非线性微分方程及稳定性PPT课件

1、);(ytgdtdy设给定方程组（6.16.1）的初始条件为考虑包含点（6.1）00)(yty),;(),(010000nyytyt的某区域00,|:|yyattR所谓在域上关于局部满足利普希茨条件是指对于);(0ytgGy内任意点存在闭邻域G),(00yt,GR满足利普希茨条件，即存在常数而使得不等式：关于与);(0ytgRy, 0LyyLytgytg);();(写成向量形式：b第1页/共27页对所有);( ytgRytyt),(),(R如果向量函数在域满足利普希茨条件，则方程组（6.16.1）存在唯一解存在唯一性定理成立。上连续且关于如果向量函数解的延拓与连续性定理续，且关于它在区间这里内

2、连在某域y),;(00ytty0000),;(yytt.);(max),min(),(ytgMMbahRyt);( ytgGy条件的解满足局部里普希茨条件，则方程组（6.1）的满足初始到或者使点可以延拓，或者延拓00)(yty),)(,;(0000Gytytty);-(或),;(,(00yttt任意接近区域G的边界。htt0上连续，而且第2页/共27页可微性定理);( ytg), 2 , 1,(njiygii)(ty在域及如果向量函数确定把方程（6.1）化为：作为内连续，那么方程组（6.16.1）由初始条件的函数，在存在范围内是连续可微。00,yttG的解00)(yty),;(00ytty（6

3、.3） 邻近的解的性态，通常先利用变换: (6.28)为研究（6.1）的特解)(tyx);(xtfdtdx第3页/共27页其中)(;()(;()();(),(ttgtxtgdttdytgxtf此时显然有：（6.4）0)0 ;(tf第4页/共27页6.2 稳定性的基本概念NoImage定义6.1 设),;(00 xttx00)(xtx是系统(6.3)适合初值条件的解(1) 若, 0)(, 0使得只要,0 x对一切0tt 恒有00( ; ,),x t t x则称系统(6.3)的零解0 x是稳定的。(2) 若 1) 0 x是稳定的;2) , 0, 01t使得只要,10 x就有第5页/共27页, 0)

4、,;(lim00 xttxt1xx则称系统(6.3)(6.3)的零解0 x是渐近稳定的; ; 区域称为吸引域;如果吸引域是全空间,则称0 x0 x稳定的.是全局渐近,;(00 xttx(3) 若 是不稳定的。, 0, 00都,0 x但则称0 x与,01tt 使0 x第6页/共27页6.3 相平面现在讨论二阶微分方程组（6.5）),;();(yxtYdtdyyxtXdtdx它的解)(),(tyytxx 如果把时间t t当做参数，仅考虑x x，y y为坐标的（欧氏）空间，此空间成为方程组（6.56.5）的相平面（若方程组是高阶的，则称为相空间）。在相平面（相空间）中方程组的曲线称为轨线。对一般的方

5、程组（6.56.5）在相平面上一个点可能有不止一条轨线经过。但如果方程组（6.56.5）是驻定方程组，即其右端函数不显含时间t t的情形，此时（6.56.5）式变成：（6.6）第7页/共27页（6.7）),(),(yxYdtdyyxXdtdx*,yyxx0),(, 0),(yxYyxX附注：在相平面，驻定方程组（6.7）的轨线不相交。同时满足（6.7）的奇点，显然称为驻定方程组是方程组的解。的点),(*yx （6.8）方程（6.7）的另一形式：dycxdtdybyaxdxdx第8页/共27页（6.9）0dcba其中，根据线性代数理论可以通过非奇异的实线性变换特征方程把线性方程组（6.8）化成标

6、准形式，其系数为下列四种形式： （6.10）为实数。这些标准形式是根据方程组（6.8）的ykxkykxk222112110dcba,00,01,000, 0yx则此奇点还是唯一的。显然，坐标原点是奇点。如果方程组的系数满足条件第9页/共27页（6.11）0)(2bcadda01，且当的根（称为特征根）的性质来决定的。定理时奇点为结点为实根，则021，零解为不稳定的。如果二阶线性驻定方程组（6.8）的系数满足条件（6.9），则方程的零解（奇点）将依特征方程（6.11）的根的性质而分别有如下的不同特性：1）如果特征方程的根即：0210121时奇点为鞍点时奇点和对应的零解均为不稳定的；当结点是稳定的

7、，而对应的零解为渐进稳定的，但当第10页/共27页则当0 cb,时为不稳定的。时奇点为中心，零解为稳定但非渐近稳定的。3）如果特征方程的根为共轭复根，即稳定的，而零解为渐近稳定的，但当定的，而当2）如果特征方程具有重根时奇点和对应的零解均0Re10Re10Re1时奇点和对应的解均为不稳定的；当时焦点是稳定的，对应的零解为渐近稳奇点为焦点，且当,21000Re1时，这两类结点均为的情形奇点为奇结点。又当则奇点通常为退化结点，但在01第11页/共27页6.4 由线性近似系统判定稳定性,:),(nnRRDfxfdtdx称系统(6.13)的线性近似系统为(6.12)设0 x为(6.12)的解, 利用T

8、ayLor公式 可将(6.12)化为),(xAxdtdx(6.14),Axdtdx(6.13)第12页/共27页 定理 (1) 若矩阵A的全部特征值都具有负实部,则系统(6.12)的零解是渐近稳定的; (2) 若矩阵A的全部特征值中至少有一个具有正实部,则系统(6.12)的零解是不稳定的. 定理(Hurwitz准则) 实系数 n 次代数方程01110nnnnaaaa的所有根具有负实部(包括负实根)的充分必要条件是:, 0, 02031211aaaaadefdef第13页/共27页, 000, 0022201231314205313nnndefndefaaaaaaaaaaaaaaa定理 若特征方

9、程 0)det( EA没有零根或零实部的根，则非方程组（6.13）的零解的稳定性态与其线性近似的方程组（6.14）的零解的稳定性态一致。第14页/共27页6.5 判定稳定性的Liapunov函数法).(,) 1 (DCVRHxxDn定义6.5 设若 0) 0(V且当 0/Dx时,),0(0)(xV则称函数V在D上是常正(常负)的;若0)0(V函数0)0(V且当 0/Dx时,),0(0)(xV则称V在D上是定正(定负)的;常常正或常负的函数统称为常号函数;定正或定负的函数统称为定号函数. 若且在0 x 的任意领域内均既有使0)(xV的点, 也有使0)(xV的点, 则称函数V在D上是变号的.第15

10、页/共27页nDR定理6.1 (稳定性的Liapunov判别法) 设有定义在上的定正(定负)函数(6.2)( ),dVV xdt表示)(xV沿系统(6.2)的轨线的全导数(1) 若(6.2)dVdt在D0 x 上是常负(常正)的,则是稳定的;(2) 若(6.2)dVdt在D0 x上是定负(定正)的,则是渐近稳定的;(3) 若(6.2)dVdt在D0 x上是定正(定负)的,则是不稳定的;用来判定稳定性的这种函数),(yxV称为Liapunov函数,也称为V函数.第16页/共27页(6.2)0dVxdt内除附注1 若定正(定负),)(xV则(6.2)dVdt常负(常正), 但集合是渐近稳定的.0

11、x 外不含有系统(6.2)的整条轨线,0 x附注2 若)(xV在0 x的邻域内是变号函数,而(6.2)dVdt定号,则0 x是不稳定的.第17页/共27页6.6 周期解和极限圈例 对二阶非线性驻定方程组由（6.16）可知当如取极坐标则方程组（6.15）可化为（6.15）,sin,costyrx)()(2222yxyyxdtdyyxxyxdtdx1r0r1),1 (2dtdrrdtdr00, 0ttttr, 1, 0dtddtdr（6.16）时和及即有两个特解00, 1ttttr第18页/共27页第一个解即为原点，是一奇点。而第二个解在相平面上是半径等于，轨线是沿着顺时针方向旋转的。1以原点为圆

12、心的一个圆。这个以圆为轨线的解是一个周期解，周期为当201|, 0)1 (|*121dtdRRdtdrRr),(*RRr 0R12 RR11 RR方程轨线的走向。虑通过（圆心在原点）的圆，考圆上的任一点在相平面上任意作一个半径为1Rr 时，由式（6.16）有时，则由（6.16）有当走出圆外。即轨线按顺时针方向从圆01|, 0)1 (|*2222dtdRrdtdrRr第19页/共27页组成的环域考虑由首先，由方程组（6.16）的右端限圈附近的轨线均正向（即21RrRt1Rr D.DD2Rr 和内没有方程的奇点。其次，在边界上所有的轨线均从环域外进入其内，并不再走出该环域。可知，此环域D这种孤立的

13、周期解（闭轨线），在相平面上称为极限圈。当极）趋近于它时，称此极限圈为稳定的。如果轨线是负向（即走出圆外。即轨线按顺时针方向从圆t定的。当此极限圈的一侧轨线正向趋于它，而另一侧轨线负向趋近它时，此极限圈称为半稳定的。）趋近于它时，称它为不稳便可以证明在此环域内必存在极限圈。这种方法称为造的环域实际上可以不必先求出特解（如上例的r=1），而仅仅由构2Rr 第20页/共27页假设二阶驻定微分方程组当上点的解定理)(00ttttGD),(),(yxYdtdyyxXdtdxDYX、)(),(tyytxx（6.17）内存在单连通域其右端函数在相平面的某域内的某一周期解（闭轨线）。内有一阶连续偏导数。如果

14、在时不离开该域，则或其本身是一个周期解（闭轨线）班狄克生方法。,D在其内不含有方程组（6.17）的奇点，而（6.17）的经过域内存在有界的环形闭域如果于定理，或它按正向（或负向）趋近于G,*D*DGxYxX*D不变在其内函数内号且在内的任何子域不恒等于零，则方程组（6.17）在域不存在任何周期解，更不存在任何极限圈。（利用格林公式反证之）第21页/共27页是偶函数，则方程（6.19）可化为并设李安奈特方程xdxxfxF0,)()(0)(xxg0) 1(222xdtdxxdtxd)(),(xgdtdyxFydtdx)(xg),(xFdtdxy（6.18）时对一切2）（6.19）二阶方程组范得坡方

15、程)(xf满足局部利普希茨条件；如果记连续，假设定理为奇函数，当0)()(22xgdtdxxfdtxd)()(xgxf、x（6.20）1）内的任何子域不恒等于零，则方程组（6.17）在域0 xx)(, 0)0(xgf)(;)(xFxF3）当时且对有唯一正零点, ax 第22页/共27页，均为唯一的二次型（或定正）的对称阵的极限圈。)()(BBBxxxVTT)(,xFax C均不满足关系那么，方程（6.19）有为一周期解，即方程组（6.20）有一个稳定则对任何定负是单调增加的。（6.21）的特征根（6.22）Axdtdx), 2 , 1,(0njijii使其通过方程组（6.21）的全导数有定理

16、如果n阶线性微分方程组)(CCCxxdtdVTT（6.23）第23页/共27页时，1）B)(正（或定负）的；如果（6.21）有正实部的特征根，则二次型如果方程组（6.21）的特征根均具负实部，则二次型（6.22）是定而当且对称阵（6.226.22）不是常正（或常负）的。（6.25）CBABATxedtdbAxdtdxT),()()()()(0d满足关系式02）（6.24）连续，表示非线性特征，它满足条件：函数下面讨论控制系统中提出的一类非线性微分方程组：. 0)(, 0)0()(（6.26）第24页/共27页故其绝对稳定的含义变为对满足条件（6.26）的任意函数0 x),(tx的解全局渐近稳定的，即零解满足上述条件的方程组（6.25）只要函数稳定且对所有的取任意初始向量0 xbeAxedtdbAxdtdxTT),()(),(满足（6.26），则方程组（6.25）的零解0, 0 x方程组（6.27）的零解称为绝对稳定的。时均趋于是当t)(是全局渐近稳定的。时，这是称直接控制系统；反之就称间接控制系统。且