八下压轴题一次函数与几何动点问题教师版

1、学习必备欢迎下载1. 等腰三角形存在性八年级下数学期末压轴题精选（ 2021 广西柳州） 23（10 分）如图， 在四边形 oabc中，oabc，oab=9°0 ，o为原点，点 c 的坐标为（ 2， 8），点 b 的坐标为（ 24，8），点 d 从点 b 动身，以每秒 1 个单位长度的速度沿bc向点 c 运动，点 e 同时从点 o动身，以每秒3 个单位长度的速度沿oa向 a 运动，当点 e 达到点 a 时，点 d也停止运动，从运动开头，设 d（e）点运动的时间为t 秒（ 1）连接 ad，记 ade得面积为 s，求 s 与 t 的函数关系式，写出t的取值范畴；（ 2）当 t 为何值时，

2、四边形abde是矩形；（ 3）在（ 2）的条件下，当四边形abde是矩形，在 x 轴上找一点 p，使得 adp为等腰三角形，直接写出全部满意要求的p 点的坐标【分析】（1）依据三角形面积公式运算即可；（ 2）当 bd=ae时，四边形 abde是矩形，由此构建方程即可解决问题；（ 3）分三种情形：当ad=ap时，当 da=dp时，当 pd=pa时，分别求解即可；【解答】解：（1）如图 1 中， s=×（ 243t ）× 8= 12t+96（ 0 t 8）（ 2） oa bd，当 bd=ae时，四边形 bdea是平行四边形，学习必备欢迎下载 oab=9°0 ，四边形

3、abde是矩形， t=24 3t ， t=6s ，当 t=6s 时，四边形 abde是矩形（ 3）分三种情形争论：由（ 2）可知 d（ 18，8），a（24， 0）， ad=10，当 ad=ap时，可得 p1（ 14，0），p2（34，0），当 da=dp时，可得 p3（ 12，0），当 pd=pa时，设 pd=pa=，x4在 rt dpe 中， x2 =82+（x6）2 ， 解得 x=， p4（，0），综上所述，满意条件的点p 坐标为（ 14，0）或（ 34，0）或（ 12， 0）或（，0）；【点评】此题考查四边形的综合题、 矩形的判定和性质、 等腰三角形的判定和性质、勾股定理等学问， 解题

4、的关键是学会用转化的思想摸索问题， 学会用分类争论的思想解决问题，属于中考压轴题学习必备欢迎下载2. 直角三角形存在性（ 2021 深圳新华）如图，在平面直角坐标系中，o是坐标原点，平行四边形的顶点 c 的坐标为（ 8，8），顶点 a 的坐标为（ 6，0），边 ab在 x 轴上，点 e 为线段 ad的中点，点 f 在线段 dc上，且横坐标为 3，直线 ef 与 y 轴交于点 g，有一动点 p 以每秒 1 个单位长度的速度，从点a 沿折线 abcf 运动，当点 p 到达点 f 时停止运动，设点p 运动时间为 t 秒（ 1）求直线 ef 的表达式及点 g的坐标；（ 2）点 p 在运动的过程中，设

5、efp的面积为 s（p 不与 f 重合），试求 s 与 t的函数关系式；（ 3）在运动的过程中，是否存在点p，使得 pgf为直角三角形？如存在，请直接写出全部符合条件的点p 的坐标；如不存在，请说明理由【分析】（ 1）依据点 c的坐标可求出点 f 的纵坐标，结合题意可得出点 f 的坐标，过点 e 作 ehx 轴于点 h，利用 ahe aod，可求出点 e 的坐标，从而利用待定系数法可确定直线 ef 的解析式，令 x=0，可得出点 g的坐标（ 2）延长 he交 cd的延长线于点 m，争论点 p 的位置，当点 p 在 ab上运动时，当点 p 在 bc边上运动时， 当点 p 在 cf上运动时， 分别

6、利用面积相减法可求出答案（ 3）很明显在 bc上存在两个点使 pgf为直角三角形，这两点是通过过点g作 gp ef，过点 f 作 fp ef得出来的【解答】解：（1） c（8，8）， dcx 轴，点 f 的横坐标为 3， od=cd=8学习必备欢迎下载点 f 的坐标为（ 3， 8）， a（ 6，0）， oa=6， ad=10，过点 e 作 ehx 轴于点 h， 就 ahe aod又 e 为 ad的中点，= ah=3， eh=4 oh=3点 e 的坐标为（ 3，4），设过 e、f 的直线为 y=kx+b，直线 ef为 y=x+6，令 x=0，就 y=6，即点 g的坐标为（ 0， 6）（ 2）延长

7、 he交 cd的延长线于点 m， 就 em=eh=4 df=3， s def=×3×4=6，且 s 平行四边形 abcd=cd.od=×8 8=64当点 p 在 ab上运动时，如图 3，s=s平行四边形 abcd s defs apes 四边形 pbcf ap=t， eh=4， s ape=×4t=2t ，学习必备欢迎下载s 四边形 pbcf=（5+8t ）× 8=524t s=64 6 2t （ 524t ），即： s=2t+6当点 p 在 bc边上运动时，s=s平行四边形 abcd s defs pcfs 四边形 abpe过点 p 作 pn

8、cd于点 n c= a， sin a=， sin c= pc=18t ，pn=pc.sin c=（ 18t ） cf=5， s pcf=×5×（18t ）=362t 过点 b 作 bkad于点 k ab=cd=，8bk=ab.sin a=8×= pb=t 8， s 四边形 abpe=（t 8+5）×=t s=64 6（ 362t ）（t ），即s=t+（8 分）当点 p 在 cf上运动时， pc=t 18， pf=5（ t 18）=23 t em=4， s pef=×4×（ 23t ）=462t 学习必备欢迎下载综上： s=（ 3）存

9、在p1（，）p2（，）3. 一次函数与平行四边形：（ 2021 山西晋中）（1）在直角坐标系中， a（1，2），b（4，0），在图 1 中，四边形 abcd为平行四边形，请写出图中的顶点c 的坐标（5，2）学习必备欢迎下载（ 2）平面内是否存在不同于图1 的点 c，使得以 o、a、b、c为顶点的四边形为平行四边形，请在图2 中画出满意情形的平行四边形，并在图中直接标出点c 的坐标（ 3）如图 3，在直角坐标系中， a（ 1，2），p 是 x 轴上一动点，在直线y=x 上是否存在点 q，使以 o、a、p、q 为顶点的四边形为平行四边形？如存在，画出全部满意情形的平行四边形，并求出对应的q的坐标；

10、如不存在，请说明理由【分析】（1）依据平行四边形的性质对边相等，即可解决问题（ 2）存在留意有两种情形点c 坐标依据平行四边形的性质即可解决（ 3）存在如图 3 中所示，平行四边形aq1p1o，平行四边形 aoq2p2，平行四边形 aq1op2 点 q的坐标依据平行四边形的性质即可解决【解答】解：（1）如图 1 中，四边形 abcd是平行四边形， ob=a，c obac，学习必备欢迎下载 a（ 1， 2），b（4，0）， ac=4，点 c 坐标（ 5，2） 故点 c 坐标为（ 5，2）（ 2）存在点 c 坐标如图 2 中所示，（ 3）存在如图 3 中所示，平行四边形aq1p1o，平行四边形 a

11、oq2p2，平行四边形 aq1op2 点 q1（2，2），点 q2（ 2， 2）【点评】此题考查四边形综合题、 点与坐标的关系等学问， 解题的关键是学会正确画出图形，学会分类争论，不能漏解，属于中考常考题型（ 2021 襄阳） 25（11 分）如图，平面直角坐标系中，直线l ：y=x+分别交 x 轴， y 轴于 a， b 两点，点 c在 x 轴负半轴上，且 acb=3°0 （ 1）求 a，c 两点的坐标（ 2）如点 m从点 c 动身，以每秒 1 个单位长度的速度沿射线cb运动，连接 am，设 abm的面积为 s，点 m的运动时间为t ，求出 s 关于 t的函数关系式，并写出自变量的取

12、值范畴（ 3）点 p 是 y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点q，使以 a，b，p，q为顶点学习必备欢迎下载的四边形是菱形？如存在，请直接写出q点的坐标；如不存在，说明理由【分析】（1）由直线方程易得点a 的坐标在直角 boc中，利用 30 度所对的直角边等于斜边的一半求出bc的长，利用勾股定理求出oc的长，确定出 c的坐标即可；（ 2）先求出 abc=9°0，分两种情形考虑：当m在线段 bc上；当 m在线段 bc延长线上；表示出bm，利用三角形面积公式分别表示出s 与 t 的函数关系式即可；（ 3）点 p 是 y 轴上的点，在坐标平面内存在点q，使以 a、b、p、q为顶点的四边形是

13、菱形，分两种情形，如下列图，利用菱形的性质求出aq 的长，依据aq 与 y 轴平行得到 q与 a 横坐标相同，求出满意题意q得坐标即可【解答】解：（1）当 x=0 时， y=；当 y=0 时， x=1点 a 坐标为（ 1，0），点 b 坐标为（ 0，），在 rt boc中， ocb=3°0 bc=2， ob=， oc=3点 c 坐标为（ 3， 0）（ 2）如图 1 所示： oa=1， ob=， ab=2， abo=3°0 ，同理： bc=2， ocb=3°0 ， obc=6°0 ， abc=9°0 ，分两种情形考虑：如m在线段 bc上时， bc

14、=2，cm=，t t ，可得 bm=bccm=2学习必备欢迎下载此时 s abm=bm.ab= ×（ 2 t ）× 2=2t （ 0 t 2）；如 m在 bc延长线上时， bc=2， cm=，t可得 bm=cmbc=t2，此时 s abm=bm.ab= ×（ t 2）× 2=t 2（ t 2）；综上所述， s=；（ 3）p 是 y 轴上的点，在坐标平面内存在点q，使以 a 、b、p、q为顶点的四边形是菱形，如 2 图所示，当 p 在 y 轴正半轴上，四边形abpq为菱形，可得aq=ab=，2 且 q 与 a 的横坐标相同，此时 q坐标为（1，2）， ap

15、=aq=，q与 a 的横坐标相同， 此时 q坐标为（ 1，），当 p 在 y 轴负半轴上，四边形abpq为菱形，可得aq=ab=，2 且 q 与 a 横坐标相同，此时 q坐标为（ 1， 2）， bp垂直平分 aq，此时 q坐标为（ 1，0），综上，满意题意q坐标为（ 1，2）、（1， 2）、（1，）、（ 1，0）【点评】此题属于一次函数综合题， 涉及的学问有： 含 30 度直角三角形的性质， 勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，菱形的性质，利用 了分类争论的思想，娴熟把握待定系数法是解此题其次问的关键学习必备欢迎下载4. 一次函数与矩形 :（ 2021 重庆江津） 26（ 1

16、2 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n（ m 0）的图象与 x 轴交于点 a（ 3，0），与 y 轴交于点 b，且与正比例函数y=2x 的图象交于点 c（3，6）（ 1）求一次函数 y=mx+n的解析式；（ 2）点 p 在 x 轴上，当 pb+pc最小时，求出点 p 的坐标；（ 3）如点 e 是直线 ac上一点，点 f 是平面内一点，以o、c、e、f 四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出点f 的坐标【分析】（1）由 a、c 坐标，可求得答案；（ 2）由一次函数解析式可求得b 点坐标，可求得b 点关于 x 轴的对称点 b的坐标，连接 bc与 x 轴的交点即为所求的p 点，由 b、

17、c坐标可求得直线bc 的解析式，就可求得p 点坐标；（ 3）分两种情形分别争论即可当oc为边时，四边形 ocfe是矩形，此时 eo oc，当 oc为对角线时，四边形oecf是矩形，此时oe ac；【解答】解：（1）一次函数y=mx+n（m0）的图象经过点a（ 3， 0），点 c（ 3， 6），解得，一次函数的解析式为y=x+3学习必备欢迎下载（ 2）如图 1 中，作点 p 关于 x 轴的对称点 b，连接 cb交 x 轴于 p，此时 pb+pc的值最小 b（ 0， 3），c（3，6）b（ 3，0），直线 cb的解析式为 y=3x3， 令 y=0，得到 x=1， p（ 1， 0）（ 3）如图，当

18、oc为边时，四边形 ocfe是矩形，此时 eooc，直线 oc的解析式为 y=2x，直线 oe的解析式为 y=x， 由，解得， e（ 2，1）， eo=c，f oecf，学习必备欢迎下载 f（ 1， 7）当 oc为对角线时，四边形oecf是矩形，此时oe ac，直线 oe的解析式为 y= x， 由，解得，e（，），oe=cf， oe cf，f（，），综上所述，满意条件的点f 的坐标为（ 1.7 ）或（，）【点评】此题考查一次函数综合题、 轴对称最短问题、矩形的判定和性质等学问， 解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会用分类争论的思想摸索问题，属于中考压轴题5. 一次函数与正方形如图（ 1）

19、，四边形 aobc是正方形，点 c 的坐标是（， 0），（ 1）求点 a 的坐标点和正方形aobc的面积；（ 2）将正方形绕点 o顺时针旋转 45°，求旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；（ 3）如图（ 2），动点 p 从点 o动身，沿折线 oacb 方向以 1 个单位 / 每秒匀速运动； 另一动点 q从点 c 动身，沿折线 cboa 方向以 2 个单位 / 每秒匀速运动 p、q两点同时动身，当q运动到点 a 时 p、q同时停止运动设运动时间为 t 秒，是否存在这样的t 值，使 opq成为等腰三角形？如存在，直接写出学习必备欢迎下载t 的值；如不存在，请说明理由【分析】（1）连

20、接 ab，依据 oca为等腰三角形可得ad=od的长，从而得出点a的坐标，就得出正方形aobc的面积；（ 2）依据旋转的性质可得oa的长，从而得出ac，ae，再求出面积即可；（ 3）存在，从 q点在不同的线段上运动情形，可分为三种：当 q点在 bc上时，使 oq=q，p 就有 op=2bq，而 op=t， bq=4 2t ，列式可得出 t ；当 q点在 ob上时，使 oq=o，p 而 op=t， oq=8当 q点在 oa上时，使 oq=p，q 列式可得出 t 2t ，列式可得出 t ；【解答】解：（1）如图 1，连接 ab，与 oc交于点 d， 由 oca为等腰 rt，得 ad=od= oc=

21、2，故点 a 的坐标为（ 2，2），故正方形 aobc的面积为：× 4×4=16；（ 2）如图 1，旋转后可得 oa=ob=4，就 ac=44，而可知 cae=90°， ocb=4°5 ，故 aec是等腰直角三角形，就 ae=ac=44，故 s 四边形 oaeb=s obcsaec=1616（ 3）存在，从 q点在不同的线段上运动情形，可分为三种：如图 2，学习必备欢迎下载当 q点在 bc上时，使 oq=q，p qm为 op的垂直平分线，就有 op=2om=2b，q而 op=t， bq=4 2t ，就 t=2 （42t ），解得： t=如图 3，当 q点

22、在 ob上时，使 oq=o，p而 op=t，oq=82t ，就 t=8 2t ，解得： t=当 q点在 oa上时，如图 4，使 oq=p，q t 2 24t+96=0，解得： t=12+4（舍去）， t=12 4学习必备欢迎下载【点评】此题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定以及旋转的性质，是中考压轴题，综合性较强，难度较大6. 四边形综合（ 1）（2021 武汉新洲）如图，正方形abcd中， p 为 ab 边上任意一点， aedp于 e，点 f 在 dp的延长线上，且ef=de，连接 af、bf， baf的平分线交 df于 g，连接 gc（ 1）求证： aeg是等腰直角三角形；（ 2）求证：

23、 ag+cg= dg【分析】（1）依据线段垂直平分线的定义得到af=ad，依据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；（ 2）作 chdp，交 dp于 h 点，证明 ade dc（haas），得到 ch=d，edh=ae=e，g证明 cg=gh， ag=dh，运算即可【解答】（1）证明： de=ef，ae dp， af=ad， afd=adf， adf+dae=pae+dae=9°0 ，学习必备欢迎下载 afd=pae， ag平分 baf， fag=gap afd+fae=90°， afd+pae+fap=90° 2 gap+2即 gae=4°5pae

24、=90°， age为等腰直角三角形；（ 2）证明：作 ch dp，交 dp于 h点， dhc=9°0 aedp， aed=9°0 ， aed=dhc ade+cdh=9°0 ade=dch， cdh+dch=9°0 ，在 ade和 dch中， ade dch（aas）， ch=d，e dh=ae=eg eh+eg=eh+，hd即 gh=e，d gh=ch cg=gh ag=eg， ag=dh， cg+ag= gh+hd， cg+ag= （gh+h）d，即 cg+ag= dg学习必备欢迎下载（ 2）（2021 天津） 24（8 分）如图（ 1），

25、正方形 abcd的对角线 ac，bd相交于点 o，e 是 ac上一点，连结 eb，过点 a 作 ambe，垂足为 m，am与 bd相交于点 f（ 1）求证： oe=o；f（ 2）如图（ 2）如点 e 在 ac的延长线上， ambe 于点 m，am交 db的延长线于点 f，其他条件不变，结论“oe=o”f 仍成立吗？假如成立，请给出证明；假如 不成立，请说明理由【分析】（ 1）依据正方形的性质对角线垂直且平分，得到 ob=o，a又由于 ambe，所以 mea+mae=9°0 oe=of= afo+ mae，从而求证出rt boe rt aof，得到（ 2）依据第一步得到的结果以及正方形

26、的性质得到ob=o，a 再依据已知条件求证出 rt boert aof，得到 oe=of【解答】解：（1）四边形 abcd是正方形 boe=aof=9°0又 am be， mea+mae=9°0 mea=afo， ob=oa= afo+mae，在 boe和 aof中，学习必备欢迎下载 boe aof oe=of（ 2） oe=of成立四边形 abcd是正方形， boe=aof=9°0又 am be， ob=oa f+mbf=9°0 ， e+obe=9°0 ，又 mbf=obe， f= e在 boe和 aof中， boe aof oe=of【点评

27、】此题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，将待求线段放到两个三角形中，通过证明三角形全等得到对应边相等是解题的关键7. 动点问题：（ 1）（2021 黄石大冶）如图 1，正方形 abcd的边长为 6cm，点 f 从点 b 动身，沿射线 ab方向以 1cm/秒的速度移动， 点 e 从点 d 动身，向点 a 以 1cm/秒的速度移动（不到点 a）设点 e，f 同时动身移动 t 秒（ 1）在点 e， f 移动过程中，连接ce，cf， ef，就 cef的外形是，始终保持不变；（ 2）如图 2，连接 ef，设 ef交 bd于点 m，当 t=2 时，求 am的长；（ 3）如图 3，点 g，h 分

28、别在边 ab，cd上，且 gh=3 cm，连接 ef，当 ef与 gh的夹角为 45°，求 t 的值学习必备欢迎下载【解答】解：（1）等腰直角三角形理由如下：如图 1，在正方形 abcd中， dc=bc， d=abc=9°0 依题意得： de=bf=t在 cde与 cbf中， cde cbf（sas）， cf=ce， dce=bcf， ecf=bcf+bce= dce+ bce=bcd=9°0 ， cef是等腰直角三角形 故答案是：等腰直角三角形（ 2）如图 2，过点 e 作 en ab，交 bd于点 n，就 nem= bfm end=abd=edn=4°

29、;5 ， en=ed=bf在 emn与 fmb中， emn fmb（aas）， em=fm rtaef中， ae=4，af=8，=ef=4， am= ef=2；学习必备欢迎下载（ 3）如图 3，连接 ce，cf， ef与 gh交于 p由（ 1）得 cfe=45°，又 epq=4°5 ， ghcf， 又 af dc，四边形 gfch是平行四边形， cf=gh=3 ，在 rt cbf中，得 bf=3， t=3 【点评】此题考查了四边形综合题解题过程中， 涉及到了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用解答该类题目时， 要奇妙的作出帮助线， 构建几何模型， 利用特别的四边形的性质 （或者全等三角形的性学习必备欢迎下载质）得到相关线段间的数量关系，从而解决问题（ 2）（2021 成都金堂） 28（12 分）如图，边长为a 正方形 oabc的边 oa、oc在坐标轴上在x 轴上线段 pq=a（q在 a 的右边），p 从 a 动身，以每秒1 个单位的速度向 o运动，当点 p 到达点 o时停止运动，运动时间为t 连接 pb，过 p作 pb的垂线，过