全等三角形的经典模型

1、.3全等三角形的经典模型（一）满分晋级三角形 7 级倍长中线与截长补短三角形 8 级全等三角形的经典模型（一）三角形 9 级全等三角形的经典模型（二）秋季班其次讲 秋季班第三讲秋季班第四讲漫画释义作弊？.学问互联网题型一：等腰直角三角形模型思路导航等腰直角三角形数学模型思路：利用特别边特别角证题（ac=bc 或 90°，45，45） . 如图 1；常见帮助线为作高，利用三线合一的性质解决问题. 如图 2；补全为正方形. 如图 3， 4.cc45°45°ababd图 1图 2图 3图 4.典题精练【例 1】 已知：如下列图，rtabc 中， ab=ac，bac90&

2、#176;， o 为 bc 的中点，写出点 o 到 abc 的三个顶点a、b、c 的距离的关系（不要b求证明）假如点m 、n 分别在线段ac、 ab 上移动，且在移动中保持oan=cm .试判定 omn 的外形，并证明你的结论.n假如点m 、n 分别在线段ca、ab 的延长线上移动，且在移动中保持 an=cm，试判定中结论是否依旧成立，假如是请给出证明amc【解析】 oa=ob=ocb连接 oa,oa=ocbaoc45°an=cmo ano cmoon =omnnoamocacnoabonmocbon90mnom90 omn 是等腰直角三角形 onm 依旧为等腰直角三角形，证明： b

3、ac=90°， ab=ac，o 为 bc 中点n bao= oac =abc = acb=45°， ao=bo=oc ， 在 ano 和 cmo 中，bancm baocaoco ano cmo （ sas） on =om ， aon = com ，又 com aom =90°， omn 为等腰直角三角形oo【例 2】 两个全等的含30 ， 60 角的三角板ade 和三角板abc ，如omacmbd图所示放置，e, a,c 三点在一条直线上，连接bd ，取 bd 的中点 m ，连接 me ， mc 试判定 emc的外形， 并说明理由eac【解析】 emc是等腰直角

4、三角形.证明：连接am 由题意，得mbdeac ,daebac90o ,dab90.o dab 为等腰直角三角形.d dmmb ， mambdm ,mdamab45o emdemacaco105 ， edm cam emmc,dmeamc 又emcemaamcemadme90o cmem ， emc是等腰直角三角形【例 3】 已知：如图， abc中， abac ，baca90°， d 是 ac 的中点， afbd 于 e ，交 bc 于 f ，连接 df d求证：adbcdf eb【解析】 证法一：如图，过点a 作 anbc 于 n ，交 bd 于 m fc abac ，bac90&

5、#176;，3dam45°c45°，3c afbd ，1bae90°abac90°，2bae90°12 32在 abm和 caf 中，dme1bnfc12abac3c abm在 adm adcd caf和 cdf amcf 中，damc amcf adm cdf adbcdf 证法二：如图，作cmac 交 af 的延长线于m afbd ，3290°，abac90°，21290°，1d13 e在 acm和 bad 中，3bcfm.13acabacmbad90° acm bad madb ， adcm add

6、c ， cmcd 在 cmf cfcf和 cdf 中，mcfdcf cmcd45° cmf cdfmcdfadbcdf 【例 4】 如图，等腰直角 abc中， acbc ，acb90°， p 为 abc内部一点，满意pbpc ，apac ，求证：abcp15 dappbcbc【解析】 补全正方形acbd ，连接 dp，易证 adp是等边三角形，dap60，bad45，bapbcp15，15 pac30 ， acp75，【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型在解有关等腰直角三角形中的一些问题，如遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引帮助线转化成正方形

7、，再利用正方形的一些性质来解，经常可以起到化难为易的成效，从而顺当地求解；例4 为求角度的应用，其他应用探究如下：【探究一】证角等【备选 1】如图， rt abc 中， bac=90°，ab=ac，m 为 ac 中点， 连结 bm ，作 ad bm交 bc 于点 d ，连结 dm ，求证 : amb = cmd .aembdcbaem1d2cnf【解析】 作等腰 rtabc 关于 bc 对称的等腰rt bfc ，延长 ad 交 cf 于点 n， an bm ，由正方形的性质，可得an=bm ，易证 rtabm rt can ， amb = cnd ，cn =am ， m 为 ac 中

8、点， cm =cn ， 1= 2，可证得 cmd cnd ， cnd = cmd ， amb = cmd 【探究二】判定三角形外形【备选 2】如图， rt abc 中， bac= 90 °，ab=ac，ad=ce， anbd 于点 m ，延长 bd交 ne 的延长线于点f ，试判定 def 的外形ffaaddmemebcbc nnkh【解析】 作等腰 rtabc 关于 bc 对称的等腰rt bhc，可知四边形abhc 为正方形，延长an 交 hc 于点 k ， ak bd，可知 ak=bd ，易证 :rt abd rt cak， adb= ckn ，ck=ad， ad =ec， ck

9、 =ce，易证 ckn cen， ckn = cen， 易证 edf = def ， def 为等腰三角形【探究三】利用等积变形求面积【备选 3】如图， rtabc 中， a=90°， ab=ac，d 为 bc 上一点， de ac， df ab，且 be=4，cf =3，求 s 矩形 dfae.bgnbdeme dcfacfa【解析】 作等腰 rtabc 关于 bc 的对称的等腰rt gcb，可知四边形abgc 为正方形，分别延长fd 、 ed 交 bg、cg 于点 n、m ，可知 dn =eb=4， dm =fc=3 ，由正方形对称性质，可知 s 矩形 dfae=s 矩形 dmg

10、n =dm ·dn =34=12【探究四】求线段长【备选 4】如图， abc 中， ad bc 于点 d， bac=45°， bd=3 ， cd =2，求 ad 的长aafecdbcdbg【分析】 此题如用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐， 此题尽管已知条件不是等腰直角三角形，但 bac =45°，如分别以ab、ac 为对称轴作rt adb 的对称直角三角形和rt adc 的对称直角三角形，这样就显现两边相等且夹角为90°的图形，满意等腰直角三角形的条件，然后再引帮助线使之转化为正 方形【解析】 以 ab 为轴作rt adb 的对

11、称的rtaeb，再以ac 为轴作rtadc 的对称的rt afc 可知 be=bd=3，fc =cd =2，延长 eb、fc 交点 g， bac=45°，由对称性，可得eaf =90°，且 ae=ad =af ，易证四边形afge 为正方形，且边长等于ad， 设 ad =x，就 bg=x 3， cg =x 2，在 rt bcg 中，由勾股定理，得22x2x352 ，解得 x=6，即 ad=6 【探究五】求最小值.【备选 5】如图， rtabc 中， acb=90°， ac=bc=4 ，m 为 ac 的中点， p 为斜边 ab 上的动点，求pm+pc 的最小值aad

12、ppmmcbcb【解析】 将原图形通过引帮助线化归为正方形，即作 rtacb 关于 ab 对称的 rtadb ， 可知四边形 acbd 为正方形，连接 cd ，可知点 c 关于 ab 的对称点 d，连接 md 交 ab 于点 p ，连接 cp ，就 pm+pc 的值为最小，最小值为 : pm +pc=dm =224225 题型二：三垂直模型思路导航常见三垂直模型例题精讲【引例】已知 ab bd ，ed bd， ab=cd ， bc=de ，求证： ac ce；e如将 cde 沿 cb 方向平移得到等不怜悯形，abc1 d ，a其余条件不变，试判定ac c1e 这一结论是否成立？如成立，赐予证.

13、12bcd.明；如不成立，请说明理由.eeeea aaab c1cdbc1d cb c1dcc1b dc【解析】 ab bd， ed bdbd90在 abc 与 cde 中abcdbdbcde abc cde（ sas）1e2e90ace90,即 ac ce 图 四种情形中，结论永久成立，证明方法与完全类似，只要证明 abc c1 deacbc1edc1 eddc1 e90dc1 eacb90acc1e典题精练【例 5】 正方形 abcd 中，点 a 、 b 的坐标分别为0 ，10， 8 ，4，点 c 在第一象限求正方形边长及顶点c 的坐标（ 运算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜

14、边的平方. ）ydydccaa2.13bebfxxoog.【解析】 过点 c 作 cg x 轴于 g，过 b 作 bey 轴于 e，并反向延长交cg 于 f点 a 、 b 的坐标分别为0 ，10， 8 ，4be =8， ae=6， ab=10四边形 abcd 是正方形， ab=bc1390239012aebbfc90 aeb bfccf =be=8， bf =ae =6cg =12ef=14c14， 12，正方形的边长为10【点评】 此 题中三垂直模型：【例 6】 如下列图， 在直角梯形abcd 中，abc90 ，ad bc ， adabbc ， e 是 ab 的中点， cebd m 求证：

15、bead ；ebc 求证： ac 是线段 ed 的垂直平分线； dbc是等腰三角形吗？请说明理由【解析】 abc90， bdec ，ecbdbc90 ，abddbc90 ， ecbabd ，abcdab90 ， abbc ， bad cbe， adbe e 是 ab 中点， ebea由 得： adbe ， aead ad bc ， cadacb45，bac45， bacdac由等腰三角形的性质，得：emmd ，amde即 ac 是线段 ed 的垂直平分线 dbc 是等腰三角形，cdbd由 得： cdce ，由 得： cebd cdbd ， dbc是等腰三角形.【例 7】 如图 1， abc 是

16、等边三角形，d、e 分别是 ab、bc 上的点，且bd=ce，连接ae、 cd 相交于点p请你补全图形，并直接写出apd 的度数 =；如图 2，rt abc 中， b=90°，m 、n 分别是 ab、bc 上的点，且 am =bc、bm =cn ，连接 an、cm 相交于点p请你猜想 apm =°，并写出你的推理过程（2021 平谷一模）ccpnaba图1【解析】 图略， 60° 45°证明：作aeab 且 aecnbm .mb图 2cepnamb可证 eam mbc memc ，amebcm .cmbmcb90 , cmbame90 .emc emc9

17、0 .是等腰直角三角形,mce45 .又 aec can （ sas）ecanac . ec an.apmecm45 .思维拓展训练 选讲 训练 1.已知：如图， abc中， ac=bc，1acb90， d 是 ac 上一点， ae bd 的延长线于 e，并且aaebd ，求证： bd 平分abc .2aededcbfcb【解析】 延长 ae 交 bc 的延长线于fbe af ，acb90facdbc 在afc 和 bdc 中，facdbc acbcacfbcd afc bdc（ asa ）af =bd又 aeae1 bd21 afef2. be 是 af 的中垂线 ba =bf bd 平分a

18、bc训练 2.已知，在正方形abcd 中，e 在 bd 上，dg ce 于 g，dg 交 ac 于 f.求证：oe=of【解析】 abcd 是正方形od =ocdg cedoc90addgc90docdgcofdgfcoefbgodfecoc 在 dof 和 coe 中，dofcoe odocodfoce dof coe （ asa ） oe=of训练 3.已知：如图， abc中， abac ，bac90°， d 是 bc 的中点， afbe 于g 求证：dhdfa【解析】 abac ，bac90°， d 是 bc 的中点ad=bd=cd， ad bcadb90eh afb

19、egagh90bdfcdbedaf在 bdh 和 adf 中，dbhdaf bdadadbadf bdh adf （ asa ）dh =df训练 4.如图，已知矩形abcd 中， e 是 ad 上的一点， f 是 ab 上的一点， ef ec，且 ef =ec， de=4cm，矩形 abcd 的周长为32cm，求 ae 的长 【解析】 在 rt aef 和 rt dec 中， ef ce， fec=90°， aef +dec =90°，而 ecd +dec =90°， aef = ecd又 fae= edc =90° ef=ecrt aef rtdce

20、a edfb c.ae =cdad =ae+4矩形 abcd 的周长为32 cm，2（ ae+ae+4） =32 解得 ae=6 cm .复习巩固题型一等腰直角三角形模型巩固练习c【练习 1】 如图， acb、 ecd 均为等腰直角三角形，就图中与 bdc 全等的三角形为 .e【解析】 aecadb【练习 2】 如图，已知rt abc 中acb90°， acbc ， d 是bc 的中点， cead ，垂足为e bf ac ，交 ce 的延长线于点f 求证：ac2bf 【解析】 acb90°， bf ac ，cacdcbf adccad90°，d90°e

21、cead ，abfcbadc90°，cadfcb f又 accb ， adc cfb dcfb d 是 bc 的中点， bc2 bf ，即 ac2bf 题型二三垂直模型巩固练习【练习 3】已知：如图，四边形abcd 是矩形（ ad ab），点 e 在 bc 上，且 ae =ad ， df ae ，垂足为 f 请探求df 与 ab 有何数量关系？写出你所得到的结论并赐予证明【解析】 经探求，结论是：df = abad证明如下：四边形 abcd 是矩形， b = 90o， ad bc， daf = aeb df ae， afd = 90o ， ae = ad， abe dfa ab =

22、df fbec.【练习 4】如图， abc中， acbc ，bca90°， d 是 ab 上任意一点，adaecd 交 cd 延长线于 e ， bfcd 于 f 求证： efbfae e【解析】 依据条件，ace 、cbf 都与bcf 互余，facecbf 在 ace和 cbf 中，cbaccb ，aeccfb90°， ace cbf 就 cebf ， aecf ， efcecfbfae 【练习 5】四边形 abcd 是正方形如图 1，点 g 是 bc 边上任意一点不与 b、c 两点重合 ，连接 ag ，作 bf ag于点 f， de ag 于点 e求证： abf dae ；在中，线段 ef 与 af、bf 的等量关系是直接写出结论即可，不需要证明 ；如图 2，点 g 是 cd 边上任意一点 不与 c、d 两点重合 ，连接 ag，作 bf ag 于点 f，de ag 于点 e那么图中全等三角形是，线段 ef 与 af 、 bf 的等量关系是直接写出结论即可，不需要证 明a dad fefegb c