高数隐函数求导专题

1、 第八章 第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数隐函数的求导方法 本节讨论本节讨论 :1) 方程在方程在什么条件什么条件下才能确定隐函数下才能确定隐函数 .例如例如, 方程方程02Cyx当当 C 0 时时, 不能确定隐函数不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时在方程能确定隐函数时, 研究其研究其连续性、可微性连续性、可微性 及及求导方法求导方法问题问题 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐

2、函数及其导数定理定理1.1. 设函数设函数),(00yxP),(yxF;0),(00yxF则方程则方程00),(xyxF在点单值连续函数单值连续函数 y = f (x) , )(00 xfy 并有连续并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数具有连续的偏导数; ;的的某邻域内某邻域内可唯一确定一个可唯一确定一个在点在点的某一邻域内满足的某一邻域内满足0),(00yxFy满足条件满足条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数导数0)(,(xfxF两边对两边对 x 求导求导0ddxyyFxFy

3、xFFxydd0yF, ,所所确确定定的的隐隐函函数数0 0y y) )F F( (x x, ,为为方方程程f f( (x x) )y y设设在在),(00yx的某邻域内的某邻域内则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 若若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续的二阶偏导数也都连续, ,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFF)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二阶导数二阶导数 :)(yxFFxxyxxydd则还有则还有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 验证方程验证方程01sinyxeyx在点在点(0,0)某邻

4、域某邻域可可确定一个确定一个单值可导隐函数单值可导隐函数, )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令令, 1sin),(yxeyyxFx,0)0 , 0(F, yeFxx连续连续 ,由由 定理定理1 可知可知,1)0 , 0(yF0, )(xfy 导的隐函数导的隐函数 则则xyFy cos在在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可的某邻域内方程存在单值可且且机动 目录 上页 下页 返回 结束 并求并求0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyex0, 0yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy 3100yyx)(yex)

5、(cosxy )(yex) 1sin(yy1, 0, 0yyx0 xy30dd22xxy)(, 01sinxyyyxeyxyycos两边对两边对 x 求导求导1两边再对两边再对 x 求导求导yyyy cos)(sin2令令 x = 0 , 注意此时注意此时1,0yy0 yxyyexxey0 yx)0 , 0(cosxyyex导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导利用隐函数求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2 . 若函数若函数 ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内具有的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ,则方程则方程0),(zyxF在点在点)

6、,(00yx并有连续偏导数并有连续偏导数, ),(000yxfz 定一个单值连续函数定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略定理证明从略, 仅就求导公式推导如下仅就求导公式推导如下:满足满足0),(000zyxF0),(000zyxFz 在点在点满足满足:某一邻域内可唯一确某一邻域内可唯一确机动 目录 上页 下页 返回 结束 0),(,(yxfyxF两边对两边对 x 求偏导求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得同样可得,0),(),(所确定的隐函数是方程设yxFyxfz则则zFxz00),(000zFzyx的某邻域内在机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设

7、,04222zzyx解法解法1 利用隐函数求导利用隐函数求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求机动 目录 上页 下页 返回 结束 再对再对 x 求导求导解法解法2 利用公式利用公式设设zzyxzyxF4),(222则则,2xFxzxFFxz两边对两边对 x 求偏导求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz机动 目录 上页 下页 返回 结束 xz例例3. 设设F( x , y)具有连续偏导数具有连续偏导数, 0),(zyzxF.dz求解法解法1

8、 利用偏导数公式利用偏导数公式.是由方程设),(yxfz 0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 确定的隐函数确定的隐函数,)dd(2121yFxFFyFxz则)()(2221zyzxFF 已知方程已知方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 故故对方程两边求微分对方程两边求微分: 1F)dd(d2121yFxFFyFxzz)dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd21解法解法2 微分法微分法. .0),(zyzxF)dd(2zzyyz)(dzx 2F0)(dzy 1F 2F0机动 目录 上页

9、 下页 返回 结束 二、方程组所确定的隐函数组及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由由 F、G 的偏导数组成的行列式的偏导数组成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(称为称为F、G 的的雅可比雅可比( Jacobi )行列式行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,即即雅可比 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3.3.,0),(0000vuyxF的某一邻域内具有连续偏的某一邻域内具有连续偏设函数设函

10、数),(0000vuyxP),(, ),(vuyxGvuyxF则方程组则方程组0),(,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在点的单值连续函数的单值连续函数),(, ),(yxvvyxuu且有偏导数公式且有偏导数公式 : : 在点在点的某一邻域内可的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件确定一组满足条件满足满足: :0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG导数；导数；, ),(000yxuu 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(000yxvv ),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv定理证明略定理

11、证明略.仅推导偏导仅推导偏导数公式如下：数公式如下：vvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1(P34-P35)机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxGFyyGFxxGFyyGF0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的线性方程组这是关于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隐函数组有隐函数组则则两边对两边对 x 求导得求导得,),(),(yxvvyxuu设方程组设方程组,0vuvuGGFFJ在点在点P 的某邻域内的某邻域内xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0公式 目录 上页 下

12、页 返回 结束 故得故得系数行列式系数行列式同样可得同样可得),(),(1vyGFJyu机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv例例4. 设设, 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程组两边对方程组两边对 x 求导，并移项得求导，并移项得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx练习练习: 求求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案答案:由题设由题设故有故有例例5.5.设函数设函

13、数在点在点(u,v) 的某一的某一),(, ),(vuyyvuxx0),(),(vuyx1) 证明函数组证明函数组),(),(vuyyvuxx( x, y) 的某一邻域内的某一邻域内. ),(, ),(yxvvyxuu2) 求求),(, ),(yxvvyxuu解解: 1) 令0),(),(vuxxvuyxF0),(),(vuyyvuyxG对对 x , y 的偏导数的偏导数.在与点在与点 (u, v) 对应的点对应的点邻域内有连续的偏导数邻域内有连续的偏导数, ,且且 唯一确定一组单值、连续且具有唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数连续偏导数的反函数机动 目录 上页 下页 返回 结束

14、),(),(),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx式两边对式两边对 x 求导求导, 得得uy0 xvxu1xuxvuxvxvy机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有则有),(),(vuGFJ,0),(),(vuyx由定理由定理 3 可知结论可知结论 1) 成立成立.2) 求反函数的偏导数求反函数的偏导数. , 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ机动 目录 上页 下页 返回 结束 从方程组从方程组解得解得同理同理, 式两边对式两边对 y 求导求导, 可得可得,1vxJyuuxJyv1, 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyu

15、xJ机动 目录 上页 下页 返回 结束 从方程组从方程组解得解得同理同理, 式两边对式两边对 y 求导求导, 可得可得,1vxJyuuxJyv1xuxv例例5的应用的应用: 计算极坐标变换计算极坐标变换sin,cosryrx的反变换的导数的反变换的导数 .),(),(ryxJxrx同样有同样有22yxyyr22yxxy所以所以由于由于vyJ 1uyJ 1cos1rrsin1rcossinsincosrrryJ1cos22yxxryJ 122yxyrr机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 隐函数隐函数( 组组) 存在定理存在定理2. 隐函数隐函数 ( 组组) 求导方法求导方法

16、方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算 ;方法方法2. 利用微分形式不变性利用微分形式不变性 ;方法方法3. 代公式代公式思考与练习思考与练习设设, ),(zyxzyxfz求求.,yxzxxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 zx 提示提示:),(zyxzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf11f 1zx2f yxzxzy211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy21fzxf21fzyf机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(zyxzyxfz解法解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数利用全微

17、分形式不变性同时求出各偏导数. .,yxzd1f zyxddd2f zyxyzxxzyddd:dx解出 d x21fzyfzfyxfd121yfzxfd21.zx第六节 目录 上页 下页 返回 结束 由由d y, d z 的系数即可得的系数即可得)()(xzzxyy及,2 yxeyx备用题备用题.ddxu求分别由下列两式确定分别由下列两式确定 :又函数又函数),(zyxfu 有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数 ,1. 设设解解: 两个隐函数方程两边对两个隐函数方程两边对 x 求导求导, 得得321)sin()(1ddfzxzxefxyfxuxuzyxx x0)()(yxyyxyeyxxezxzx )sin()1 (z,xyy)sin()(1zxzxezx,dsin0tttezxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 解得解得因此因此 zxFyFy0zFz fx)1 (y2. 设设)(, )(xzzxyy是由方程是由方程)(yxfxz和和0),(zyxF所确定的函数所确定的函数 , 求求.ddxz解法解法1 分别在各方程两端对分别在各方程两端对 x 求导求导, 得得ffxfzyfx xzyFzFyF)0( zy