《角平分线的性质》优质教案

1、13.5.2角平分线角平分线复习提问复习提问1 1、角平分线的概念、角平分线的概念oBCA12尺规作图：尺规作图：作法：作法：1 1、以、以_为圆心，为圆心，_长为半径作圆弧，长为半径作圆弧，与角的两边分别交于与角的两边分别交于C C、D D两点；两点；2 2、分别以分别以_为圆心，为圆心，_的长为半径的长为半径作弧，两条圆弧交于作弧，两条圆弧交于AOBAOB内一点内一点_；3 3、作射线、作射线_；_就是所求作的射线。就是所求作的射线。点点O O适当适当C、D超过超过CDCD一半一半EOEOE复习提问复习提问 2 2、点到直线距离、点到直线距离: :从直线外一点从直线外一点到这条直线的垂线段

2、到这条直线的垂线段的的长度长度，叫做叫做点到直线的距离。点到直线的距离。OPAB线段的线段的长度长度下图中能表示点下图中能表示点P到直线到直线l的距离的是的距离的是线段线段PC的长的长角平分线的性质定理：定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：用符号语言表示为：AOBPED12 1= 2 1= 2，PD OAPD OA，PE OBPE OBPD=PEPD=PE( (角的平分线上的点角的平分线上的点 到角的两边的距离相等到角的两边的距离相等) )推理的理由有推理的理由有三个三个，必须写完全，不能必须写完全，不能少了任何一个。少了任何一个。定

3、理应用所具备的条件：定理应用所具备的条件： （1 1）角的平分线；）角的平分线；（2 2）点在该平分线上；）点在该平分线上； （3 3）垂直距离。）垂直距离。 如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（） 如图，如图， DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（） AD平分平分BAC, DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，（ ） DBDC在角的

4、平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。ADCB不必再证全等不必再证全等如图，如图， OC是是AOB的平分线，的平分线， 又又 _PD=PE ( )PDOA，PEOBBOACDPE 角的平分线上的点角的平分线上的点 到角的两边的距离相等到角的两边的距离相等例例1、在、在OAB中，中，OE是它的角平分线，且是它的角平分线，且EA=EB， EC、ED分别垂直分别垂直OA，OB，垂足为，垂足为C，D. 求证：求证：AC=BD.O OA AB BE EC CD D例例2 2：如图，：如图，ABCABC的角平分线的角平分线BMBM、CNCN相交相交于点于点P P

5、。求证：点。求证：点P P到三角形三边的距离均相等。到三角形三边的距离均相等。ABCPEFGMN1、在、在ABC中，中， C=90 ，AD为为BAC的平分线，的平分线，DEAB，BC7，DE3.求求BD的长。的长。EDCBA2、已知、已知ABC中中, C=900,AD平分平分 CAB,且且BC=8,BD=5,求点求点D到到AB的距离是的距离是 ABCDE 反过来，到一个角的两边的距离相等的反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上证明证明: QDOA，Q

6、EOB（已知），（已知）， QDOQEO90（垂直的定义）（垂直的定义） QDO和和QEO 是直角三角形是直角三角形 在在RtQDO和和RtQEO中中 QOQO（公共边）（公共边） QD=QE RtQDO RtQEO（HL） QODQOE 点Q在AOB的平分线上已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上角的内部到角两边的距离相等的点在角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上。角的平分线上。 QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. QDOA,QEO

7、B,点Q在AOB的平分线上 QDQE例例3、如图，、如图，BEAC于点于点E，CFAB于点于点F， BE，CF相交于点相交于点D，BD=CD。 求证：求证：AD平分平分BACABCDEF练习3、如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，且BECF。求证：AD是ABC的角平分线。ABCEFD角的内部到角两边的距离相等的点在角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上。角的平分线上。 QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上

8、 QDQE 2 2、如图、如图,OC,OC是是AOBAOB的平分线的平分线, ,点点P P在在OCOC上上,PD ,PD OA,PEOB,OA,PEOB,垂足分别是垂足分别是DD、E,PD=4cm,E,PD=4cm,则则PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC1 1、在、在RtRtABCABC中，中，BDBD是角平分线，是角平分线，DEABDEAB，垂足为垂足为E E，DEDE与与DCDC相等吗？为什么？相等吗？为什么？ ABCDE3 . 3 . 如图，如图，DEABDEAB，DFBCDFBC，垂足，垂足分别是分别是E E，F F， DE =DFDE =DF， EDB= EDB= 6060，

9、则，则 EBF=EBF= 度，度，BE=BE= 。ABCDCEF60BF4 4 如图，在如图，在ABCABC中，中，C=90C=90，DEABDEAB，1=21=2，且，且AC=6cmAC=6cm，那么线段，那么线段BEBE是是ABCABC的的 ，AE+DE=AE+DE=。角的平分线角的平分线6cm6cm5、 如图，在如图，在ABC中，中，C=90 AD是是BAC的的平分线，平分线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF； 求证：求证：CF=EBACDEBF如图，在如图，在RtABC与与RtEDC中，中， BAC=DEC=90，CB=CD， BA=DE，AB，ED的延长线相交的延长线相交

10、 于点于点P。求证：求证：CP平分平分APEPD ECAB如图，已知如图，已知ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的平分线相交于点的平分线相交于点F F，求证：点求证：点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于MGHM点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBCFGFM又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBCFMFHFGFH 点F在DAE的平分线上3、已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在A的平分线上.A A A A A A ADNE BFMCA拓展与延伸直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处分析:由于没有限