数列的概念与简单表示(教学设计)

1、学习必备欢迎下载第一节数列的概念与简单表示法教学目标：（ 1）了解数列的概念，分类；（ 2）能根据条件数列的通项公式，类型包含数列的前几项的归纳出数列的通项公式，由前 n 项和求通项公式，由数列的递推公式求通项公式。教学方法：以学生为主体，教师点评指导，讲练结合，启发引导，自主合作探究。教学工具：投影仪，多媒体，黑板。教学过程：1数列的有关概念概念含义数列按照一定次序排列的一列数数列的项数列中的每个数数列的通项数列 an 的第 n 项 an通项公式如果数列 an 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式前 n 项和数列 an中， na1a2 a

2、n 叫做数列的前 n 项和S2.数列的表示方法列表法列表格表示 n 与 an 的对应关系图象法把点 (n，an 画在平面直角坐标系中)通项把数列的通项使用公式表示的方法公公式式使用初始值 a1和 an 1 f(an或 1，a2和 an 1 f(an ，an 1 等表示数递推法)a)公式列的方法3.an 与 Sn 的关系若数列 an 的前 n 项和为 Sn，S1，n1，则 anSn Sn1，n2.学习必备欢迎下载4数列的分类递增数列? n N* ，an 1 n>a递减数列? n N* ，an 1 n<a单调性常数列? n N* ，an 1 an摆动数列从第 2 项起，有些项大于它的前

3、一项， 有些项小于它的前一项的数列周期性周期数列? n N* ，存在正整数常数 k， ankan考点精析：考点一由数列的前几项求数列的通项公式题组练透 1数列2，4，6，8，10，的一个通项公式是315356399解析：通过观察各项，可得分母为(2n 1)(2n 1)，分子为2n，则an2n2n1 2n1 .答案： an2n2n1 2n12根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，；(2)(易错题 )11111×2，2×3，3×4，4× 5，；(3)a，b，a，b，a，b， (其中 a，b 为实数 )；(4)9,99,999,9

4、 999， .解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式an 2(n 1)，nN*.(2)这个数列的前4 项的绝对值都等于序号与序号加 1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an(1)n×1，nN* .n n1(3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是 b，所以此数列的一个通项公学习必备欢迎下载a， n为奇数，式 anb， n为偶数 .(4)这个数列的前 4 项可以写成 101,1001,1 000 1， 10 000 1，所以它的一个通项公式 an10n1，nN* .谨记通法 由数列的前几项求数列通项公式的策略(1)根据所给数列的前几项求其通项

5、公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号特征等(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想， 由不完全归纳得出的结果是不可靠的， 要注意代值检验，对于正负符号变化，可用 ( 1)n 或(1)n 1 来调整如“题组练透”第2(2)题考点二由an与Sn的关系求通项 an 重点保分型考点 师生共研典例引领 已知下面数列 an 的前 n 项和 Sn，求 an 的通项公式：(1)Sn 2n23n；(2)Sn 3nb.解： (1)a1 S123 1，当 n

6、 2 时， an SnSn 1 (2n2 3n)2(n1)2 3(n1)4n 5，由于 a1 也适合此等式，an 4n5.(2)a1 S13b，当 n 2 时， an SnSn 1(3n b) (3n 1b)2·3n 1.学习必备欢迎下载当 b 1 时， a1 适合此等式当 b 1 时， a1 不适合此等式当 b 1 时， an2·3n 1；3b，n1，当 b 1 时， an2·3n 1， n 2.由题悟法 已知 Sn 求 an 的 3 个步骤(1)先利用 a1S1 求出 a1；用替换n 中的 n 得到一个新的关系，利用anSnSn 1 2)便可(2)n 1S(n

7、求出当 n 2 时 an 的表达式；(3)对 n1 时的结果进行检验， 看是否符合 n2 时 an 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1 与 n 2 两段来写即时应用 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn.(1)若 Sn(1)n1·n，求 a5a6 及 an；(2)若 Sn3n2n 1，求 an.解： (1)a5 a6S6S4 (6) ( 4) 2，当 n 1 时， a1 S11；当 n 2 时， an SnSn 1(1)n 1·n( 1)n·(n1) (1)n 1·n(n1) (1)n 1·(2n1)，又

8、 a1 也适合此式，所以 an(1)n1·(2n1)(2)因为当 n 1 时， a1 S16；当 n 2 时，anSn Sn 1(3n2n 1)3n1 2(n1) 12·3n 12，由于 a1 不适合此式，学习必备欢迎下载6， n 1，所以 an2·3n12，n2.考点三由递推关系式求数列的通项公式常考常新型考点 多角探明命题分析 递推公式和通项公式是数列的两种表示方法， 它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接常见的命题角度有：(1)形如 an 1anf(n)，求 an；(2)形如 an 1anf(n)，求 an；(3)形

9、如 an 1AanB(A0 且 A1)，求 an；Aan(4)形如 an 1BanC(A， B， C 为常数 )，求 an.题点全练 角度一：形如 an 1 anf(n)，求 ann 11在数列 an 中， a11，annan 1(n 2)，求数列 an 的通项公式n 1解： annan 1(n2)，an 1 n 2n 2， a211n 1a2a .以上 (n1)个式子相乘得1 2n 111aana1····nnn.2 31当 n 1 时， a1 1，上式也成立 ann.角度二：形如 an 1 anf(n)，求 an2若数列 an 满足： a1 1，an

10、1an2n，求数列 an 的通项公式解：由题意知 an 1 an2n，an(anan 1)(an1an 2) (a2a1)a1n2n 1 2n 2 21 1122 2n 1.角度三：形如 an 1 Aan B(A0 且 A1)，求 an学习必备欢迎下载3已知数列 an 满足 a1 1， an 13an2，求数列 an 的通项公式解： an 13an2， an113(an 1)，an 1 1 an1 3，数列 an 1 为等比数列，公比q 3，又 a112， an 1 2·3n1， an2·3n 11.Aan角度四：形如 an 1 Ban C(A，B，C 为常数 )，求 an

11、2an4已知数列 an 中， a1 1，an1an2，求数列 an 的通项公式2an解： an 1an 2， a11， an0， 1 1 1，即 1 1 1，又 a11，则1 1，an 1an 2an1an2a11是以 1 为首项，1an2为公差的等差数列1 1 (n1)× 1n 1， an 2* ana12 2 21(n N )n方法归纳 典型的递推数列及处理方法递推式方法示例an1 an f(n)叠加法a1 1，an 1 an2nan 1 an f(n)叠乘法n1na1 ， a1an2an1 AanB化为等比数列a1 1，an 1 2an 1(A 0,1，B 0)Aanan1Ba

12、nC(A，B，化为等差数列 a1 1，an 1 3an 2an 3C为常数)课堂检测1已知数列 an 的前4 项为1,3,7,15，则数列 an 的一个通项公式为_答案： an2n 1(n N* )学习必备欢迎下载已知数列n中， 1 1，an1an，则 a5 _.2 a an32a1答案： 161n的通项公式为nn2n，数列 an仅在n3(教材习题改编 )已知数列 a a 3 时取得最小的项，则实数 的取值范围是 _解析：法一：因为 ann2 nn 2仅在时2，由于数列 an24n 35n 7取得最小的项，所以 2<2<2，从而得 7<n<5.法二：因为 anan 1n2 n(n1)2 (n1) 2n 1 ，由于数列 an 仅在 n3 时取得最小的项， 所以 a2>a3 且 a4>a3，即 5 <0 且 7>0，故 7<< 5.答案： ( 7， 5)4(教材习题改编 )数列 an 中，已知 an ( 1)n·na(a