高考数学（理）一轮规范练【52】抛物线（含答案）

1、课时规范练52抛物线课时规范练第79页 一、选择题1.已知抛物线x2=ay的焦点恰好为双曲线y2-x2=2的焦点,则a=() A.1B.4C.8D.16答案:C解析:根据抛物线方程可得其焦点坐标为,双曲线的焦点为(0,2),依题意则有=2,解得a=8.2.抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线=1的一个焦点重合,则该抛物线的标准方程可能是()A.x2=4yB.x2=-4yC.y2=-12xD.x2=-12y答案:D解析:由题意得c=3,抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0,-3).该抛物线的标准方程为x2=12y或x2=-12y.3.已知抛物线y2=2px(p>0)上的一点M(1,

2、m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值为()A.B.C.D.答案:A解析:由题意,得1+=5,p=8.m=4.M(1,4).又A(-,0),直线AM的斜率为kAM=.a=.4.已知点P是抛物线y2=4x上一点,设点P到此抛物线准线的距离是d1,到直线x+2y-12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值是()A.5B.4C.D.答案:C解析:设抛物线的焦点为F,则F(1,0).由抛物线的定义可知d1=|PF|,d1+d2=|PF|+d2.d1+d2的最小值为|PF|+d2的最小值,即点F到直线x+2y-12=0的距离

3、.最小值为.5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的3个点A,B,C的横坐标之比为345,则以|FA|,|FB|,|FC|为边长的三角形()A.不存在B.必是锐角三角形C.必是钝角三角形D.必是直角三角形答案:B解析:设A,B,C三点的横坐标分别为x1,x2,x3,x1=3k,x2=4k,x3=5k(k>0),由抛物线定义得|FA|=+3k,|FB|=+4k,|FC|=+5k,易知三者能构成三角形,|FC|所对角为最大角,由余弦定理可证该角的余弦值为正数,故该三角形必是锐角三角形.6.若点P到定点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则点P的轨迹方程是

4、()A.y2=-16xB.y2=-32xC.y2=16xD.y2=16x或y=0(x<0)答案:C解析:点F(4,0)在直线x+5=0的右侧,且P点到定点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,点P到F(4,0)的距离与它到直线x+4=0的距离相等.故点P的轨迹为抛物线,且顶点在原点,开口向右,设抛物线方程为y2=2px(p>0),则p=8.故点P的轨迹方程为y2=16x.二、填空题1 / 47.以抛物线x2=16y的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为. 答案:x2+(y-4)2=64解析:抛物线的焦点为F(0,4),准线为y=-4,则圆心为(0,4)

5、,半径长r=8.所以,圆的方程为x2+(y-4)2=64.8.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,若|AF|=3,则|BF|=. 答案:解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|=3及抛物线定义可得,x1+1=3,x1=2.A点坐标为(2,2),则直线AB的斜率为k=2.直线AB的方程为y=2(x-1).由消去y,得2x2-5x+2=0,解得x1=2,x2=.|BF|=x2+1=.9.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且满足NF=MN,则NMF=. 答案:解析:过N作准线的垂线,垂足是P,则有PN=N

6、F,PN=MN,NMF=MNP.又cosMNP=,MNP=,即NMF=.三、解答题10.如图,F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C在抛物线上,若=0,求|+|+|的值.解:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),F(1,0),=(x1+x2+x3-3,y1+y2+y3)=0,|+|+|=x1+x2+x3+=3+3=6.11.抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线,被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线方程.解:如图,依题意可设抛物线方程为y2=2px(p>0),则直线方程为y=-x+p.设直线与抛物线的交点为A(x1,y1),B(x

7、2,y2),则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+x2+,即x1+x2+=8.又A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,由消去y,得x2-3px+=0,x1+x2=3p.将其代入,得p=2.所求抛物线方程为y2=4x.当抛物线方程设为y2=-2px时,同理可求得抛物线方程为y2=-4x.12.(2013广东高考)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点

8、时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.解:(1)依题意,设抛物线C的方程为x2=4cy,由,结合c>0,解得c=1.所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)抛物线C的方程为x2=4y,即y=x2,求导得y'=x,设A(x1,y1),B(x2,y2),则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0,同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0,因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0.所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.联立方程消去x整理得y2+(2y0-)y+=0.由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=-2y0,y1y2=,所以