普通物理建模：1量纲分析

1、普通物理建模 1普通物理建模普通物理建模上机安排：星期二，星期四下午成绩评定:上机作业 20%期末考核 80% 普通物理建模 2& 参考书目参考书目 计算方法与实习计算方法与实习 袁慰平等袁慰平等 编编 ( (东南大学出版社东南大学出版社) )计算物理学，马文淦编著，计算物理学，马文淦编著， （科学出版社）（科学出版社）计算机模拟方法在物理学中的应用，高等教育出版社计算机模拟方法在物理学中的应用，高等教育出版社An Introduction to Computational PhysicsAn Introduction to Computational Physics ( (计算物理学

2、导论计算物理学导论), Tao Pang), Tao Pang，世界图书出版公司，世界图书出版公司普通物理建模 3实际问题实际问题物理建模物理建模数学建模数学建模计算机求解计算机求解普通物理建模 4国际单位制国际单位制(SI)的基本量的基本量 长度长度 L 米米 质量质量 m 千克千克 时间时间 t 秒秒 电流强度电流强度 I 安培安培 温度温度 开尔文开尔文 光强光强 J 坎德拉坎德拉 物质的量物质的量 摩尔摩尔其他所有物理量的单位都由这其他所有物理量的单位都由这7个基本量复合得到。个基本量复合得到。普通物理建模 5物物理理量量的的量量纲纲长度 l 的量纲记 l =L质量 m的量纲记 m =

3、M时间 t 的量纲记 t =T动力学中基本量纲 L, M, T速度 v 的量纲 v=LT-1导出量纲221rmmkf 加速度 a 的量纲 a=LT-2力 f 的量纲 f=LMT-2引力常数 k 的量纲 k对无量纲量，=1(=L0M0T0)=fl2m-2=L3M-1T-2量纲（量纲（Dimension）：）：表示一个物理量由基本量组成的情况。表示一个物理量由基本量组成的情况。普通物理建模 6量纲分析量纲分析：在量纲法则的原则下，分析和探求物理量之间关系。 量纲法则量纲法则：只有量纲相同的物理量才能相加、相减和相等，这叫作量纲法则，又被称为量纲的一致性、量纲的齐次性。无量纲化无量纲化：一种减少变量

4、数目，简化模型的方法。 量纲分析与无量纲化量纲分析与无量纲化普通物理建模 7量纲分析量纲分析假设：假设：1、不考虑空气阻力；、不考虑空气阻力；2、忽略地球自转对单摆运动的影响；、忽略地球自转对单摆运动的影响；3、摆线是刚体，在摆动中无形变；、摆线是刚体，在摆动中无形变；4、摆轴部分没有摩擦。、摆轴部分没有摩擦。例例:单摆运动单摆运动求摆动周期求摆动周期 t 的表达式的表达式lmgmlmglmgm普通物理建模 8量纲齐次原则量纲齐次原则等式两端的量纲一致量纲分析: 利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系例：单摆运动)1(321glmt 321glmtlmgm求摆动周期 t 的表达式设物理量 t,

5、m, l, g 之间有关系式1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量 2/ 12/ 10321glt(1)的量纲表达式glt2对比33212TLMT12003321普通物理建模 9对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )2121pppp为什么假设这种形式321glmt 设p= f(x,y,z),(),(),(),(222111222111czbyaxfczbyaxfzyxfzyxf将x,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍zyxzyxf),(p= f(x,y,z)的形式为),(),(22221111

6、czbyaxfpczbyaxfp普通物理建模 100002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy000241243TMLTMLyyyyy201001010100TMLgTMLlTMLmTMLt单摆运动中单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式的一般表达式0),(glmtf020041243yyyyy glt12)/(gltTTyyyyy) 1, 1, 0, 2(),(4321基本解 4321yyyyglmty1y4 为待定常数为待定常数, 为无量纲量为无量纲量0)( F普通物理建模 11mjXqniaijij, 2 , 1,1ys = (ys

7、1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm) =0 等价等价, F未定未定Pi定理定理 (Buckingham)设设 f(q1, q2, , qm) = 0是与量纲单位无关的物理定律，是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量纲是基本量纲, n m, q1, q2, , qm 的量纲可表为的量纲可表为,mnijaA量纲矩阵记作量纲矩阵记作rA rank若即线性齐次方程组即线性齐次方程组0Ay有有 m-r 个基本解，记作个基本解，记作mjyjssjq1为为m-r 个相互独立的无量纲量个相互

8、独立的无量纲量, 且且则则普通物理建模 12)()()()()()()(201002)(100100)(121311fsvlgTMLAg = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2量纲分析示例：量纲分析示例：波浪对航船的阻力航船阻力 fmjXqniaijij, 2 , 1,1航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水密度, 重力加速度g。mnijaAm=6, n=30),(fsvlg0),(21mqqqf与航船阻力有关的物理量：与航船阻力有关的物理量：普通物理建模 13TTTyyy) 1, 0, 0()0, 1, 0()0, 0,

9、 1(321flgslvl 1, 3, 1, 0, 2, 0, 0 , 2/1, 2/1Ay=0 有m-r=3个基本解rank A = 3rank A = rAy=0 有m-r个基本解ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-rmjyjssjq1m-r 个无量纲量0),(21mqqqf0),(fsvlg普通物理建模 14 F(1, 2 ,3 ) = 0与(g,l,v,s,f) = 0 等价flgslvl得到阻力 f 的显式表达式F=0),(213 未定mjyjssjq1F( 1, 2, m-r ) = 0 与 f (

10、q1, q2, , qm) =0 等价221213,),(lsglvglf普通物理建模 15量纲分析在物理模拟中的应用 例: 航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力gvlsf, 模型船的参数(均已知)211211112111311,),(lslgvglf可得原型船所受阻力已知模型船所受阻力221213,),(lsglvglf111111,gvlsf 原型船的参数(f1未知，其他已知)注意：二者的注意：二者的 相同相同普通物理建模 16llvv121)(211)(llss2211,31311llff311)(llff)(1 按一定尺寸比例造模型船，量测 f，可算出 f1 物理模拟1gg

11、 221213,),(lsglvglf211211112111311,),(lslgvglf【模型构成模型构成】普通物理建模 17量纲分析法的评注 物理量的选取 基本量纲的选取 基本解的构造 结果的局限性 () = 0中包括哪些物理量是至关重要的基本量纲个数n; 选哪些基本量纲有目的地构造 Ay=0 的基本解 方法的普适性函数F和无量纲量未定不需要特定的专业知识普通物理建模 18无量纲化无量纲化例：火箭发射2211)(rxmmkxm vxxrxgrx)0(, 0)0()(22 ),;(gvrtxx m1m2xrv0g研究火箭高度 x 随时间 t 的变化规律t=0 时 x=0, 火箭质量m1,

12、星球质量m2牛顿第二定律，万有引力定律牛顿第二定律，万有引力定律)0( xgx grkm22 星球表面竖直发射。初速v, 星球半径r, 表面重力加速度g【问题问题】普通物理建模 19用无量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数x=L, t=T, r=L, v=LT-1, g=LT-2变量 x,t 和独立参数 r,v,g 的量纲用参数r,v,g的组合,分别构造与x,t具有相同量纲的xc, tc （特征尺度）无量纲变量tx ,),;(gvrtxx 利用新变量, tx将被简化cctttxxx,令普通物理建模 20 xc, tc的不同构造vrtrxcc/,1）令cctttxxx,的不同

13、简化结果),;(gvrtxx xrvt dxdrvxxvt dxdvx 2222),;(gvrtxx );(txx 为无量纲量为无量纲量rvttrxx/,/vxxrxgrx)0(, 0)0()(22 1)0(, 0)0(,) 1(122xxrgvxx 普通物理建模 21gvtgvxcc/,/23）令),;(gvrtxx 1)0(, 0)0(,) 1(122xxrgvxx );(txx 为无量纲量为无量纲量),;(gvrtxx grtrxcc/,2）令rgvxxxx22,)0(0)0()1(1 );(txx 为无量纲量为无量纲量普通物理建模 221）2）3）的共同点只含只含1个参数个参数无量纲量

14、无量纲量 );(txx 解解rgv2考察无量纲量)/(80008 . 91063703smrgv1在1）2）3）中能否忽略以为因子的项？1)0(, 0)0(,) 1(122xxrgvxx 1)忽略项无解x不能忽略项1)0(, 0)0(, 0)1(12xxx普通物理建模 23tttx2)(21)0(, 0)0(, 1xxx 0)0(, 0)0(,) 1(12xxxx rgvxxxx22,)0(0)0()1(1 2)1)0(, 0)0(,) 1(122xxrgvxx 3)忽略项0)(tx不能忽略项忽略项0)(tx普通物理建模 24vxxgx)0(0)0( tttx2)(2gvtgvxcc/,/2cctttxxx,vtgttx221)(火箭发射过程中引力m1g不变 即 x+r rvxxrxgrx)0(, 0)0()(22 原问题可以忽略项vtgttx221)(是原问题的近似解普通物理建模 25为什么3)能忽略项，得到原问题近似解，而1) 2)不能?vrtrxcc/,1）令grtrxcc/,2）令gvtgvxcc/,/23）令火箭到达最高点时