高等数学课件：11-7 周期为2L的周期函数的傅里叶级数

1、以以 2l 为周期为周期的傅里叶级数的傅里叶级数问题的提出问题的提出一、问题的提出一、问题的提出2( )(, 0, ).f x 上上一一节节已已讨讨论论周周期期为为的的函函数数展展开开成成傅傅里里叶叶级级数数 包包括括定定义义在在，上上的的函函数数展展开开成成傅傅里里叶叶级级数数的的方方法法2( )(, 0, ).lf xl ll 如如何何将将周周期期为为的的函函数数展展开开成成傅傅里里叶叶级级数数包包括括定定义义在在，上上函函数数的的展展开开现现在在的的问问题题：22 .l 方方法法：通通过过变变量量代代换换将将周周期期由由变变为为( )2f xl分分析析：设设函函数数以以为为周周期期并并且

2、且满满足足狄狄利利克克雷雷充充分分条条件件，txl 作作变变量量代代换换，, xl l 则则当当时时，, .t 就就有有( )()lf xft 因因此此( )F t 记记为为，( )2F t 则则函函数数以以为为周周期期. .01(cossin)2nnnaantbnt ( )()()2F ttF tF tt ，为为连连续续点点；， 为为间间断断点点. .( )( )txlF tf x ，01(cossin)2nnnan xn xabll ( )()()2f xxf xf xx ，为为连连续续点点；， 为为间间断断点点. .01( )1( )cos1( )sinnnaF t dtaF tntdt

3、bF tntdt 1( )llf x dxl ；1( )coslln xf xdxll ；1( )sinlln xf xdxll . .(1,2,)n 二、以二、以 2l 为周期为周期的傅里叶级数的傅里叶级数定理定理2( )lf x设设周周期期为为的的周周期期函函数数满满足足收收敛敛定定理理的的条条件件，则则它它的的傅傅里里叶叶级级数数展展开开式式为为01( )(cossin)2nnnan xn xf xabll ，,nnab其其中中系系数数为为1( )cos(0,1,2,)lnln xaf xdxnll ，；1( )sin(1,2,).lnln xbf xdxnll ，(1)( )f x如如

4、果果为为奇奇函函数数，则则1( )sinnnn xf xbl ，02( )sin(1,2,)lnn xbf xdxnll 其其中中，；(2)( )f x如如果果为为偶偶函函数数，则则01( )cos2nnan xf xal ，02( )cos(0,1,2,)lnn xaf xdxnll 其其中中，. .例例14( )( ) 2,2)020( )02.f xf xxf xRx 将将周周期期为为 的的函函数数展展开开成成傅傅里里叶叶级级数数，其其中中在在上上的的表表达达式式为为，；，解解( )2(0, 1,)f xxkk 函函数数满满足足收收敛敛定定理理的的条条件件，它它在在点点不不连连续续，在在

5、其其它它点点处处连连续续. .x2 y2044 R2l ，2021( )2af x dx 02102dx 20Rdx R ；221( )cos22nn xaf xdx 0210 cos22n xdx 20cos2n xRdx 0 ；(1,2,)n 221( )sin22nn xbf xdx 0210 sin22n xdx 20sin2n xRdx 1( 1) nRn 02221(21)nkRnkk ，. .(1,2,)k ( )f x由由狄狄利利克克雷雷充充分分条条件件，函函数数的的傅傅里里叶叶级级数数为为121(21)sin2212nRRnxn 21315(sinsinsin)223252R

6、Rxxx ( )2(0, 1, 2,)f xxkk ，；22Rxk ，. .例例210( )5,15)( )10.f xf xx将将周周期期为为的的函函数数展展开开成成傅傅里里叶叶级级数数，其其中中它它在在上上的的表表达达式式为为解解10zx作作变变量量代代换换，5,15)x 则则当当时时， 5,5).z 就就有有( )(10)f xf z因因此此( )F z 记记为为. .10(10)zz 5 501510 xy( )5(21)(0, 1,)F zzkk 函函数数满满足足收收敛敛定定理理的的条条件件， 它它在在点点不不连连续续，在在其其它它点点处处连连续续. .5(21)( )10zkF z

7、当当时时，是是以以为为周周期期的的奇奇函函数数，0.(0,1,2,)nan(1,2,)n 5l ，502()sin55n zzdz 02( )sinlnn zbF zdzll 10( 1)nn . .( )F z由由狄狄利利克克雷雷充充分分条条件件，函函数数的的傅傅里里叶叶级级数数为为110( 1)sin5nnn zn ( )5(21)F zzk ，；05(21)zk，. .( )f x所所以以函函数数的的傅傅里里叶叶级级数数为为110( 1)(10)sin5nnnxn 110( 1)sin5nnnxn ( )5(21)(0, 1, 2,)05(21).f xxkkxk ，；，(0, 1, 2

8、,)k 例例30,1( )2f xx将将定定义义在在上上的的函函数数展展开开成成余余弦弦级级数数. .解解( )f x对对进进行行偶偶延延拓拓，再再进进行行周周期期延延拓拓，1l ，102(2)xdx 5 ；002( )laf x dxl 02( )coslnn xaf xdxll 102(2)cosxn xdx 222( 1)1nn 2202421(21)nknkk ，；，. .(1,2,)k ( )f x函函数数的的余余弦弦级级数数为为221541cos(21)2(21)nnxn 2x 2225411(coscos3cos5)235xxx 0,1.x 小结小结1. 周期为周期为 2l 的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数.(变量代换变量代换)2. 求傅里叶展开式的步骤