整式的乘除与因式分解知识点及题型汇编

1、整式的乘除与因式分解知识点及题型汇编同底数幂的乘法【知识盘点】若 m、n 均为正整数， 则 am·an=_，即同底数幂相乘， 底数 _，指数 _【应用拓展】1计算：（ 1） 64×（ 6） 5（ 2） a4（ a） 4（ 3） x5· x3·（ x） 4（ 4）（x y） 5·（x y） 6·（x y） 7学习必备精品知识点（ 2）请你写出第 10 个式子： _（ 3）你能用字母表示所发现的规律吗？试一试! 幂的乘方【知识盘点】am） n=_，即幂的乘方，底数 _，指数 _若 m、 n 均为正整数，则（【应用拓展】1计算：（1）（ y

2、2a+1） 2（2） （ 5） 3 4（ 54） 3（ 3）（a b） （ a b） 2 52计算：（1）（ a2）5·a a11（ 2）（ x6） 2+x 10· x2+2 （ x） 3 44. 观察下列算式： 21=2， 22=4， 23=8， 24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，则 89 的个位数字是（）A.2 ；B4；C 8；D6.5. 如果 x m8 ， x n5 ，则 x m n =.6.解方程：（ 1） 28x 215 ；（ 2） 7x ( 7) 5.7.已知 am3, an9, 求 a3m2n 的值 .2mn10 , 求(1)9m

3、n ； (2) 92mn .8.已知 35,3零指数幂与负整数指数幂知识点：1、零指数幂2计算：（ 1）（ b） 2·（ b） 3+b·（ b） 4（2） a· a6+a2· a5+a3· a4（ 3） x3m n· x2m3n· xn m（ 4）（ 2）·（ 2） 2·（ 2） 3··（ 2） 1007已知 ax=2， ay=3，求 ax+y 的值8已知 4· 2aa+19b的值· 2=2，且 2a+b=8，求 a积的乘方【知识盘点】n 为正整数时，（ ab） n

4、=_积的乘方法则用字母表示就是：当【应用拓展】1计算：332nmn2223（1）（ 2× 10 ）（ 2）（ x ） · x（ 3） a ·（ a） ·（ 2a）8用幂的形式表示结果：（ 1）（23） 2=_；（22） 3=_；（ 2）（35）7=_；（37）5=_；3443（ 3）（5 ）=_；（5 ）=_你发现了什么规律？用式子表示出来同底数幂的除法知识点：1. 同底数幂相除，底数不变，指数相减：amanam n m、n是正整数，且mn，a0底数 a 可以是一个具体的数，也可以是单项式或多项式。强调 a 0 的必要性2、 a0=1(a 0)练习：一、

5、填空题1. 计算： a6a2=， ( a) 5( a) 2=.任何不等于零的数的零次幂都等于1.零的零次幂没有意义！ ”50 =1， 100=1， a0=1（ a 0） :2. 负整数指数幂任何不等于零的数的 n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数 .0110 1例题（ 1） 3-2（2） 3计算：1012（1）（ -0.1 ） 0；（ 2） 2003；（ 3） 2-2 ；（ 4） 2.知识点：科学记数法a×10n 形式（其中科学计数法 ：把一个数记作1 a 10， n 为正整数。）将一个数用科学计数法表示的时候，10 的指数比原数的整数位数少1，例如原数有 6 位，则

6、 10 的指数为 5。确定 a 值的时候，一定要注意a 的范围 1 a 10。将一个用科学计数法表示的数写出原数的时候，10n=100 0（共有 n 个 0）即（ 4）（ 2a4） 3+a6· a6（ 5）（ 2xy 2） 2（ 3xy 2） 22. 在横线上填入适当的代数式：x6_x14， x6_x2.3. 计算： x9x5x5=， x5( x5x3 ) =4. 计算： ( a1) 9(a1)8=.2先完成以下填空：） 6=10( )（ 2）410× 2510=（） 10=10( )5. 计算： ( mn)3(nm) 2 _ （ 1） 26×56=（二、解答题你

7、能借鉴以上方法计算下列各题吗？1. 计算：（ 3）（ 8） 10× 0.125 101、 ( xy)4( xy)22、 (2)5(ab2)2（ 4）0.2520072006；ab；×4（5）（ 9） 5·（ 2 ）5·（ 1 ） 53、 (2x 3 y)4(2x 3y) 2 ； 4 、 ( 4) 7( 4)4( 4)3.33nn2y）2n的值3333已知 x =2， y =3，求（ x4一个立方体棱长为2× 103厘米，求它的表面积（结果用科学记数法表示）2. 计算：1、 a9 a5(a4 )3 ；2、 ( a) 7( a)4( a)3 ；【综

8、合提高】3、 834325 ；4、 ( x4 )3 ( x2 )3( x)3 ( x) 2.10观察下列等式：13=12；3. 地球上的所有植物每年能提供人类大约6.6 1016 大卡的能量，若每人每年要消1332+2=3 ；耗 8 10 5 大卡的植物能量，试问地球能养活多少人？13+23+33=62；13+23+33+43=102 ；（ 1）请你写出第5 个式子： _a× 10n= a ×100 0（共有 n 个 0）175是位数， 0.12 × 1010位数；1、 3.65 × 10是2、把 3900000用科学记数法表示为，把1020000 用科

9、学记数法表示为；5.16 × 104 的原数是， 2.236 × 108 的原数是3、用科学记数法记出的数；4、比较大小：3.01 ×1049.5× 103； 3.01 × 1043.10× 104；5、地球的赤道半径是6371 千米， 用科学记数法记为千米22、已知 a、 b 互为相反数， c、 d 互为倒数， x 21 ， y2 ，求xa b( cd ) 2007y 2 的值 . （ 4 分）23、已知 a、 b 互为相反数， c、 d 互为倒数， m的绝对值为2，求(a b)( a b) (cd ) 1(1 2m m2 ) 的值

10、 . （ 4 分）24、若 10a20 ， 10 b5 1 求 9a32b 的值 .（4 分）单项式的乘法学习必备精品知识点知识点一、单项式与单项式相乘（3） ( 4 a2n+1bn1)( 2.25 an 2bn+1)单项式相乘，把它们的系数 相乘，字母部分的同底数幂分别相乘 ，对于只在一个3单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。基础巩固14.( 一题多解 ) 已知 ab2= 6, 求 ab( a2b5 ab3b) 的值 .1. ( 2a4b2)( 3a) 2 的结果是 ()25、（ 4 分）（ 1）据统计，全球每分钟约有8500000 t 污水排入江河湖海，这个排A. 18a6b

11、2B.18 a6b2污量用科学记数法表示应为多少？C.6 a5b2D. 6a5 b22. 若(m+1n+2) · (2n 1 2m5 3a ba b)=a b,则+等于( )m n2、求 ( a b) 2 ( a b) 24ab 的值，其中a 2009，b 2010253、求值： 2(2 x 1)(2 x 1) 5x( x 3y) 4x( 4x 2y) ，其中 x 1，y 2( x1)(2 y 1) 2( x1)( y 1)4、解方程组x(2 y) 6y( x 4)四、探究创新乐园1、若 ( x2ax b)(2 x2 3x 1) 的积中， x3 的系数为 5，x2 的系数为 6，求

12、a， b2、根据 ()(x ) x2 (a )x，直接计算下列题xabbab(1)( x 4)( x 9)(2)(xy 8a)( xy 2a).A.1B.2C.3D.33.式子 ()· (3 a2b)=12 a5b2c 成立时，括号内应填上()A.4 a3bcB.36 a3bcC.43D.36 3a bca bc4.下面的计算正确的是()A a2· a4a8B ( 2a2) 3 6a6C (a n 1) 2 a2n 1D an· a· an 1 a2n5.32 2m 12m 3x y·2x y a·a6.3 3 ( 5 3 2)=_(

13、2 23) · (9)=_x yx ya b c4ab3 5× 108· (3 × 102)=_3xy ( 2x) 3· ( 1 y2) 2=_m2m24 y 1 1·3y=_ 4m( m+3n+1)=_; ( 3 y2 2y 5) · ( 2y)=_ 5x3( x2+2x 1)=_;27. 计算：(1)(2xy2) · ( 1 xy);(2)(2a2b3) · ( 3a);3(3)(4× 105) ·(5 × 104);(4)( 3a2b3) 2· ( a3b2)

14、 5;(5)( 2 a2bc3) ·( 3 c5) · ( 1 ab2c)3438.计算：(1)2 ab(5 ab2+3a2b)(2)(2 ab22ab) · 1 ab32(3) 6x( x 3y)(4)2a2(1 ab+b2).2能力拓展9. 2x2y· (1 3xy+y3) 的计算结果是 ()224322B.224A.2xy 6x y +x y x y+2x yC.2x 2y4+x 2y 6x3y2D. 6x3y2+2x2y410下列计算中正确的是()A.3 b2· 2b3=6b6B.(2× 104) × ( 6

15、5; 102)= 1.2 × 10622245D.( am+122m4m+2C.5 x y· (2xy ) =20x y)· ( a) = a( m为正整数 )11计算 4 (2+3 +1)=_;(3y2 2y5) · ( 2 )=_;m m n2y 5x3( x2+2x1)=_.12式子 ()·(3 a2b)=12 a5b2c 成立时，括号内应填上的代数式是13. ( 教材课内练习第 3 题变式 ) 计算：（1） ( a2b3c) 2(2 a3 b2 c4)（ 2） ( 2 ab2 2ab+ 4 b)( 1 ab)332（ 2）自从扫描隧道显

16、微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术” . 已知 52 个纳米长为 0. 000000052 m，用科学记数法表示此数为多少米？多项式乘多项式知识点 ：多项式与多项式相乘，先用 一个多项式的每一项 分别乘 另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。练习一、选择题1. 计算 (2 a 3b)(2 a 3b) 的正确结果是 ( )A 4a2 9b2B 4a29b2C 4a2 12ab 9b2D 4a2 12ab 9b22. 若 ( xa)( x b) x2 kxab，则 k 的值为 ( )A a bB a bC abD b a3. 计算 (2 x 3y)(4 x2 6xy9y2)

17、的正确结果是 ( )A (2x3 )2B (2x3 )2C 8x3 27y3D 8 327y3yyx4. ( x2 px3)(x q) 的乘积中不含x2 项，则 ()A pqB p± qC p qD无法确定5. 若 0x 1，那么代数式 (1 x)(2 x) 的值是 ( )A一定为正B一定为负C一定为非负数D不能确定6. 计算 ( a22)( a4 2a2 4) ( a22)( a4 2a2 4) 的正确结果是 ( )A 2( a2 2) B 2( a22)C 2a3D 2a67. 方程 ( x 4)( x5) x2 20 的解是 ( )A x 0B x 4C x 5D x 408.

18、 若 2x25x 1 a( x 1) 2 b( x 1) c，那么 a，b， c 应为 ( )A a 2， b 2， c 1B a 2， b 2， c 1C a 2， b 1， c 2D a 2， b 1， c 29. 若 6x219x 15( ax b)( cx d) ，则 ac bd 等于 ( )A 36B 15C 19D 2110.( x 1)( x 1) 与( x4 x2 1) 的积是 ( )A x6 1B x6 2x3 1C x6 1D x6 2x3 1二、填空题1. (3 x 1)(4 x 5) _2. ( 4x y)( 5x 2y) _3. ( x 3)( x 4) ( x 1)

19、( x 2) _4. ( y 1)( y 2)( y 3) _5. ( x3 3x24x 1)( x2 2x 3) 的展开式中， x4 的系数是 _ 6. 若 ( xa)( x 2) x2 5xb，则 a_ ， b _7. 若 a2 a 1 2，则 (5 a)(6 a) _ 8. 当 k_时，多项式 x 1 与 2 kx 的乘积不含一次项9.若 ( x2 ax 8)( x2 3x b) 的乘积中不含x2 和 x3 项，则a _， b。 _10.如果三角形的底边为22(3 a 2b) ，高为 (9 a 6ab4b ) ，则面积 _ 三、解答题1、计算下列各式(1)(2x 3)(3x 2 )(2)

20、(x2)(x3)(x 6)(x 1)yy(3)(3x2 2x 1)(2x2 3x 1)(4)(3x 2y)(2 x 3y) ( x 3y)(3 x五、数学生活实践一块长 acm，宽 bcm的玻璃，长、宽各裁掉1 cm后恰好能铺盖一张办公桌台面( 玻璃与台面一样大小) ，问台面面积是多少?六、思考题：请你来计算：若1x x2 x3 0，求 x x2x3 x2012 的值乘法公式的复习一、复习 :(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2 =a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b3(a-b)(a2+ab+b2 )=a 3b3归纳小结

21、公式的变式，准确灵活运用公式： 位置变化， xyy xx2y2 符号变化， x yxyx 2 y2 x 2y2 指数变化， x2y2x2y2x4y4 系数变化， 2a b2a b224ab 换式变化， xyz mxyz mxy 2zm2x2 y2z m z m2y2z22xzm zm m2y222xz2zm m 增项变化， x y z x y zx y 2 z2z2xyxy2xyxyy22xz2222xxyyzx2y2 连用公式变化， xyxyx2y2x2y24 4x y 逆用公式变化，x y z 2x y z 2x y zx y zx y zx y z2x2yz2xyxz44例 1已知 ab

22、2 ， ab1，求 a2b 2 的值。例 2已知 ab8 ， ab2 ，求 (ab) 2 的值。例 3：计算 19992-2000 ×1998例 4：已知 a+b=2，ab=1，求 a2+b2 和 (a-b) 2 的值。例 5：已知 x-y=2 ，y-z=2 ， x+z=14。求 x2-z 2 的值。4y)例 6：判断（ 2+1）（22+1）（ 24+1）（ 22048+1） +1 的个位数字是几？例 7运用公式简便计算（1） 1032（2）1982例 8计算（1） a 4b 3ca 4b 3c（2） 3xy 2 3x y 2例 9解下列各式ab，求 a b 2， ab 2 的值。（

23、1）已知 a2 b213，6（2）已知 a b27，a b24，求 a22，ab 的值。b（3）已知 a a1a2b，求 a2b2ab 的值。22（4）已知 x13 ，求 x414 的值。xx例 10四个连续自然数的乘积加上 1，一定是平方数吗？为什么？。例 11计算（ 1） x2x 12（2） 3m n p 2二、乘法公式的用法(一)、套用:例 1.计算： 5x 23y25x 23y 2( 二) 、连用 : 连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。例 2.计算： 1aa1 a21 a41例 3.计算： 3x2y5z13x2 y5z1三、逆用 : 学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、

24、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。例 4.计算： 5a7b8c 25a7b8c 2四、变用 :题目变形后运用公式解题。例 5.计算：xy2z xy6z五、活用 : 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：1. a22aba2b2b2. a22aba2b2b3. a2a22 a 2b2bb4. a2a24abbb学习必备精品知识点灵活运用这些公式， 往往可以处理一些特殊的计算问题， 培养综合运用知识的能力。例 6.已知 ab4，ab5，求 a2b2 的值。例 7.计算：ab cd 2b cd a 2例 8.已

25、知实数x 、 y 、 z 满足 x y5， z2xy y 9 ，那么x 2y 3z（）三、学习乘法公式应注意的问题（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”2 2例 1 计算 (-2 x -5)(2 x -5) 例 2 计算 (- a2+4b) 2（二）、注意为使用公式创造条件例 3 计算 (2 x+y- z+5)(2 x- y+z+5) 例 4 计算 ( a-1) 2( a2+a+1) 2( a6+a3 +1) 2 例 5 计算 (2+1)(2 2 +1)(2 4+1)(2 8 +1) （三）、注意公式的推广计算多项式的平方，由( a+b) 2=a2+2ab+b2，可推广得到：( a+

26、b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍例 6 计算 (2 x+y-3) 2下列各题，难不倒你吧？！1、若 a+ 1 =5，求（ 1）a2+ 1 ，（2）（a 1 ） 2 的值aa2a2、求（ 2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1 的末位数字五、乘法公式应用的五个层次乘法公式： (a b)(a b)=a 2 b2， (a ± b)=a 2± 2abb2，(a ± b)(a 2±abb2)=a 3± b3 第一层次正用

27、即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用例1计算(2)( 2xy)(2x y) 第二层次逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用例2计算(1)1998 2 1998· 3994 19972 ；第三层次活用 ：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式例 3 化简： (2 1)(2 2 1)(2 4 1)(2 81) 1例 4 计算： (2x 3y 1)( 2x 3y5)第四层次变用 ：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式， 如 a2b2=(a b) 22ab，a3 b3 =(a b) 3 3ab(a b)等，则求解十分

28、简单、明快例 5 已知 ab=9，ab=14，求 2a22b2 和 a3b3 的值第五层次综合后用 ：将 (a b) 2=a22abb2 和(a b) 2=a22abb2 综合，可得 (a b) 2(a b) 2 =2(a2 b2) ； (a b) 2(a b) 2=4ab；等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷例 6 计算： (2x y z5)(2x y z 5) 因式分解的常用方法一、提公因式法.： ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（ 1） (a+b)(a -b) = a2

29、2-a22-b-b =(a+b)(a -b) ；(2) (a± b) 2 = a 2±2ab+b2 a 2±2ab+b2=(a ± b) 2；(3) (a+b)(a2233a3322；-ab+b ) =a+b -+b =(a+b)(a-ab+b )(4)(a-b)(a 2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a -b)(a2+ab+b2) 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a333222+b +c-3abc=(a+b+c)(a +b +c-ab-bc-ca) ；例 .已知 a，

30、 b，c 是ABC 的三边，且 a2b2c2abbcca ，则ABC 的形状是（）A.直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式： am an bm bn解：原式 = (aman )(bmbn)= a(mn)b( mn)每组之间还有公因式！= (mn)(ab)学习必备精品知识点思考：十字相乘有什么基本规律？例. 已知0 a 5，且 a 为整数，若 2x23xa 能用十字相乘法分解因式，求符合条件的 a .式 ax2+bx+c ， 都 要 求解析：凡是能十字相乘的二次三项b24ac>0 而且是一个完全平方数。于是9 8

31、a 为完全平方数， a 1例 5、分解因式：x25x6分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于 6=2× 3=(-2) × (-3)=1 × 6=(-1) × (-6)，从中可以发现只有2× 3 的分解适合，即 2+3=5。12解： x 25x6 = x 2(2 3) x 2 313= (x 2)( x 3)1× 2+1× 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数例 6、分解因式：x27x6解：原式 = x2( 1)( 6) x (1)(6)1-1=

32、( x1)( x6)1-6练习 8、分解因式 (1) x 23xy2 y2 (2) m2 6mn 8n2 (3) a 2 ab 6b2（四）二次项系数不为 1的齐次多项式例 9、 2x 27xy6 y2例 10、 x2 y 23xy 21-2y把 xy 看作一个整体 1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 = ( x 2y)( 2x 3 y)解：原式 = ( xy1)( xy2)练习 9、分解因式：（ 1） 15x 27 xy 4 y 2（ 2） a 2 x26ax8综合练习 10、（ 1） 8x 67 x31（ 2） 12 x211xy15y

33、2（ 3） ( x y)23(x y) 10（ 4） (a b) 24a4b 3（ 5） x2 y 25x2 y 6x 2（ 6） m 24mn 4n 23m 6n 2（ 7） x 24xy4y 22x4 y3 （ 8） 5( a b) 223(a2b 2 )10(ab) 2（ 9） 4x24xy6x3yy 210 （ 10） 12( xy) 211(x 2y 2 ) 2(xy)2五、换元法。例 2、分解因式： 2ax 10ay 5by解法一：第一、二项为一组；第三、四项为一组。解：原式 = ( 2ax10ay)(5by bx)= 2a( x5 y)b(x 5y)= ( x 5y)(2ab)b

34、x解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。原式 = (2axbx)(10ay5by)= x( 2ab)5y(2ab)= (2ab)(x5y)（ -1） +（ -6） = -7练习 5、分解因式 (1)x 214 x24 (2) a215a36 (3) x24 x5练习 6、分解因式 (1)x 2x 2(2) y 22 y 15(3) x 210x24例 13、分解因式（ 1） 2005 x2( 200521) x 2005（ 2） (x 1)( x 2)( x 3)( x 6) x2练习 13、分解因式（1） ( x2xyy 2 ) 24xy( x 2y2 )（ 2） ( x 23x2)(4x 28x3) 90222222练习：分解因式1、 a 2abacbc2、 xyxy1（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式：x2y2axay例 4、分解因式：a 22abb2c2练习：分解因式3、 x2x9y 23 y4、 x 2y 2z22 yz综合练习：（ 1） x3x 2 yxy 2y 3（ ） ax2bx2bxaxab2