平面向量的概念及其线性运算

1、平面向量的概念及其线性运算一、教学目标1、理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念；2、会表示向量；掌握平行向量、相等向量、共线向量的区别和联系；3、灵活运用向量加法运算的三角形法则和平行四边形法则解决向量的加法问题，能利用交换律、结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量差的问题；4、理解实数与向量的积的含义，掌握实数与向量的积的运算律，掌握向量共线、平行的充要条件.二、重点、难点、易错（混）点、常考点向量加法、减法运算及其几何意义；掌握向量共线（平行）的充要条件及其应用.三、知识梳理【创新设计P65】四、精选例题+变式训练考点一平

2、面向量的有关概念【例1】给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中真命题的序号是_规律揭示：对于向量的概念应注意以下几条：(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小【训练1】设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0

3、平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的序号是_【训练2】(2012·浙江卷改编)设a，b是两个非零向量对于结论：若|ab|a|b|，则ab；若ab，则|ab|a|b|；若|ab|a|b|，则存在实数，使得ba；若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|.正确结论的序号是_考点二平面向量的线性运算【例2】(1) (2013·四川卷)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O， ，则_.(2)(2013·泉州模拟)已知P，A，B，C是平面内四点，且，那么_.规律揭示：(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或

4、平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用【训练1】(1) 将写成时，实数 ABCDE (2) 如图，在中，记，则 （用与表示）.【训练2】在四边形中，且向量不共线，则四边形为 .【训练3】如图，已知点分别是三边的中点.求证：.ABCDEF考点三 向量共线定理及其应用【例3】设向量不共线，求证：点在直线上的充要条件是.规律揭示：(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别

5、与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a，b不共线【训练1】(2013·郑州一中月考)设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线【训练2】设是两个不共线的非零向量，为实数，若起点相同，则为何值时，三个向量的终点在同一直线上.【训练3】已知点在同一直线上，且（其中 是两个任意非零向量），试求之间的关系.五、小结【方法规律、结论的归纳、提升】1向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论2对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解为位置(共线或不共线)与向量等式之间所建立的对应关系要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足