辽宁省重点高中协作校高一数学下学期期末试卷(含解析)

1、2015-2016学年辽宁省重点高中协作校高一(下)期末数学试卷、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)1.点P从(-1, 0)出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动 Tt弧长到达Q则3Q点坐A.B.)C.D.2.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=抽到一C二抽到三等品,且已知P (A) =0.65 , P (B) =0.2品，事件P (C) =0.1B=抽到二等品,事件 .则事件“抽到的不是等品”的概率为(A. 0.7 B .0.65)C. 0.35D. 0.311 / 183.已知E为单位向量，其夹角为 60° ,则(2二-E) ?E=(A.4.-1 B.A.sin

2、( - 152C. 1D. 2)二()B.C.D.5.已知向量a= (-2, 1),b= (3, 0),则W在方方向上的正射影的数量为(A.一二B.瞧 C. - 2 D. 26.在 ABC中，a=1, b=x, Z A=30° ,则使 ABC有两解的x的范围是(B. ( 1, +8)C.D. (1, 2)a, b, c,要求输出这三个数中最大的数，那么在 )A. c>xB. x> a7.如图的程序框图，如果输入三个实数 空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的C. c> bD.b> c8. ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, cvcosA,则4

3、 ABC为()A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形9 .设D> E、F分别是 ABC的三边BG CA AB上的点，且 前二？而，&二宓 ,蓝二闹,贝"近十丽一丽与丽()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直10 .设函数f(兑)二-日(2/3)+"口(2号(I中|<-),且其图象关于直线x=0对称，则()A. y=f (x)的最小正周期为 兀，且在 S, 二)上为增函数B. y=f (x)的最小正周期为 兀，且在(0, )上为减函数C. y=f (x)的最小正周期为 三，且在S,25)上为增函数D. y=f (

4、x)的最小正周期为二，且在CO, J，)上为减函数11.设。点在 ABC内部，且有6A+2而+ 3而=6 则 ABC的面积与 AOC勺面积的比为 ( )A. 2 B.三 C. 3D.三23M N,则12 .已知在等边 ABC43, AB=3。为中心，过。的直线与 ABC的边分别交于点0M+-的最大值是A.仃 B. 2 C. V6 D.3V3二、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分)13 .高一某班有学生 56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，则需要将全班同学分成 组.口邛. |14 .已知 tan a =2, tan 3 =3,且 a、3 都是锐角，贝U t

5、an二、=.15 .有一解三角形的题目因纸张破损，有一条件不清，具体如下：在ABC中，已知L A+C a=V3, 2cos2 2 =1) cosB, c=,求角 A,若该题的答案是 A=60° ,请将条件补充完整.16 .在 ABC中，/ ACB为钝角，AC=BC=1而0承+菠且x+y=1 ,函数 f(m) 二 |茂一府|的最小值为 s,则|诟|的最小值为 .三、解答题(共6小题，满分70分)17 .已知函数f (x) =Asin (x+j) ( A>0, 0v<f)兀)，xCR的最大值是1,其图象经 过点值冬，春).(1)求f (x)的解析式;(2)已知 Q, 3 E

6、(Qp 二)，且 £(口)/，)/，求 f (a - 3)的值. 251318 .在锐角 ABC中，a、b、c分别为角 A B、C所对的边，且da=2csinA(1)确定角C的大小；(2)若c=/r,且 ABC的面积为士雪，求a+b的值.7)，05=1),设Z是直线OP上的一动19 .如图,已知0中1),位二(1,耳八、(1)求使 五?言取最小值时的 技；(2)对(1)中求出的点 Z,求cos/AZB的值.20 .学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为150分)，数学成绩分组及各组频数如下：60, 75) , 2; 75 , 9

7、0) , 3; 90 , 105) , 14; 105 , 120) , 15; 120 , 135) , 12; 135 , 150 , 4.(1)在给出的样本频率分布表中，求A, B, C, D的值；(2)估计成绩在120分以上(含120分)学生的比例；(3)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩在135 , 150的学生中选两位同学，共同帮助成绩在60, 75)中的某一位同学.已知甲同学的成绩为62分，乙同学的成绩为 样本频率分布表：140分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率.分组频数60 , 75)275 , 90)390 , 105)14105

8、 , 120)15120 , 135)A135 , 1504合计C21.某休闲农庄什-块长方形鱼塘频率0.040.060.280.30B0.08DABCD AB=50米，BC=25/5米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊OE EF和OF,考虑到整体规划，要求。是AB的中点，点 E在边BC上，点F在边AD上，且/ EOF=90 .(1)设/BOE通，试将 OE用勺周长l表示成a的函数关系式，并求出此函数的定义域；(2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用.22.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量分=(

9、-1, 2),又点A (8, 0) , B(n, t) , C (ksin 0 , t) . (1)若标，g,且 后尸而欣I ,求向量而；(2)若向量正与向量g共线，常数k>0,求f (。)=tsin 0的值域；(3)当(2)问中f (0)的最大值4时，求五匕?55.【分析】【解答】点P从兀2015-2016学年辽宁省重点高中协作校高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1 .点P从（-1, 0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动 Tt弧长到达Q则Q点坐苧B.T）C Y,-%。（一卓为【考点】弧长公式.7JL贝U/ POQ=r2兀=2

10、死/ xOQ=-,2兀 1.cos=-，.Q点的坐标为（-故选：A.2 .从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=抽到一等品,事件B=抽到二等品,事件C二抽到三等品,且已知P （A） =0.65 , P （B） =0.2 , P （C） =0.1 .则事件“抽到的不是 一等品”的概率为（）A. 0.7 B , 0.65C. 0.35D, 0.3【考点】 互斥事件的概率加法公式.【分析】根据对立事件的概率和为 1,结合题意，即可求出结果来.【解答】解：根据对立事件的概率和为1,得；.事件A=抽到一等品，且P （A） =0.65, ，事件“抽到的不是一等品”的概率为P=1- P (A) =1 - 0

11、.65=0.35 故选：C.3 .已知& E为单位向量，其夹角为 60° ,则（2g-b；） ?E=（）A. - 1 B. 0 C. 1 D. 2【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得%?的值，可得（博工）的值.【解答】解：由题意可得， 募E =1 xixcos60° =y,=1 ,2 2aT 匕）？E=2a，h 一己'=0，故选：B.4.A.sin (T52V2+V6D.【考点】三角函数的化简求值；运用诱导公式化简求值.【分析】利用两角差的正弦公式，结合特殊角的三角函数，即可得出答案.【解答】解：sin （-15

12、76; ） =sin （30° -45° ）=sin30 ° cos45° cos30° sin455 .已知向量3= （- 2, 1） , E=（3, 0）,则W在E方向上的正射影的数量为（）A<. - VsB.向 C . - 2 D. 2【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据向量数量积的关系进行化简，结合向量投影的定义进行求解即可.【解答】解：二.向量二=（2, 1） , E=（3, 0）,> -* 1 r _= 0 b 2 5，日在b方向上的正射影为IRcosv,匕>不7=-=-2,故选：Cx的范围是（D. （1,

13、2）b=x>a, bsinAva,即可6 .在 ABC中，a=1, b=x, Z A=30° ,则使 ABC有两解的A. a,芋)B. (1, +8) C.卜手，2)【考点】正弦定理.【分析】根据题意画出图形，由题意得到三角形有两解的条件为 确定出x的范围.b=x>a, bsinAva,【解答】解：结合图形可知，三角形有两解的条件为 b=x> 1, xsin30 v 1,则使 ABC有两解的x的范围是1vxv2,故选：D.7.如图的程序框图，如果输入三个实数a, b, c,要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A. c>

14、x B. x> aC. c>bD. b>c【考点】程序框图.【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量X=C【解答】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较 x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，.条件成立时，保存最大值的变量X=C故选A.【分析】由已知结合正弦定理可得sinC v sinBcosA利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin （A+B） v sinBcosA 整理可得 si

15、nAcosB+sinBcosA <0 从而有 sinAcosB v 0 结合三角形 的性质可求【解答】解：一vcosA,b由正弦定理可得，sinC < sinBcosA .sin (A+B) < sinBcosA- sinAcosB+sinBcosA < sinBcosAsinAcosB < 0 又 sinA > 0.cosB<0 即B为钝角故选：A9 .设D> E、F分别是 ABC的三边BG CA、AB上的点，且 比二2面5,最=2前， 菽二?而，则菽十!定n?与嬴（）A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【考点】平行向量与共

16、线向量.【分析】根据向量的定必分点性质可分别表示出 正叁总正标，1+233然后三者相加即可得到答案.【解答】 解：由定比分点的向量式得:菽萼著正 存族，商3祕以上三式相加得 五十靛十行二一轲, 故选Ax=010 .设函数吕（2/0 ）+曰in（2耳+0 ） （I中I<）,且其图象关于直线对称，则（）A. y=f （x）的最小正周期为 兀，且在 S，；）上为增函数B. y=f （x）的最小正周期为 兀，且在（0, ）上为减函数C. y=f （x）的最小正周期为 :，且在6, 手）上为增函数D. y=f （x）的最小正周期为 ：，且在 6, 左）上为减函数【考点】两角和与差的正弦函数.【分析

17、】将函数解析式提取2,利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，找出3的值，代入周期公式，求出函数的最小正周期，再由函数图象关于直线x=0对称，将x=0代入函数解析式中的角度中，并令结果等于kTt (kCZ),再由。的范围，求出。的度数，代入确定出函数解析式，利用余弦函数的单调递减区间JT冗确定出函数的得到递减区间为 kTt , ku + (kC Z),可得出(0, -) ? ku ,k兀(kC Z),即可得到函数在(0,冗2)上为减函数，进而得到正确的选项.【解答】 解：f (x) =/jcos (2x+(j) +sin (2x+(j)=21(=2-2cos (2

18、x+()/sin (2x+()71=2cos (2x+ 66)co =2,又函数图象关于直线x=0对称,口口兀=k 兀(k C Z),即 j =k 兀 +(kJ),7U2f (x) =2cos2x ,令 2k% < 2x<2kTt +兀(kC Z),解得：k u < x< k %(kCZ),，函数的递减区间为kjt, ku +死(kC Z),又(0,兀z')? ku, k 兀 +兀一丁(kJ),，函数在(710传)上为减函数,则 y=f (x)的最小正周期为兀，且在(0,)上为减函数.故选B11.设。点在 ABC内部，且有OA+2OB-F3OC=O,则 ABC的

19、面积与 AOC勺面积的比为( )35A. 2 B. C. 3 D). V 23【考点】向量在几何中的应用.【分析】根据赢+2过十3无二1,变形得，币+砥-2 痂位),利用向量加法的平行四边形法则可得 2而二-4而，从而确定点 。的位置，进而求得 ABC的面积与 AOC的面 积的比.【解答】解：分别取AG BC的中点D、E,-34。，标+前=-2（而+工）,即2而A砸,.O是DE的一个三等分点，SAAOC ，12.已知在等边 ABC,OM ON的最大值是（A. Vs B. 2 C. -/6 D.AB=3。为中心，过。的直线与 ABC的边分别交于点）用2M N,则【考点】 解三角形的实际应用.【分

20、析】 如图所示，设/ AOM =.由点 。是正 ABC的中心，AC=3可得AD-|2AC?sin60° , AO=-AD.在AMOK 由正弦定理可得：OM= sin(. 兀AOsi n-T' bJ),同理在 ANO中，可得:ON=”；6.代入【解答】 解：如图所示，设/ AOM =.点。是正 ABC的中心，AC=3.AD-AC?sin60° =2 r-，AO-ADV3.J在amo4由正弦定理可得:OM式 nNDAM sinfAOL, 兀rA0sin-7"v3=,5n _ 仔)9 jsinl-/-"= JB同理在 ANO,由正弦定理可得:百0N=6

21、1 2sin(OM ON)=4sin 8 cos-r-75=2sin 0 .可得7T立因此当92故选：B.,由过。的直线交 AB于M 交AC于N,时,俞喃取得最大值2.二、填空题(共4小题，每小题5分,满分20分)13 .高一某班有学生 56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，则需要将全班同学分成8组.【考点】系统抽样方法.【分析】根据系统抽样进行求解即可.【解答】 解：高一某班有学生 56人，系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，则 56+8=7,即样本间隔为7,每7人一组，共需要分成 8组，故答案为：8、，CL + P 厂14 .已知 tan a =2, ta

22、n 3 =3,且 a、3 都是锐角，贝U tan二、=1+v2 .【考点】两角和与差的正切函数；半角的三角函数.I 口4 &【分析】 先利用正切的两角和公式求得tan (a +3)的值，进而求得 a + 3 ,-三匚的值，利用二倍角的正切函数公式即可计算得解.【解答】解：tan (a+3)一1 一曳 tan& -1 - 6-32L+ + 3= j ,可得:CUR 3兀 。邛2=, tan-2->0'21 a n.- tan (a + 3)= - 1 1 Tan,整理可得：tanGL +2tan，解得：tan =1帖， 或1 )/2 (舍去) 故答案为：1+,R.1

23、5 .有一解三角形的题目因纸张破损，有一条件不清，具体如下：在ABC中，已知a=-/j, 2cos2 口 =(0-1) cosB, c=,求角 A,若该题白答案是 A=60° ,请将条件补充完整.【考点】 余弦定理.【分析】利用诱导公式、二倍角公式求得B,再利用两角和的正弦公式求得sin75。的值,再利用正弦定理求得 c的值.【解答】 解：在 ABC43,二.已知a=/乐2cosT=(点1) cosB,1+cos (A+。= (J-1) cosB,即 1 - cosB= (j2 1) cosB,. cosB='jB=-若 A=60°,贝UC=180A- B=75,

24、sin75 ° =sin(45°+30°)=sin45 ° cos30°则由正弦定理可得+cos45 sin30 =4c=-=1求;sin60° '故答案为：呼16 .在 ABC中，/ ACB为钝角，AC=BC=1 CO=X承+*且 x+y=1 ,函数 fW=ICA-rnQ |的最小值为 坐，则|与|的最小值为 【考点】向量加减混合运算及其几何意义.【分析】 在 ABC中，/ ACB为钝角，AC=BC=1函数f 的最小值为图.利用数量积 的性质可得/ ACB进而再利用数量积的性质和二次函数的单调性即可得出.【解答】 解：在 A

25、BC43, / ACB为钝角，AC=BC=1函数f (m)的最小值为图.，函数 f(0=l=ZcA2fm?CB2 - 2mCA-CB=/l+m2 _ 2itgosZACB>y,化为 4n2 - 8mcosZ ACB+> 0 恒成立.当且仅当m=cos/ACB时等号成立，代入得到/.oZ/2兀4因B二不-. |行 |£=£2.2+ 第词2+2/y及.苏二K之十y"ZqyX C0=x2+ (1X)2 x (1 -x)=筛 -)2+y,当且仅当x=-=y时，屈| 2取得最小值看,|C0 |的最小值为f-故答案为：二.2三、解答题（共6小题，满分70分）17

26、.已知函数f （x） =Asin （x+j） （ A>0, Ov。兀），xCR的最大值是1,其图象经过点范（g，二）.（1）求f （x）的解析式；（2）已知 Q, 3 E （0,等），且 f（u）笔）二栏，求 f （a - 3）的值.【考点】由丫=人$所（cox+e）的部分图象确定其解析式；两角和与差的余弦函数.兀 1【分析】（1）根据题意求出 A,图象经过点棋一,年），代入方程求出然后求fW1士（x）的解析式；（2）口, 8 （0,二）,且f£（$）二器"，求出。口为二一* 七口sB二色"， zblala然后求出sin a , sin 3 ,利用两角差的余

27、弦函数求f （a - 3）的值.711【解答】解：（1）依题意有A=1,则f （x） =sin （x+（j）,将点二）代入得sin,一"44r(2)依题意有而式e看-噜福,f(Ct - f )=qos ( Ct - p) = cos cosP 4-sin CL sin513 513 65且=2csinA18 .在锐角 ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边,ABC的面积为求a+b的值.（1）确定角C的大小;若c=/r,【考点】解三角形.【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC,进而求得C.（2）利用三角形面积求得 ab的值，利用余弦定理求得 a2

28、+b2的值，最后求得a+b的值.【解答】解：（1） .V3a=2csinA，正弦定理得 VsinA=Ssi nCsin,.A锐角,1- sinA >0,-stnC=_;j-，又二 C锐角,TC(2)三角形 ABC中，由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC 即 7=a2+b2 ab,又由 ABC的面积得 S=7j-absinC=y 即 ab=6,( a+b) 2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5.19 .如图，已知而=(2, 1),届二(1,7), 0B=(5，1)，设Z是直线OP上的一动 耳 八、(1)求使 五?五取最小值时的0Z；(2)对(1)中求出的点

29、Z,求cos/AZB的值.【考点】平面向量的综合题.【分析】(1)运用向量共线的坐标表示，求得向量ZA, ZB的坐标，由数量积的标准表示，结合二次函数的最值求法，可得最小值，及向量OZ;(2)求得t=2的向量ZA, ZB,以及模的大小，由向量的夹角公式，计算即可得到.【解答】 解：(1) .Z是直线OP上的一点，,屁/乐，一 一设望t ,使应工就，位=上2)=(2t, t),=Ba_£5z= (1 , 7) ( 2t , t ) = (1 2t , 7 t ),70=052赤(5，1)一( 2t , t) = (5 2t , 1-t).，五?!S=(1 2t) (52t)+(7t)

30、(1-t)=5t2- 20t+12=5 (t 2) 2 8.当t=2JZA ?Z&有最小值-8, 此时位=(2t, t =(4, 2).一f)当 t=2 时，五=(1 2t, 7-t二=(二3, 5) , |ZAI=V34， 苏=(5-2t , 1 - t) = (1, T) , | 五|二6.cos / AZB-2饯=一£|ZA n|ZB | V34XV220 .学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为150分)，数学成绩分组及各组频数如下：60, 75) , 2; 75 , 90) , 3; 90 , 105) , 1

31、4; 105 , 120) , 15; 120 , 135) , 12; 135 , 150 , 4.(1)在给出的样本频率分布表中，求A, B, C, D的值；(2)估计成绩在120分以上(含120分)学生的比例；(3)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩在135 , 150的学生中选两位同学，共同帮助成绩在60, 75)中的某一位同学.已知甲同学的成绩为62分, 样本频率分布表:乙同学的成绩为140分,求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率.分组频数频率60 , 75)20.0475 , 90)30.0690 , 105)140.28105 , 120)

32、150.30120 , 135)AB135 , 15040.08合计CD【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直力图.【分析】(1)由样本频率分布表，能求出A, B, C, D的值.(2)由频率分布表能估计成绩在120分以上(含120分)的学生比例.(3)成绩在60 , 75)内有2人，记为甲、A,成名在135 , 150内有4人，记为乙，B, C, D,由此利用列举法能求出甲、乙同学恰好被安排在同一小组的概率.【解答】解：(1)由样本频率分布表，得：C=50, A=50- 2-3-14- 15-4=12, B斐=0.24 , D=1.50(2)估计成绩在120分以上(含120

33、分)的学生比例为：0.24+0.08=0.32 .(3)成绩在60 , 75)内有2人，记为甲、A,成绩在135, 150内有4人，记为乙，B, C, D,则“二帮一”小组有以下 12种分组办法：甲乙B,甲乙C,甲乙D,甲BC,甲BR甲CR A乙B, A乙C, A乙D, ABC ABQ ACD其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：甲乙B,甲乙C,甲乙D,.甲、乙同学恰好被安排在同一小组的概率为：P*+.12 421 .某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD) AB=50米，BC=2小米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊OE EF和OF,考虑到整体规划，要求。是A

34、B的中点，点 E在边BC上，点F在边AD上，且/ EOF=90 .(1)设/BOE=c,试将 OE用勺周长l表示成a的函数关系式，并求出此函数的定义 域；(2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用.18 /18【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法.【分析】(1)要将 OEF的周长l表示成a的函数关系式，需把 OEF的三边分别用含有 a的关系式来表不，而 OE,OF，分别可以在 RtAOBE RtOAF中求解，利用勾股定理可求 EF,从而可求.(2)要求铺路总费用最低，只要求 OEF的周长l的最小值即可.由(1)得i二纯

35、迪上m王马cosd Sina ' 8 ' 3 ' '一t2 - 1利用换兀，设sin a +cos a =t ,则sin a cos a =,从而转化为求函数在闭区间上的最小值.2(1) .在 RtBOE中,OB=25 /B=90° , Z BOE=c ,在 RtAOF中，OA=25 Z A=90° , Z AFO=4 ,25OF=sinCl又/ EOF=90 ,.，EF< =1=OE+OF+ef='»-cos CL sin Ct当点F在点D时，这时角 a最小，此时 a =3；I冗当点E在C点时，这时角 a最大，求得此时 a= a兀I兀故此函数的定义域为71，彳; 由题意知，要求铺路总费用最低，只要求OEF的周长l的最小值即可.H /、/日25(sina +cosa41) 兀 冗由(1)得，l=, & e , ,co