高等数学课件：第3章 导数的应用习题课

1、.)0(有有几几个个实实根根讨讨论论 aaxex例例1解解( )(0)xf xxeax 设设 ( )(1)xxxfxexex e ( )0fx 令令1x 得得1( )0( )xfxf x 当当时时，单单调调递递减减1( )0( )xfxf x 当当时时，单单调调递递增增( )1f xx 在在处处取取得得极极大大值值1( )1(1).f xxfea 在在处处取取得得最最大大值值 1(1)0fae 若若，即即时时，方方程程无无实实根根；1(1)0fae 若若，即即时时，方方程程有有唯唯一一实实根根；1(1)0fae 若若，即即时时，0lim( )0 xf xa 又又lim( )0 xf xa 且且

2、方方程程有有两两个个实实根根. .例例2证明证明( ) ,)( )0( )( )0( )0 ,.f xaf axaf afxkf xa ak 设设在在上上连连续续且且，当当时时，求求证证在在上上有有且且仅仅有有一一个个实实根根( )0 xafx 由由条条件件知知：当当时时，( ) ,)f xa 在在上上单单调调增增加加，( )0f x方方程程至至多多只只有有一一个个实实根根，( )0,f a ( )()0.f af ak只只须须证证( )( ) ,f af xa ak 在在上上满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理的的条条件件，( )( )()( )( )()( )( )()f af af

3、af afaakkf afk ( )()f aaak ( )( )()( )( )()f af af af afkk 0 ( )( )0 ,.f af xa ak在在上上有有且且仅仅有有一一个个实实根根( )( )(1)ff ak 解解例例3220cosxxxex 当当时时， 是是 的的几几阶阶无无穷穷小小？22242444cos1() 1()24!22! 4xxexxxxo xo x 44()12xo x 22444400()cos12limlimxxxxo xxexx 22cos.xxex 是是 的的四四阶阶无无穷穷小小112 证明证明例例41(1)(0,)xyx试试证证在在上上单单调调递

4、递增增111(1) ln(1)1xyxxx 11( )ln(1)1g xxx 令令 2111( )1(1)g xxxx 1ln(1)ln1xxx 210(1)xx ( )(0,)g x在在上上单单调调递递减减11lim( )limln(1)1xxg xxx ( )(0,)g x在在上上恒恒大大于于0 0，111(1) ln(1)01xyxxx 1(1)(0,)xyx在在上上单单调调递递增增0 11( )ln(1)1g xxx 令令 1ln(1)ln1xxx ln ,1xxx 函函数数在在上上满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理的的条条件件，ln(1)ln(ln ) |(1)xxxxxx 1

5、 (1)xx 11( )1g xx 0 证明一：证明一：例例511.1xxex 当当时时，110(1)1.xxxx e时时，只只需需证证( )(1)xf xx e设设 ( )(1)xxxfxx eexe ( )0fx 令令 0 x 得得0( )0( )xfxf x 当当时时，单单调调递递减减0( )0( )xfxf x 当当时时，单单调调递递增增( )0f xx 在在处处取取得得极极大大值值( )0(0)1.f xxf在在处处取取得得最最大大值值 ，即即得得证证证明二：证明二：11.1xxex 要要证证当当时时，(1)1xx e只只需需证证，1.xxexe即即( )xf xe 设设 ( )0,

6、 ,0f xxx在在或或上上满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理的的条条件件，1(0)xeexe x(0)x 在在 与与 之之间间xe x 例例6()baabbae试试证证 证明：证明：lnlnbaab 原原式式可可化化为为：ln( )f xxx 设设 ，lnlnabab 即即 ( ) , f xa b只只需需证证在在上上单单调调减减少少，21ln( )xfxx baeln1axbx当当时时，( )0fx ，即即得得证证. .证明一：证明一：例例72100( )00 xexxf xx 试试证证是是函函数数的的极极值值点点. .0 x 当当时时，21( )0 xf xe (0)f 由由极极值

7、值点点的的定定义义，0( )xf x 为为的的极极小小值值点点. .证明二：证明二：0 x 当当时时，2132( )xfxex 0( )(0)(0)lim0 xf xffx 2100limxxex 2101limxxxe 221031lim2xxxex 210lim02xxxe ( )0fx 令令 0 x 得得0000 xx ，当当时时，当当时时，0( )xf x 为为的的极极小小值值点点. .证明：证明：例例800000lim( )() lim( )lim( )().xxxxxxf xf xfxAfxAfx 若若，试试证证0000( )()()limxxf xf xfxxx 0( ), f

8、xxx在在上上满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理的的条条件件，01()xx 01lim()xxf A 0( ) ,f xx x同同理理，在在上上满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理的的条条件件，0000( )()()limxxf xf xfxxx 02lim()xxf A 20()xx 0().fxA ，即即得得证证解：解：例例922221.xyab过过椭椭圆圆的的第第一一象象限限部部分分上上的的点点作作切切线线，问问哪哪一一条条切切线线与与两两坐坐标标轴轴所所围围的的直直角角三三角角形形面面积积为为最最小小，求求此此切切线线方方程程2222(0, )1xyaxxab在在任任取取一一点点 ，在在两两边边对对 求求导导得得22220 xyyab ，22b xya y 即即 ( , )x y椭椭圆圆上上过过点点的的切切线线方方程程为为：22().b xYyXxa y 22220b xbXYya y