高等数学课件：11-6 傅里叶(Fourier)级数1

1、问题的提出问题的提出三角级数三角级数函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数一、问题的提出一、问题的提出 从本节开始，我们讨论由三角函数组成的函数从本节开始，我们讨论由三角函数组成的函数项级数项级数三角级数三角级数. 着重研究如何用三角级数表示着重研究如何用三角级数表示函数函数.为什么要研究三角级数呢？为什么要研究三角级数呢？ 在物理学和工程技术中，常常会遇到各种周期在物理学和工程技术中，常常会遇到各种周期现象现象. 对于一些简单的周期运动，如单摆的摆动、对于一些简单的周期运动，如单摆的摆动、弹簧的振动等，可用正弦函数弹簧的振动等，可用正弦函数 表示表示.物理学中称这种简单的周期运动为简谐振动

2、物理学中称这种简单的周期运动为简谐振动.sin()yAt 但是有些复杂的周期运动，如电子技术中常用但是有些复杂的周期运动，如电子技术中常用矩形波反映电压随时间的周期变化，就不能用正弦矩形波反映电压随时间的周期变化，就不能用正弦函数来表示函数来表示. 对于这一类问题的研究通常是加以简对于这一类问题的研究通常是加以简化，即化，即把复杂的周期运动看成是若干不同频率的简把复杂的周期运动看成是若干不同频率的简谐振动的叠加谐振动的叠加，即，即01( )sin()nnnf tAAn t 01(sincoscossin)nnnnAAn tn t 01(cossin).2nnnaanxbnx 10( )10.t

3、u tt ，当当；非非正正弦弦周周期期函函数数：矩矩形形波波， 当当otu11111sinsin3sin5sin744 34 54 7tttt 不不同同频频率率正正弦弦波波的的叠叠加加，4sinut 41(sinsin3 )3utt 411(sinsin3sin5 )35uttt 4111(sinsin3sin5sin7 )357utttt 41111(sinsin3sin5sin7sin9 )3579uttttt 4111( )(sinsin3sin5sin7)357u ttttt (0)tt ，二、三角级数二、三角级数1. 三角级数三角级数定义定义010(cossin)2,(1,2,)nn

4、nnnaanxbnxa a bn 形形如如的的函函数数项项级级数数称称为为三三角角级级数数，其其中中都都是是常常数数. .2. 三角函数系的正交性三角函数系的正交性1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,cos,sin,xxxxnxnx称称集集合合为为三三角角函函数数系系. ., . 三三角角函函数数系系的的正正交交性性：任任何何两两个个不不同同函函数数的的乘乘积积在在上上的的积积分分等等于于零零1 cos0nxdx ；1 sin0nxdx ；0coscosmnmxnxdxmn ，；，0sinsinmnmxnxdxmn ，；，sincos0.mxnxdx (,1,2,)m n 其其中中

5、212dx . .常常用用的的公公式式：1cos coscos()cos()21(1) sin sincos()cos()21sin cossin()sin()2xyxyxyxyxyxyxyxyxy ，221cos(1cos2 )2(2)1sin(1cos2 )2xxxx ，cos( 1)(3)sin0nnn ，00( )(4)( )2( )( )aaaf xf x dxf x dxf x ，为为奇奇函函数数，为为偶偶函函数数. .三、函数展开成傅里叶级数三、函数展开成傅里叶级数( )f x将将一一个个函函数数展展开开成成傅傅里里叶叶级级数数的的基基本本思思路路：(1)( )f x由由形形式式

6、上上产产生生一一个个三三角角级级数数，即即傅傅里里叶叶级级数数；0,(1,2,).nna a bn 计计算算出出系系数数(2)( )( ).f xf x研研究究当当满满足足什什么么条条件件时时傅傅里里叶叶级级数数收收敛敛且且收收敛敛于于1. f (x) 的傅里叶级数的傅里叶级数01( )2( )(cossin)2kkkf xaf xakxbkx 能能设设是是周周期期为为的的函函数数，且且能能展展开开成成三三角角函函数数，假假设设可可逐逐项项积积分分. . 对对上上式式两两端端从从到到积积分分，( )f x dx 1(cossin)kkkakxbkx dx 0a ，01( )af x dx .

7、.02adx cosnx 将将上上式式两两端端乘乘以以，再再从从到到积积分分，( )cosf xnxdx 0cos2anxdx 1(cossin)coskkkakxbkxnxdx 2cosnanxdx (1cos2)2nanx dx na ，1( )cos(1,2).naf xnxdxn ，sinnx 同同理理将将上上式式两两端端乘乘以以，再再从从到到积积分分，1( )sin(1,2).nbf xnxdxn ，结论结论010( )(cossin)2,nnnnnf xaanxbnxa a b 若若能能展展开开成成三三角角级级数数，则则其其中中系系数数由由以以下下公公式式决决定定01( )1( )

8、cos(1,2)1( )sin(1,2).nnaf x dxaf xnxdxnbf xnxdxn ；0,(1,2)( )nna a bnf x 称称由由以以上上公公式式所所确确定定的的系系数数为为函函数数的的傅傅里里叶叶系系数数；01( )(cossin)2( )nnnf xaanxbnxf x 以以函函数数的的傅傅里里叶叶系系数数为为系系数数的的三三角角级级数数称称为为函函数数的的傅傅里里叶叶级级数数. .2. f (x) 展开成傅里叶级数的条件展开成傅里叶级数的条件01(cossin)2nnnaanxbnx ( )f x ?问题问题: :可可去去间间断断点点与与跳跳跃跃间间断断点点统统称称

9、为为第第一一类类间间断断点点. .0( ).f xx特特点点：函函数数在在点点处处的的左左、右右极极限限都都存存在在狄利克雷充分条件狄利克雷充分条件 (收敛定理收敛定理)( )2( )f xf x 设设是是周周期期为为的的周周期期函函数数，如如果果满满足足：2.在在一一个个周周期期内内至至多多只只有有有有限限个个极极值值点点，1.在在一一个个周周期期内内连连续续或或只只有有有有限限个个第第一一类类间间断断点点；( )f x则则的的傅傅里里叶叶级级数数收收敛敛，并并且且( )( )xf xf x当当为为的的连连续续点点时时，级级数数收收敛敛于于；1( ) ()().2xf xf xf x 当当为

10、为的的间间断断点点时时，级级数数收收敛敛于于注( ), f x 由由收收敛敛定定理理可可知知，只只要要函函数数在在上上至至多多只只有有有有限限个个第第一一类类间间断断点点，并并且且不不作作无无限限次次振振动动，( )f x则则的的傅傅里里叶叶级级数数在在连连续续点点处处收收敛敛于于该该点点的的函函数数值值，在在间间断断点点处处收收敛敛于于该该点点左左极极限限与与右右极极限限的的算算术术平平均均值值. .可可见见，函函数数展展开开成成傅傅里里叶叶级级数数的的条条件件比比展展开开成成幂幂级级数数的的条条件件低低得得多多2( )f x 周周期期为为并并且且满满足足狄狄利利克克雷雷收收敛敛条条件件的的

11、函函数数展展开开成成傅傅里里叶叶级级数数的的步步骤骤：01(i)( )1( )cos1( )sinnnaf x dxaf xnxdxbf xnxdx 计计算算傅傅里里叶叶系系数数，；01(ii)(cossin)2nnnaanxbnx 写写出出傅傅里里叶叶级级数数；(iii)讨讨论论傅傅里里叶叶级级数数的的收收敛敛性性( )1 ()()2(,).f xxf xf xxx ，当当为为连连续续点点；，当当为为间间断断点点，01(cossin)2nnnaanxbnx 例例12( )( ), )10( )10.f xf xxf xx 将将周周期期为为的的函函数数展展开开成成傅傅里里叶叶级级数数，其其中中

12、在在上上的的表表达达式式为为，；，解解xyo 3 3 ( )(0, 1,)f xxkk 函函数数满满足足收收敛敛定定理理的的条条件件，它它在在点点不不连连续续，在在其其它它点点处处连连续续. .01( )af x dx 01( 1)dx 01dx 0 ；1( )cosnaf xnxdx 01( 1)cosnxdx 01 cosnxdx 0 ；(1,2,)n 1( )sinnbf xnxdx 01( 1)sinnxdx 01 sinnxdx 21( 1) nn 02421(21)nknkk ，. .(1,2,)k ( )4111sinsin3sin5sin(21)3521f xxxxkxk 由由

13、狄狄利利克克雷雷充充分分条条件件，函函数数的的傅傅里里叶叶级级数数为为( )(0, 1, 2,)f xxkk ，；0 xk ，. .( ), ( )?f xf x 若若函函数数只只在在上上有有定定义义且且满满足足狄狄利利克克雷雷充充分分条条件件，如如何何将将展展开开成成傅傅里里叶叶级级数数1.( )2( )f xF x 将将延延拓拓为为周周期期为为的的周周期期函函数数，即即( )( ), )(, )( )(2 )(,)F xf xxxF xF xx ，或或；，, )(, ( )2( ).f xF x 在在或或外外补补充充函函数数的的定定义义，使使它它拓拓广广成成周周期期为为的的周周期期函函数数

14、，按按这这种种方方式式拓拓广广函函数数定定义义域域的的过过程程称称为为周周期期延延拓拓2.( )F x将将展展开开成成傅傅里里叶叶级级数数01( )1( )cos1( )sinnnaF x dxaF xnxdxbF xnxdx (, )( )( ).f xF x 因因为为在在内内，1( )1( )cos1( )sinf x dxf xnxdxf xnxdx ；，1 ()().2xff 在在处处，级级数数收收敛敛于于例例2, ( )xf xe 将将定定义义在在上上的的函函数数展展开开成成傅傅里里叶叶级级数数. .解解( )2( )f xF x 将将延延拓拓成成周周期期为为的的函函数数，xyo 3

15、 3 ( ), )xf xex ，( )(2 )F xF x (21)(0, 1,)xkk 它它在在点点不不连连续续，在在其其它它点点处处连连续续. .01( )af x dx 1xe dx 1()ee ；1( )cosnaf xnxdx 1cosxenxdx 2( 1)(1)neen ； (1,2,)n 1( )sinnbf xnxdx 1sinxenxdx 12( 1)(1)neen . . (1,2,)n ( )f x由由狄狄利利克克雷雷充充分分条条件件，函函数数的的傅傅里里叶叶级级数数为为211211()( 1)()cos2(1)1( 1)()sin)(1)nnneeeenxneenxn 2111( 1)()()(cossin)21nneeeenxnxn ( )(, )f xx ，；.2eex ，()()2ff例例30( )0 xxf xxx ，将将函函数数展展开开成成傅傅里里叶叶级级数数. .，解解( )2( )f xF x 将将延延拓拓成成周周期期为为的的函函数数，xyo 3 3 ( ), )f xxx ，( )(2 )F xF x (,) 它它在在上上都都连连续续. .01( )af x dx 02xdx ；1( )cosnaf xnxdx 02cosxnxdx 22( 1)1nn 202421(21)nknkk ，；(1,2,)k 1( )sinnbf