数学中考专题复习(圆中的计算问题)

1、学习必备欢迎下载数学中考专题复习圆中的计算问题【教学内容与目的要求】第 23 章圆圆中的计算问题教学目的：1、理解圆周长与弧长有密切的联系。理解弧长计算公式，会计算圆的周长与弧长。能运用周长与弧长的知识解决一些实际问题，提高分析问题与解决问题的能力。2、会计算圆的面积、扇形的面积及简单组合图形的面积。学会分解与组合图形，3、了解圆锥的形成和圆锥的概念。了解圆锥的侧面展开图是扇形，会计算圆锥的侧面积和表面积。4、会把实际问题抽象成数学问题。学会分解与组合图形，培养空间想象力，掌握转化的数学思想方法。养成先分析后解题的习惯，既会合理思考，又会综合写出推理计算过程。【知识重点与学习难点】重点：1、理

2、解弧长公式和应用弧长公式. 要理解圆心角是1°的弧长等于圆周长的1, 这是建立弧长360公式的关键，对于公式中的 180、 n 表示的是倍、分关系，没有单位，还要掌握公式的逆用，培养逆向思维能力。2、会计算扇形的面积。对于扇形面积的计算公式，要理解它的二种形式以及它的不同用法，并会逆用公式。要理解圆心角是1°的扇形面积等于圆面积的1, 圆心角是n°的扇形面积等于圆面积的n.360360公式中的n 与弧长公式中的n 一样，理解为1°的倍数 , 不带单位。3、圆锥的侧面展开图、圆锥的侧面积计算，难点 1 、对于弧形部分，要分清各弧的圆心，半径，避免拿起题来就

3、盲目地进行计算。2、圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的计算。通过实例观察圆锥的侧面展开图是扇形，有关圆锥高、母线以及底面半径的计算，关键是搞清高、母线以及底面半径和轴剖面图形之间的关系。会将侧面积的问题转化为平面的扇形来解决。【方法指导与教材延伸】1、在学习弧长公式时，要理解：360°的圆心角所对的弧长是圆周长C 2R,1 °的圆心角的弧长就是圆周长的1即 2R ，故圆心角为n°的弧长等于 n 2 R ，即 ln R 。强调这里的 n 表示 1°的圆360360360180心角的倍数，是不带单位的。2、在学习扇形面积公式时要理解：圆心角是 360°

4、的扇形面积就是圆面积S=R 2 ， 圆心角是 1°的扇形面积等于圆面积的1R2，故圆心角为 n°的扇形面积为S扇形n2。，即360R360360学习必备欢迎下载13、对于扇形面积公式S扇形lR 的记忆，我们可考虑将它与三角形的面积公式类比，只要把扇形看2成一个曲边三角形，把弧长l 看作底， R 看作高就行了。以上各情况，只要根据题意即可判明属何种情况，不必作为公式记住。4、在计算组合图形的面积时，要注意应用割、补的方法将复杂图形转化为三角形、正方形、圆、扇形等面积的和或差，还需经常作等积变形。5、圆锥的轴截面是等腰三角形，它的腰长等于圆锥的母线长，底边是圆锥底面直径，底边上

5、的高，就是圆锥的高，它的顶角，反映了圆锥母线对于底面的倾斜程度，称为锥角，因此，圆柱、圆锥的轴截面是解题的突破口。6、圆锥是空间图形，由于在此之前均是研究平面图形，学生的空间想象能力较弱，而这部分内容在高中立几中还需学，故应利用模型理解各部分概念。【例题选讲】例 1 如图，两根圆柱形钢件的横截面，它们的半径分别是3dm 和 1dm，现用一根绳子将它们捆紧，问至少需要多长的绳子？（不计接头捆扎部分）。（精确到0.1dm）分 析： 如图，这根绳子需从点 A 逆时针绕过O1 ，再过O2 回到 点 A ，所以绳子的长为AB+BmC+CD+AD，其中 AB=CD ，是两圆的公切线。解： 作过切点的半径O

6、2A 、 O1B 、O1C、O2D，过点 O2 作 O2EO1B 于 EO1O2 =3+1=4(dm)O1E=3-1=2(dm) O2 EO1O22O1E242222 3( dm)AB 是 O1、 O2 的外公切线O1BAB ， O2A AB又 O2E BO1O2EBA 是矩形AB=O 2E= 23(dm)BEAm0102CD cosBO1O2O1E21O1O242 BO1O2=60°2403 l BmC418012012l AD3180绳子总长为AB+O 2E+ l BmC + l AD学习必备欢迎下载23232414343321.6(dm)例 2如图， O 的弧 AB 长 4 c

7、m，圆心角 AOB=60 °， P 分别与 AB 、半径 OA、半径 OB 相切于点 E、C、 D，求 P 的周长；分析： 求 P 的周长，只要求出它的半径r，由于 P 分别与 AB 、 OA 、OB 相切，则延长OP 交 AB于 E，作过切点的半径PC、 PD 可得： r=EP=OE-OP ，其中 OE 的长可通过AB 长为 4 cm 求出， OP 可放在 Rt PCO 中求出。解： P 与 AB 切于点 E，即 P 内切 O 于 E，则 O、P、 E 三点共线，连结OP交 AB 于 E，设 O 半径为 R， P 半径为 r，连结 PC、PD ，则 PC OA ，PDOBE点 P

8、在 AOB 的平分线上BA POC1AOB160o30o22PCOA在 Rt PCO 中， OP=2PC=2r又 OP=OE-PE=R-r2r=R-r r1 R3n R60 R l AB =PC DO 4180 18060 R180 R=12(cm) r1 R 4(cm)3 P 的周长 C=2 r=8 (cm)例 3如图，若四边形ABCD 内接于 O，且 BCD:BAD=5:4 ，则 BAD 所对的圆心角为多少度？分析： 要计算 BAD 所对的圆心角的度数，即求BOD 的度数，即求BAD 的度数。解： ABCD 内接于 OBCBCD+BAD= 圆周长设 BCD=(5x) O，则 BAD=(4x

9、) OO9x=360A x=40 °BAD m 160°D学习必备欢迎下载 BOD=160 °例 4如图，半圆的半径为2cm，点 C、 D 三等分半圆，求阴影部分面积分析 ：阴影部分面积可看成弓形CD 的面积与 CDB 的面积之和，而C、 D 三等分半圆，故COA= COB= DOB=60 °，且 COD 是等边三角形，所以DCO= COA=60 °，所以CD/AD ，则 CDB 的面积等于 COD 的面积，所以阴影部分的面积为扇形COD 的面积。解： 连结 CDC、D 三等分半圆 AOC= COD= DOB=60 °OC=OD OC

10、D 为等边三角形 DCO=60 ° COA= OCD CD/ADS COD =SCBDCDAOB2S 阴 =S 扇 OCD = 6022(cm2 )360 3例 5 如图，扇形 AOB 的圆心角为 90°，半径为 R，C 为 AB 中点， D 为 OA 中点，求阴影部分的面积。分析 ：阴影部分面积可看成扇形OAC 的面积与 COD 的面积之差。解：连结 OC，过 C 作 CHOA 于 HBC是AB 中点CAC=BC COA=1 AOB=45 °2AH DO45 R21S 扇形 OAC=R 23608又 CH OA在 Rt CHO 中， COH=45 °C

11、H=2 CO2 R22D 为 OA 中点， OD=1R2SCOD1OD CH11 R2 R2 R222228学习必备欢迎下载S阴S扇形OAC S CODR 22 R 2882 R28例 6求下列各图中阴影部分的面积ABBOO'CEHFAROAOBDC(1)(2)(3)(1)OA=OB=R ， AOB=90 °， O为 OB 中点(2)OA=OB=R ， AOB=90 °， C 为 AB 中点(3)AD 为正三角形 ABC的高， AD=4 ， AD 是 O 的直径解： (1)S 阴=S 扇 AOB -S 半圆 OR2121R4221R28(2)S 阴 =S 半圆 C-

12、S 弓形 AB=S 半圆 C-（ S 扇形 OAB -S OAB ）212R1R21R222421 R22(3)连结 OE、 OF，过 E 作 EH AD 于 H AD 是正确的ABC 的高 OAE=30 ° OA=OE AOE=180 °-2× 30° =120° EH AD ， AOE=120 ° OEH=120 °-90° =30 ° EH=3 OE32322 S 弓形 AE =S 扇形 OAE -S AOE学习必备欢迎下载120OA 21OA EH3602413232433 S 阴 =S O-2S

13、 弓形 AE424334233例 7 圆锥形的烟囱帽的底面直径是60cm，母线长为 40cm(1) 求这个烟囱帽的下料面积（指侧面面积）以及侧面展开图的圆心角的度数(2) 画出它的展开图解： (1) 圆锥底面周长为26060 (cm)2m1S侧面面积 S 侧 =6040 1200 (cm 2 )2设展形图扇形的圆心角为n°，则A60Bn40180 n=270答： 这个烟囱帽的下料面积为1200 cm2，侧面展形图的圆心角为270°(2)由 (1)得 n=270，选取比例尺 1:20，画扇形如下图所示，其中AmB m 270°， SA=40cm例 8 如图，一个圆锥

14、的高为35 ，侧面展形图是一个圆心角为60°的扇形，求圆锥的表面积。分析 ：若设圆锥底面半径为r，母线长为 l ，则 S 表 = r2+ r l ，因此，要求出圆锥表面积关键是求l 2r 2h2l ，通过r60l 这个方程组即可解 r、 l2180解：设圆锥底面半径为r，母线长为 l ，则在 Rt AOC 中， l 2-r2=h2=35对于侧面展开圆有2 r60Al180 l2r235解之得60°l6rhr=1B O Cl=6S 表=S 侧+S 底r、学习必备欢迎下载= r l + r2=6 +=7巩固练习一、填空：1、若圆的半径为10cm，所对的圆心角为 22°

15、 30的弧长为 _cm2 、半径为 10cm的圆上，一条含30°弧的弧长为 _ ，由该弧及半径所围成的扇形面积为_3、圆内接正方形的边所切下的一个弓形面积等于2( -2)cm 2，则正方形的边长为 _4、当扇形的圆心角=_ 时，这个扇形的面积等于它所在圆面积的15%。5、若扇形 OAmB的圆心角为 240°，面积为12，则弓形 AmB 的面积为 _6、若圆的面积扩大4 倍，则圆心角的 的弧长扩大 _倍7、如图， OA OB ，AC/OB ， OA=2 ，弧 AB 是以 O 为圆心， OA 为半径的弧， BC 是 AC以 A 为圆心， AB 为半径的弧，则阴影部分的周长为_8

16、、 3cm 长的一条弦所对的圆周角是135°，则圆的半径长为_二、选择题：OB9、在圆的内接四边形 ABCD 中， AB:BC:CD:DA=4:3:5:6，则下列结论正确的是（）A、A 最大B、 B 最大C、 C 最大D、D 最大10、如图，设大的半圆的弧长为l 1， n 个小的半圆圆心在大半圆的直径上，且相互外切，其直径之和等于大半圆的直径，若n 个小半圆的总弧长为l 2，则 l 1 与 l 2 之间的关系是（）A 、 l 1=n· l 2B、 l 1=· l 2C、 l 1= l 2D 、 l 1= 1 l 2n11、周长相等的正三角形、正方形、正六边形它们外

17、接圆的周长分别为C3、 C4、 C6，则有（）A 、C3>C4>C6B、 C6>C4>C3C、 C3>C6>C4D、 C4>C 6>C 312、如图，两个同心圆半径之比为1:2，小圆的切线被大圆所截的部分的长为12，则两圆所围成的环形面积是（）ABA 、9B 、 18C、 24D、 36O13、若扇形的周长是 30cm，面积是 56cm2，则它的半径是（）A 、7cmB、 8cmC、 7cm 或 8cmD、 15cm14、若 Rt的一条直角边等于它的外接圆半径的2 倍，则此三角形面积与其外接圆面积比为（）A 、 :2B 、2:C、 2 :D、 1

18、:15、 O1 的直径为d， O2 的直径比 O1 的直径多3d，则这两个圆的面积差是（）A 、 7 d 2B、 4 d 2C、 9 d 2D、 15 d 2A224IOMB学习必备欢迎下载16、面积等于两个半径分别为r1、 r2 的圆的面积之和的大圆的半径为（）A 、r1+r222C、 ( r1r2 )222B 、 r1 +r2D、r1r2三、解答题：17、如图， AB 是 O 的直径， CD AB 于 C， E 在 CD 上， E 与 AB 切于 C，与 O 切于 F，若 AB=6 ，CD= 6，求： (1)OC 的长 (2) E 的半径的长(3) 阴影部分的面积DFEACOB18、如图， AOB 是直