高等数学课件：第9章 重积分习题课

1、定义定义01( , )lim(,)(,)niiiiDiif x y dfD 与与区区域域的的分分法法以以及及点点的的取取法法无无关关性质性质 与定积分相类似的性质（与定积分相类似的性质（线性性、对积分区线性性、对积分区域的可加性、保序性、估值、中值域的可加性、保序性、估值、中值）计算计算 利利用用直直角角坐坐标标化化为为二二次次积积分分利利用用极极坐坐标标11.()DxxD关关于于轴轴对对称称轴轴上上方方部部分分记记为为12( , )( , )( ,)( , )0( ,)( , )DDf x y df x yf xyf x y df xyf x y ，当当则则，当当12.()DyyD关关于于轴

2、轴对对称称轴轴右右边边部部分分记记为为12( , )( , )(, )( , )0(, )( , )DDf x y df x yfx yf x y dfx yf x y ，当当则则，当当13.()DxyD关关于于轴轴、 轴轴均均对对称称 第第一一象象限限部部分分记记为为14( , )( , )( ,)( , )0(, )( , )( ,)( , )DDf x y df x yf xyf x y dfx yf x yf xyf x y ，当当则则，当当或或(, )fx y定义定义01( , , )lim(,)(,)niiiiiiiif x y z dvv 与与区区域域的的分分法法以以及及点点的的

3、取取法法无无关关性质性质 与二重积分相类似的性质（与二重积分相类似的性质（线性性、对积分线性性、对积分区域的可加性、保序性、估值、中值区域的可加性、保序性、估值、中值）计算计算化化为为三三次次积积分分()(1)() 投投影影法法 先先一一后后二二法法利利用用直直角角坐坐标标截截面面法法 先先二二后后一一法法( , , )( )zf x y zf zxOyS 若若被被积积函函数数只只依依赖赖于于一一个个变变元元，如如，并并且且当当平平行行于于面面的的平平面面与与相相截截时时，其其截截面面积积容容易易求求出出，则则用用截截面面法法计计算算三三重重积积分分，( )( )( ).zddzccDf z

4、dxdydzf z dzdxdyf z S dz (2)cossinxryrzzdvrdrd dz 利利用用柱柱坐坐标标，2(3)sin cossin sincossinxryrzrdvrdrd d 利利用用球球坐坐标标，1()xOyxOy关关于于面面对对称称面面上上方方部部分分记记为为1( , , )2( , , )( , , )( , ,)0( , ,)( , , )f x y z dvf x y z dvf x y zf x yzf x yzf x y z 则则，当当，当当例例12( , )( , )cos()( , )( , )yDf x yf x yx exxyf x y dxdyD

5、yxyxf x y 设设连连续续函函数数满满足足， 其其中中是是由由曲曲线线及及所所围围成成的的平平面面有有界界闭闭区区域域，求求. .解解( , )Daf x y dxdy 令令，( , )cos().yf x yx exxya 则则( , )cos()DyDDDaf x y dxdyx e dxdyxxy dxdyadxdy 1122yDDxe dxdyadxdy 2101.Dxxyx ：，22110022xxyxxdxxe dyadxdy 2112002()2()xxx eedxaxx dx 13.3ea 932ea 解解得得，93( , )cos().2yef x yx exxy 例例

6、2211 01.Dyx dDxy 计计算算，其其中中 ：，解解1D2D3D划划分分积积分分区区域域，如如果果所所示示123222()()DDDDyx dxy dyx d 21211 0DDxyx ：，；23111Dxxy ：，. .2211122101()()xxdxxy dydxyx dy 11.15 例例321sin ()02DIxy dDyxyx 计计算算，其其中中是是由由直直线线，及及所所围围成成的的区区域域. .解解21sin ()cos()xyxy xyo2 yx 0 020.2xyxy ，；，2xy 1D2Dcos()DIxy d 12cos()cos()DDxy dxy d x

7、yo2 yx 2xy 1D2D1042Dyyxy ：，；4 4 2422Dxxyx ：，422420cos()cos()yxyxdyxy dxdxxy dy 4240(1sin2 )(sin21)y dyxdx 1.2 例例422202( , )(0)aaxax xIdxf x y dy a 交交换换积积分分的的次次序序. .解解20222xaDaxxyax ，：，123,DDD D将将积积分分区区域域划划分分为为三三部部分分，1D2D3D222102yDyaxaaya ：，；22202Dya aayxa ：，；23222yD ayaxaa ：，2222220222202( , )( , )(

8、 , ).aaayyaaaaayaayaaIdyf x y dxdyf x y dxdyf x y dx 因因此此例例5222943444930( , )( , ).x xx xxIdxf x y dydxf x y dy 交交换换积积分分次次序序，并并化化为为极极坐坐标标形形式式的的二二次次积积分分解解22193944Dxxyxx ：，；2234 04Dxyxx ：，xy349 3 7( ,)442299 3 7( ,).444yxyxx 由由得得交交点点123 704DDDy ：，22924yxy，23 7422409( , ).yyIdyf x y dx 2293xyr ，224xyx4

9、cosr ，3arccos4cos403( cos , sin ).Idf rrrdr 3(3,arccos )4练习练习2221.Dxy dxdyDxya 计计算算，其其中中是是由由圆圆所所围围成成的的区区域域解一解一Dxy dxdy 由由对对称称性性，14Dxydxdy 22004aaxdxxydy 2202()ax ax dx 41.2a 解二解二Dxy dxdy 由由对对称称性性，14Dxydxdy 2004cossinadrrrdr 240sin cosad 41.2a D2212.2DxdDyxyyxx 计计算算，其其中中是是由由曲曲线线，及及所所围围成成的的区区域域解解112Dx

10、yxx ：，2221221xxDxxddxdyyy 22111()xxxdxy 231()xx dx 9.4 223.(1cos )()Dxy dDrara 计计算算，其其中中是是由由心心脏脏线线及及圆圆所所围围成成的的区区域域 取取圆圆外外部部 解解(1cos )22Dara ：，22Dxy d (1 cos )22aadr rdr 33221(1cos )13ad 322().92a 211304.1xxydxdyy 计计算算oxy2xy 11解解2011Dxxy ：，01 0Dyxy ：，21113300011yxxyxydxdydydxyy 2103021yyxdyy 2130121y

11、dyy 3 10113y 1( 21).3 215.1()( )()( ).1bxbnnaaadxxyf y dybyf y dyn 证证明明解解aabbDyx D axbayx ：，D aybyxb ：，2()( )bxnaadxxyf y dy 2()( )bbnaydyxyf y dx 11( )()1bnbyaf yxydyn 11()( ).1bnabyf y dyn 例例62221ze dvxyz 计计算算，其其中中是是由由球球面面所所围围成成的的区区域域. .解一解一ze dv 由由对对称称性性，102zzDe dzdxdy 1202(1)zez dz 2 . 12ze dv 2

12、221zDxyz：1120022zze dzz e dz 解二解二ze dv 由由对对称称性性，12ze dv 2101zr：，221D xy：，22110002rzddrerdz 211004zrredr 21104(1)rr edr 211042rredr 211042rttte dt 令令2 . 0201r，解三解三ze dv 由由对对称称性性，12ze dv 101 0022r ：，221cos20002sinrdderdr 21cos2004sinrder dr 2cos2301224sin()coscoscosed 2 . 例例72222211xyz dvzxyz 计计算算，其其中

13、中是是由由曲曲面面及及平平面面所所围围成成的的区区域域. .解解22222222222222211111.xyzxyzxyzxyzxyz ，；，oxyz1 2 222121,xyz 用用球球面面将将分分成成两两个个小小区区域域，2221xyz dv 101r ：，22zxy 4 ，1z 1cosr ，211cosr ：，12222222(1)(1)xyzdvxyzdv oxyz1 2 414cos21200022001(1)sin(1)sinddrrdrddrrdr ( 21).6 0024 ，0024 ，例例8222()1Ixyz dvxyzz 计计算算，其其中中是是由由圆圆锥锥面面与与平平

14、面面所所围围成成的的区区域域. .解一解一Izdv 由由对对称称性性，10zDzdzdxdy 130z dz .4 222zDxyz：解二解二Izdv 由由对对称称性性，21100rddrz rdz 1210122rrzdr 120(1)rrdr 1rz：，221D xy：，.4 0201r，解三解三Izdv 由由对对称称性性，222zxy4 ，1z 1cosr ，10cosr ：，14cos22000cossinddrrdr 14cos40012cossin 4rd 4301sin2cosd .4 04 ，02，例例9222222()2Ixyz dvzxyxyz 计计算算，其其中中是是由由旋

15、旋转转抛抛物物面面与与球球面面所所围围成成的的区区域域. .解一解一2222()222xyzxyzxyyzzx，222()Ixyzdv 由由对对称称性性，222222.zxyxyzxOyxOy曲曲面面与与所所围围成成的的区区域域在在面面上上的的投投影影为为二二者者交交线线在在面面上上的的投投影影曲曲线线所所围围成成的的区区域域xOy而而二二者者交交线线在在面面上上的的投投影影曲曲线线为为2210 xyz 221Dxy故故：. .222rzr：，222122200()rrIddrrzrdz 889(2) .560 解二解二xzy1 2 102r：，22cos0sinr ：，0201r，0024

16、，0242，222()Ixyzdv 由由对对称称性性，22sinrrdrd d 4cos22sin42240002400sinsinddrdrddrdr 889(2) .560 例例102221111222101xxydzIdxdyxyz 计计算算. .解解22211 01111.xyxzxy ：，四四分分之之一一球球面面oxyz12coscosr ：，222(1)1xyz 2cosr ，1z 1cosr ，04 ，0.sinsin0yr 41cos2cos2001sinIddrdrr (74 2).6 例例1122222220( )( )()0(0)( )lim.tf xF tzf xydv

17、dFzh xyttdtF tt 设设为为连连续续函函数数，其其中中为为，计计算算与与解解0zh：，222D xyt：，020rt，222000( )()thF tddrzf rrdz 320012() 3thrzf rz dr 32012() .3th rhf rr dr 3212 () 3dFh thf ttdt 2212().3hthf t 20( )limtF tt 0( )lim2tF tt 22012()3lim2ththf tt 2201lim()3thhf t 21(0).3hhf 例例12110( , , ).yxxIdxdyf x y z dzxyz 改改变变积积分分的的次次

18、序序为为先先对对 ，再再对对 ，最最后后对对 的的三三次次积积分分解解110( , , )yxxIdxdyf x y z dz ( , , )xyyxDdxdyf x y z dz 011xyDxxy ：，oxy11y=x01 0 xyDyxy ：，100( , , )yyxdydxf x y z dz 10( , , )yDdyf x y z dxdz 0()yDxyxzyy ：，视视为为常常数数00yDzyxz ：，oxzyyz=x1000( , , )yzdydzf x y z dx 0( , , )yzzDdydzf x y z dx 1100( , , ).zzdzdyf x y z

19、 dx 011yzDzzy ：，01 0yzDyzy ：，oyz11z=y 如如果果积积分分区区域域的的图图形形不不容容易易画画出出，则则当当依依次次交交换换相相邻邻两两个个积积分分变变量量时时，要要将将第第三三个个变变量量视视为为常常数数. .110001.( , , ).xxyIdxdyf x y z dzxzy 改改变变积积分分的的次次序序为为先先对对 ，再再对对 ，最最后后对对的的三三次次积积分分练习练习11000( , , )xxyIdxdyf x y z dz 解解( , , )xyyxDdxdyf x y z dz 11000( , , )yxydydxf x y z dz 10

20、( , , )yDdyf x y z dxdz 111110000( , , )( , , ).yyyyz ydydzf x y z dxdydzf x y z dx 2222222222222.()1xyzdvabcxyzabc 计计算算，其其中中是是由由椭椭球球面面所所围围成成的的区区域域解解22zdvc 22zccDzdzdxdyc 2222221zxyzDabc：，22(1)zDzdxdyabc ，2222(1)cczzabdzcc 4.15abc 22224.15xydvdvabcab 同同理理4.5abc 原原式式2222223.4(2)4xydvxyzxyz 计计算算，其其中中是是由由球球面面与与所所围围成成的的立立体体在在第第一一卦卦限限的的部部分分解解.xOyxOy两两曲曲面面所所围围成成的的立立体体在