(x) = /(t) - et = 0,由上面的讨论知方程fQ) e£ = O有三个解：一1,3t2(0<t! <1, t2>l),而/(%) = 一 1有一个解，/(x) = ti(O < tj < 1)有两个解，f(x)=12(2>1)有一个解， 所以F(X)= /(/(%) - e/(x) = 0有 4 个解，所以函数F(x) = /(/(%) - e/(x)有 4 个零 点，本题考查函数的零点个数问题，关键在于得出函数的图象，运

9、用数形结合的思想判断出 两函数的图象的交点个数，属于较难题.二、多选题9.从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm),将所得数据分为9组：5.31,5.33),5.33,5.35),5.45,5.47),5.47,5.49,并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中()试卷第6页，总23页10 .下列关于点、线、面位置关系的命题中正确的是（）A.若两个平面有三个公共点，则它们一定重合B.空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内C.两条直线。，分别和异面直线。，“都相交，则直线。，可能是异面直线，也 可能是相交直线D.正方体ABCD - AdCR中，点。是4R的中点，直线AC交平面A

10、B1于点M ,则A, M ,。三点共线，且A, O, C,"四点共面【答案】CD【解析】【分析】在正方体A6CQ-A与GA中，分析每个选项是否正确即可.【详解】A对于选项A：如图A、D、石三个公共点在一条直线上，平面A6C0与平面AOAA相 交不重合，故选项A不正确;对于选项B：正方体中从点人出发的三条棱AA、45、4。不在同一个平面内，故选项B不正确：对于选项C若力则。，确定一个平面，且。，b与直线c, d的交点都在此平面内， 则c, d共面，与。，d是异面直线矛盾，故直线。，人可能是异面直线，也可能是相 交直线.故选项C正确：平面ACPI平面A4R=ao,因为直线Ac交平面于点m

11、 ,所以MeAO,即a, ",。三点共线，因为A,。三点共线，直线和直线外一点可以确定一个平面，所以人，。，C, 四点共面，故选项D正确.故选：CD【点睛】本题主要考查了空间中点、线、面的位置关系，以及确定平面的公理，属于基础题.11 .设函数/(x), g(x)在R上存在导函数/'(X), g'(x),且g'(x) = r(x)_4x, g(x)不含常数项，对于任意的实数不都有/(t) = 4/一/(x),当xe(一吟0时， r(x)-4x+l<0,贝U ()A. g(x)是偶函数B.在区间(-8,0)上是减函数c. g(x)在区间(0.+8)上是减函

12、数D.若/(帆+1)</(一帆)+ 47 + 2,则/?>- 2【答案】BCD【解析】【分析】根据条件依次判断每个选项的正误.【详解】对于 A,由 g<x) = r(x)-4x, g(x)不含常数项可知 g(x) = /(x)- 2丁 ,因为对于任意的实数X都有/(T)= 4/ 一 /(X), g(-x) = f(-x)- 2M = 4x2 - /(.¥)- 2x2 = 2x2 - /(%) = -g(x), g(x)是奇函数,故A错误;对于B, .当X£(8,O时，r(x)-4x+l<0,即f'(x)v4x-lv0,故/(九)在 区间(一吟

13、。)上是减函数，故B正确：对于 C,当工£(一8,0时，r(x)-4x+l<0, g'(x) = r(x)-4x<-l,则 g(x)在(-oo,0)上是减函数， g(X)是奇函数，g(x)在区间(0,+8)上是减函数，故C正确；对于 D,若一7)+4m+2 ,则 f(m4-1)-+1)2 < f(-m)-2m2, 即且（7 + 1）g（一7）,.遭（不）是减函数，.“+1之一7,解得7之一,故D正确. 故选：BCD.【点睛】本题考查函数的性质的综合应用，属于中档题.12.已知。为坐标原点，M（L2）, P是抛物线C： V = 2p工上的一点，尸为其焦点,若尸

14、与双曲线下-V = l的右焦点重合，则下列说法正确的有（）A.若归/1 = 6,则点P的横坐标为4B.该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为C.若尸。F外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为9几D. PM厂周长的最小值为3 +6【答案】 ACD【分析】 先求出p = 4,选项A求出点夕的横坐标为4 =忙曰一§ = 4,判断选项A正确；选0 /判断选项B项B求出抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为42 错误；选项C先判断尸外接圆的圆心的横坐标为1,再判断外接圆与抛物 线C的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点厂的距离等于半径，最后求 出半径和外接圆面积，判断选项C正确;选

15、项D直接求出APA始的周长为。之3 +6， 判断选项D正确.【详解】 解：因为双曲线的方程为三一V=l,所以"=3,从=1,则0 = 而万=2,因为抛物线。的焦点尸与双曲线二-俨=1的右焦点重合，所以2=2,即 =4, 3 '2选项A：若|尸产| = 6,则点夕的横坐标为&=|尸尸|一" = 4,所以选项A正确; 选项B：因为抛物线C的焦点尸与双曲线二的右焦点重合，所以抛物线的准3线被双曲线所截得的线段长度为生=义=",所以选项B错误：a 币 3选项C：因为。(0,0)、尸(2,0),所以尸外接圆的圆心的横坐标为1,又因为。尸外接圆与抛物线C的准线

16、相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点尸的距离等于半径，所以圆心在抛物线上且到准线的距离为3,所以 =3,所以该外接圆面枳为S =不产=9五,所以选项C正确：选项D：因为PM尸的周长为C = PF + PM + MF = xp + -+PM + y/5 = (<xp + PM) + 2 + y/5>xM+2 + y/5=3 + yf5,所以选项D正确.故选：ACD【点睛】本题考查抛物线的定义的几何意义，双曲线的通径长， 三、填空题13.二项式展开式中常数项为.【答案】10【的】【分析】写出二项式(«+马展开式，利用X的次累为0,即可得常数项. k X-)【详解】，八51

17、5-5AV7+4 展开式通项为：%"炉x2kxx-2k=C2kxV XJI )令二 = 0 ，得k = l,2所以常数项为C；2Z°=10, 故答案为：10【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项式展开式的通项，求展开式中某一项的系数, 属于基础题.14 .曲线 = 2x(lnx+l)在x = l处的切线方程为.【答案】4x-y-2 = 0【解析】【分析】首先求出切点坐标，再利用导数求出切线的斜率，最后利用点斜式求出切线方程：【详解】解：因为y = 2x(lnx+l),当x = l时，y = 2,所以切点坐标为(1,2),=(2x) (liix4-l) +(2x)(ln

18、x+l) = 2(lnx+l) + 2所以)，1日=2(1+1)+2 = 4所以切线方程为y2 = 4(x1),整理得4x- y - 2 = 0故答案为：4x y 2 = 0【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.15 .已知在棱长为1的正方体A8CO A4GR中，E为2AA。的中心，F为CE的中点，过F作FM工CE交DC于点M ,则三棱锥M 。斯体积为【答案】148Wr【分析】作出图示，由已知条件可得出M为。2的中点，再运用等体枳法/= V = c V = VV M-DEF - 2 M-DEC 2 DrDEC -4 C-DED1，可求得答案.【详解】作出图示如下图所示，由已知得2e=巫，

19、2。= J7, 12EC =试卷第22页，总23页所以满足。2 =2炉十七。2,所以又FM LCE,所以FM/QE ,又尸为CE的中点，所以M为的中点,-V =LxLy =Ly2 M-DEC 22 DDEC 4 V C-DED= lxlxixlxi 4 3 22xl_ 148所以匕，“口【点睛】本题考查运用等体积法求三楂锥的体枳，属于中档题.四、双空题16 .过抛物线V = 41的焦点F的直线交抛物线于A , 8两点，点。是原点,若|人尸卜3 , 则怛片=,“。台的面积为.335/2【答案】-22Wrl【分析】先根据抛物线定义求出点A坐标，求出直线AB方程，代入抛物线方程可求出点从即 可求出忸

20、日和,。台面积.【详解】由题可知P = 2,尸（1,0）,设人（.%乂）,6（毛,%）,如图，由抛物线的定义可知|A/= &+§ = 3,则网=2,则弘=2应，./ 二 士更=2&，,直线A6的方程为：y = 2jlx 2近， 2 1代入抛物线得2/一5工+2 = 0,解得x = 2,± = g,则乃二JL,| = +y = y + 1 = p Sa=|x|OF|x |?|+|)| =|xlx3>/2=.故答案为：巫. 22【点睛】本题考查直线与抛物线关系，考查抛物线的定义，属于基础题.五、解答题17.数列%的前项和为S“，且2S” = 37 + .(

21、1)求。1 和。2020 ；(2)求数列一、的前项和.Ia+WnJ【答案】(1)可=2 ,=6059 ； (2) T“ = 5(3 + 5y【解析】【分析】(1)在等式2s“ = 3？ + 中，令 =1可求得为的值，由«2020 = 52020 - 5刈9可求得a”的值;(2)由可求得数列。的通项公式，可求得的表达式,然后利用裂项相消法可求得，.【详解】,3 、 1(1) *. 2Sf/ = 3n2 + n , /. S =n2 + n. 223i当 =1 时，4 = 5 = Xhx 1 = 2 ：11 223131。=S 5,019 =-x 20202 +-x 2020 x2019

22、2 x 2019 = 6059；313i(2)当“22 时，an = Sn - Sn = -n2 + -n- (/? -1)2 - - (/? -1) = 3n -1, q = 2满足% =3-1,所以，对任意的 eN*，。=3-1._ (3 + 2)(3 + 5)313 + 2 3/7 + 5 ；因此,lp_lA 315rIfl 1 A 3(8 11J1( 1H3U11 ) 1 1 1 ” 1 1 114 J3(3 + 2 3/7 + 5 J 315 3h + 5 Jn5(377 + 5)【点睛】本题考查利用S“求/，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.18.在A6C中，它的内

23、角A, B, C的对边分别为。，b, J且/ + /=/ +讹，求：(1)角 5=?(2)在若5科比.二百，且边c = l,若cosA = g,且边c = ¥这两个条件中任选一个，求边的值？【答案】(1);(2)/? = JTJ ；b = JJ.【的】【分析】（1）用余弦定理直接代入即可求解；（2）用三角形面积公式和余弦定理可解；用两次余弦定理解方程组即可求解.【详解】 解：(1) cr +c2 -b2 =ac t仁 a2 + c2-b2 ac 1匚、| 九cos5 =一，加以8 = 一 ,2ac 2ac 23(2)若5痴.=6，且边c = l.则 S八= -acsmB = xf/x

24、lxsm =ABC 223所以a = 4,b2 =a2 +c2-2accosB，所以犷=42+12-2x4xlxcos, 3若cosA = 2,且边c =77a2 =b2 +c2 - 2bc cos A = b2 +c2 be a2 +c2 =b2 +ac7得。=2c代入到 a2 +/=？+ 中，所以b = JT -【点睛】考查应用余弦定理和三角形面积公式求三角形中的边和角，中档题.19.自然资源部门对某市饮用水厂中的地下水质量进行监测，随机抽查了 100眼水井进 行监测，得到溶解性总固体浓度（单位：mg/L）和硫酸盐浓度（单位：mg/L）的 分布如下表：溶解性总固体浓度硫酸盐浓度0,300(

25、300,500(500,10000,5033154(50,1507813(150,2503710（1）估计事件“该市某一水井中溶解性总固体浓度不超过500,且硫酸盐浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的2x2列联表:溶解性总固体浓度硫酸盐浓度0,500(500,1000合计0,150(150,250合计（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市水井中溶解性总固体浓2n(ad -be)- K (a + b)(c + d)(a + c)(b + d)度与硫酸盐浓度有关?P(K2>k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828n = a

26、+ b+c + d.【答案】（1）0.63；（2）见解析；（3）有99%的把握认为该市水井中溶解性总固体浓度与硫酸盐浓度有关.（WfJ【分析】（1）根据表格可知满足条件的有63个，再计算概率；（2）根据所给数据，直接计算填表；（3）根据数据计算再和临界值表的数据比较.【详解】（1）由表格可知，该市100眼水井中“溶解性总固体浓度不超过500,且硫酸盐浓度不超过150”的水井有33+7+15+8=63 （眼）.所以“该市某一水井中溶解总固体浓度不超过500,且硫酸盐浓度不超过150”的概率为包=0.63.100（2）由所给数据，可得2x2列联表:溶解性总固体浓度硫酸盐浓度0,500(500,10

27、00合计0,150631780(150,250101020合计7327100（3）根据2x2列联表中的数据可得nad -be)2(a + b)(c + d )(a + c)(b + d)100x(63xl0-17xl0)2 80x20x73x2713225右 6.7098 >6.6351971根据临界值表可知，有99%的把握认为该市水井中溶解性总固体浓度与硫酸盐浓度有 关.【点睛】本题考查独立性检验，重点考查数据分析，计算能力，属于基础题型，读懂题意是本题 的关键.20.如图，在三棱锥PABC中，D, E,尸分别为棱AC, PC, A5的中点.已知PA = 2B BC = 2, EF =

28、 2.(1)证明：平面尸43_L平面45C；(2)若AC = 2, AC±BC9 M为BC中点,求PM与平面A5C所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)汉亘.13【解析】【分析】(1)利用勾股定理证明出0E1DF，结合已知条件由线面垂直的判定定理可证明平面45C，进而可得命题成立；(2)建立空间直角坐标系C-冷2，如图所示，写出两的坐标，求出平面A5C的法向量，利用线面角的正弦公式求解即可.【详解】(1);£>, E分别为棱AC, PC的中点，RPA = 25 :.DE = J:D,产分别为棱AC, A5的中点，且8c = 2,二。尸=1,又 EF = 2，

29、：.DE、DF? = EF2,即 DE10F-PA/DE,:.PA±DF 9 又PA_LAC，ACcO尸=。，.弘，平面A5C, 又PAu平面巳"，.平面PA5_L平面A5C(2)建立空间直角坐标系。-今z,如图所示P(0,0,2的)1(0,0,0),8(0,2,0),M (0,1,0),两=(0,1,2&)设平面ABC的法向量为n =(0,0,1)则PM与平面ABC所成角的正弦值为 卜M = 2屈lxVl + 12 V1313【点睛】 本题考查空间角的求法，考查空间点线面的位置关系，考查空间向量的应用，属于中档 题.21.已知椭圆c： 1+21 = 1(«

30、;>/?>0)的右焦点为F,下顶点为4,上顶点为层, 1 离心率为不，且尸q.尸生=-2.(1)求椭圆c的标准方程；(2)设椭圆C的右顶点为A ,椭圆C上有一点P (不与A重合),直线PF与直线X = 2 相交于M.若14Ml =石，求点夕的横坐标.v- y-8【答案】(1) +2_ = 1； (2) 0或一4 35【解析】【分析】c |(1)由所以尸4 尸民=c? ？ =2 ,又e =,得。=2c,又/-Z/= c?联立 1a 2即可求解；(2)可求出M坐标，可知直线尸产斜率存在且不为0,求出斜率，即可得出直线方程, 联立直线与椭圆就能求得P的横坐标.【详解】(1)由题意：尸(c

31、,0),用=(0,-份,4=(0,6),所以丽丽=。2-1=一2,clc又 e = = ，.a = 2c, a 2又标一=/，联立以上三式得：/ = 4,尸=3,22所以椭圆的标椎方程=1:43(2)可知M 2,±5/3 , F(l,0),则直线斜率k = ±f J = 土 JT,所以直线PF方程为y = ±(x-l),Q代入椭圆可得5/一81=0,解得工=0或1=，5Q所以点尸的横坐标为0或；.【点睛】本题考查了椭圆的标椎方程的求法和直线相交的求解，属于基础题.22.已知函数 f(x) = lnx+o¥(4 £尺).(1)当2时，求函数的极值；(2)若g(x) = /(x)+0,讨论函数g(x)的单调性. X【答案】(1)-1112-1：(2)见详解.【解析】【分析】(1)因为4 = 2,代入直接求导，即可得解;(2)进行求导，根据