人教版高中数学必修⑤3.2《一元二次不等式及其解法》教学设计

1、课题：必修 3.2 一元二次不等式及其解法三维目标：1、 学问与技能（ 1）从实际问题中建立一元二次不等式，熟悉一元二次不等式的重要性；（2）懂得一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的本质关系，把握图象法解一元二次不等式的方法；（ 3）培育同学数形结合的才能，培育分类争论的思想方法，培育抽象概括才能和规律思维才能；2、过程与方法（ 1）通过同学感爱好的上网问题引入一元二次不等式的有关概念，通过让同学比较两种不同的收费方式，抽象出不等关系；（ 2）经受从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系， 获得一元二次不等式的解法；（ 3）培育同学分

2、析问题、 解决问题的才能及钻研精神，培育同学的运算才能、严谨的思维习惯以及解题的规范性；3、情态与价值观1 通过对不等式学问的进一步学习，不断培育自主学习、合作沟通、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参加意识和合作精神；（ 2）通过生动详细的现实问题，激发同学探究的爱好和欲望， 树立同学求真的士气和自信心，激发学习数学的热忱， 培育勇于探究的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想；体 验在学习中获得胜利的成就感，为远大的志向而不懈奋斗；教学重点：（ 1）从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，环绕一元二次不等式的解法绽开，突出表达数形结合的思想；（ 2）一元二

3、次不等式的解法. ；教学难点：懂得二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系；教具： 多媒体、实物投影仪教学方法： 合作探究、分层推动教学法教学过程：一、双基回眸科学导入： 上一节，我们学习了不等关系和不等式的基本学问和基本性质，下面第一复习一下不等式的基本性质：性质 1： abba 等价性 性质 2： ab ,bcac （传递性）性质 3： abacbc （可加性）性质 4： ab, c0acbcab,c0acbc （条件可乘性）性质 5： ab,cdacbd （同向相加）性质 6： ab0, cd0acbd（同向相乘）性质 7： ab0a nbn , nn , n2性质 8： ab0

4、n anb ,nn ,n2 通过实际问题， 同学们感受到了不等式的重要作用，而不等式有各种各样的类型，引领同学阅读课本第76页的上网问题，得出一个关于 x 的一元二次不等式，2即x5 x0大家都知道一元二次方程是很重要的；同样，一元二次不等式也是很重要的，一元二次不等式怎么来解决呢？它与一元二次方程的关 系如何？下面我们来逐步探究这些重要的问题，这也是我们要学习和探究的主要内容二、 创设情境合作探究：22【引领同学合作探究出一元二次不等式的解法】怎样求一元二次不等式的解集呢？我们以不等式 x-5x 0 为例我们来考察它与二次函数y=x-5x 以2及一元二次方程的关系x -5x=0 的关系12简

5、单知道，方程x2 -5x=0 有两个实数根 x =0，x =5由二次函数的零点与一元二次方程的关系，x1=0，x2 =5 是的两个零点；画出二次函数y=x2-5x 的图像；观看函数图像可知，当（ x0, 或 x5）时，函数2图像位于 x 轴上方，此时 y0, 即 x -5x 0；当（0x 5）时， 函数图像位于x 轴下方，此时y 0, 即 x2 -5x 0；所以，一元二次不等式x2-5x 0 的解集是 x0x5yx05上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式ax2bx c 0 或 ax2 bx c 0（ a0）的解集；（引领同学层层推动，总结出一般的一元二次不等式ax2 bx c0或 ax2

6、bx c 0（ a 0）的解集；）我们可以由函数的零点与相应一元二次方程的关系，先求出一元二次方程的根， 再依据函数图像与x 轴的相关位置确定一元二次不等式的解集；至此我们把握了用图象法来解一元二次不等式. 引导同学分三种2情形 0, 0, 0 争论一元二次不等式ax +bx+c 0a 0 2与 ax +bx+c 0a 0 的解集 .三个二次>0=0 <0y=ax2+bx+ca>0图 象2ax +bx+c=0a>0x1x2x1= x2b2根ax +bx+c>0a>0解 集ax2+bx+c<0a>0解 集x=x1 或 x=x2x1=x2 =无 解2

7、abx|x<x1 或 x>x2x|xr2 ax|x1<x<x2【小试牛刀 】1 求以下不等式的解集（ 1） 3x27x 10（2） -2x 2 x5 0（ 3）-x 24x4 0（ 4） x2-x 1 0422（ 5） 2 x x-3（ 6）12 x31x 2002 自变量 x 在什么范畴内取值时，以下函数的值等于0？大于 0？小于 0？（ 1）y=3 x 2 6x 2（2） y=25- x 2（ 3）y= x 2 6x10（4）y=-3 x 2 12x-122三、互动达标巩固所学：2问题.1 解不等式（ 1） 2x-3x-2>0（ 2） -3 x+6x>2

8、【分析】 依据前面的总结，第一应运算一下相应方程的ax 2bxc =0的判别式b 24 ac ，（如能看出可分解因式， 可直接分解， 然后写出解集）然后依据对应的情形即可求出不等式的解2【解析】 （ 1） 2x -3x-2>0 x2 2 x10x1 或x22所以，所求不等式的解极为 x | x1 或x222（ 2）-3 x +6x>23x 26 x20方程 3 x26x20的两根为 133所以，所求不等式的解极为 x | 13x13 33【点评】 解一元二次不等式的步骤： 将二次项系数化为“ +”： a= ax 2bxc >0或<0a>0 运算判别式，分析不等式的

9、解的情形：.>0 时，求根如a如12x < x，0，就xx1或x2；a0，就x1xx2 .=0 时，求根x1如ax2 x0 ， 如a如a0，就 x0，就 x0，就 xx0的一切实数；x0 .<0 时，方程无解，如a0，就xr；如a0，就x. 写出解集 .问题.2（ 1） 课本第 78 页求不等式4 x24 x10 的解集 .（2） 课本第 78 页求不等式x 22x30 的解集 .1【分析】通过前面的探究和练习， 同学们已经明白明白决一元二次不等式的步骤，只不过需要再做各种类型的题目巩固一下【解析】 （ 1）由于0 , 方程4 x 24 x10 的解是x1x2.2所以，原不等

10、式的解集是xx12（ 2）整理，得 x22 x30 .由于0 , 方程 x 22x30 无实数解，所以不等式 x22x30 的解集是.从而，原不等式的解集是.【点评】 再次体会一下 解一元二次不等式的步骤： 将二次项系数化为“ +”： a= ax 2bxc >0或<0a>0 运算判别式，分析不等式的解的情形：.>0 时，求根如a如12x < x，0，就xx1或x2；a0，就x1xx2 .=0 时，求根x1如ax2 x0 ， 如a如a0，就 x0，就 x0，就 xx0的一切实数；x0 .<0 时，方程无解，如a0，就xr；如a0，就x. 写出解集 .问题.3解

11、关于 x 的不等式 ax22（ a 1）x 4 0.【分析】 此题是一个含有参数的不等式，第一要依据情形，层层对a进行分析和争论，便于利用确定的不等式类型来逐步解决【解析】 当 a0时，原不等式为一次不等式，即2x 40， x 2当 a 0 时， ax2 2（ a1） x 40 的判别式 4（ a1）20，其二根 x 2， x 212a于是有2当 a0 时， xax 22当 0a1 时， x x 2 或 xa2当 a1 时， xxa或 x2综上所述：当 a0 时，原不等式的解集为 x x 22当 a0 时，原不等式的解集为 xa x 2当 0a1 时，原不等式的解集为 x x 2 或 x2a当

12、 a1 时，原不等式的解集为 x x 2a或 x 2【点评】解含参数的不等式问题， 第一是争论参数 定出不等式的类型，然后再对不等式所对应的方程根的情形进行观看，作出进一步的分类争论，步步为营，层层解出问题.4某种汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车车速x km h有如下关系：s= 1x201x2180在一次交通事故中，测得这种汽车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？（精确到0.01km h）【分析】解决应用问题， 与前面思想一样， 第一审清题意， 找出关系，恰当设出相关量建立相应的数学模型，此题应为不等式模型【解析】 设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h ，

13、依据题意，我们得到 1 x1x239.520180移项整理得：x29 x71100明显0 ，方程x29x71100 有两个实数根，即x188.94,x279.94；所以不等式的解集为x | x88.94,或x79.94在 这个 实际 问题中 ， x>0， 所以这辆汽车 刹车 前的车 速至 少为79.94km/h.【点评】解决应用问题，应留意所设各量的范畴，这与抽象的数学题目往往不一样；问题.4 例 5一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与制造的价值y（元）之间有如下关系：y=-2x2220x如这家工厂期望在一个星期内利用这条流水线创收6000 元

14、以上，那么它在一个星期内大约应当生产多少辆摩托车？【分析】此应用问题，与上题一样，只不过是表达不等式应用的广泛性；第一审清题意，找出关系，恰当设出相关量建立相应的数学模型，此题应为不等式模型【解析】设在一个星期内大约应当生产x 辆摩托车，依据题意，我们得到22 x220 x6000移项整理，得x2110 x30000由于1000 ，所以方程x2110 x30000 有两个实数根x150,x260由二次函数的图象，得不等式的解为：50<x<60由于 x 只能取正整数， 所以， 当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51 59 辆之间时，这家工厂能够获得6000 元以上的

15、收益；【点评】通 过这两个应用问题，进一步表达数学学问运用的广泛性，同时也在解决实际问题的过程中，巩固所学，进一步体会数学学问的本质四、思悟小结：学问线：（ 1）一元二次不等式的概念；（ 2）一元二次不等式与一元二次方程、一元二次函数的关系；（ 3）一元二次不等式的解法；思想方法线：（ 1）公式法；（ 2）配方法；（3）分类争论思想；（ 4）等价转化思想；（ 5）数形结合思想；题目线：（1）解各种类型的一元二次不等式；（2）解含参数的一元二次不等式；（3）解决与一元二次不等式相关的实际问题；（4）不等式的综合运用；五、针对训练巩固提高：21.已知一元二次方程x -2mx m2=0 的两个实根的平方和大于2， 求 m的取值范畴2. 假如方程 x2-2mx m2-1=0的两根介于 -2 ，4 之间，求 m 的取值范畴3. 求以下不等式的解集：（1） 4-20x 25（2）（x-3 ）（ x-7 ） 0（3）-3 5x-4 0（ 4）x（ 1-x ） x（2x-3 ） 14某文具店购进一批新型台灯，如按每盏灯15 元的价格销售，每天能卖 30 盏；如售价每提高1 元，日销售量将削减2 盏；为了使这批台灯每天获得 400 元以上的销售收入， 应怎样制定这批台灯的价