公务员考试之数量关系

1、数量关系行政能力测验（概况）比较省时的题目：常识判断，类比推理，选词填空，片段阅读（细节判断除外）比较耗时的题目：图形推理，数字判断，资料分析（好找的，好计算的）第一种题型数字推理备考重点：A基础数列类型B五大基本题型（多级，多重，分数，幕次，递推）C基本运算速度（计算速度，数字敏感）数字敏感（无时间计算时主要看数字敏感）：a单数字发散b多数字联系对126进行数字敏感一一单数字发散1 ）单数字发散分为两种1，因子发散：判断是什么的倍数（126是7和9的倍数）64是8的平方，是4的立方，是2的6次，1024是2的10次2.相邻数发散：11 的 2 次+5，1215 的 3 次+1，1252 的

2、7 次-2，1282）.多数字联系分为两种：1共性联系（相同）1, 4, 9都是平方，都是个位数，写成某种相同形式32 / 37般是圈大数2递推联系（前一项变成后一项（圈 2）,前两项推出第三项（圈3） 注意：做此类题一一圈仨数法，数字推理原则：圈大不圈小【例】1、2、6、16、44、（）圈6 16 44三个数 得出44=前面两数和得2倍【例】287769988？51316九宫格（圈仨法）这道题是竖着圈（推仨数适用于全部三个数）一基础数列类型1 常数数列： 7，7 ，7 ， 72 等差数列 ：2，5，8， 11，14 等差数列的趋势： a 大数化 ： 123，456，789（333 为公差）

3、582、 554、526、498、470、（）b 正负化： 5,1,-33 等比数列 ：5，15，45，135，405（有 0 的不可能是等比 ）；4，6，9 快速判断和计算才是关键。等比数列的趋势：a数字非正整化（非正整的意思是不正或不整）负数或分数小数或无理数8、12、18、27、（）A.39 B.37 C.40.5 D.42.5b 数字正负化 （ 略）4 质数（只有 1 和它本身两个约数的数，叫质数）列 ：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97 b5E2RGb CAP 间接考察 ：25，

4、49，121，169，289，361（ 5，7，11，13，17，19 的平方） 41，43，47， 53，（ 59） 615 合数（除了 1 和它本身两个约数外，还有其它约数的数，叫合数）列： 4.6.8.9.10.12.14.15.16.18.20.21.22.24.25.26.27.28.30.32.33.34.35.36.38.39.40 .42.44.45.46.48.49.50.51.52.54.55.56.57.58.60.62.63.64.65.66.68.69.70.72.74.75.76.77.78. 80.81.82.84.85.86.87.88.90.91.92.93.

5、94.95.96.98.99.100p1EanqFDPw【注】 1既不是质数、也不是合数。6 循环数列： 1， 3，4，1，3， 47 对称数列： 1， 3，2，5，2， 3， 18简单递推数列【例 1】1、1、2、3、5、8、13【例 2】2、-1、1、0 1、1、2【例 3】15 11、4 7、-3、10 -13【例 4】3 -2、-6、12、-72、-864二.五大基本题型第一类多级数列1二级数列（做一次差）20、22、25、30、37、（A.39B.46C.48D.51注意：做差为2 35 7接下来注意是11,不是9,区分质数和奇数列102、96、108、84、132、(A.36B.6

6、4C.216D.228注意：一大一小（该明确选项是该大还是该小）该小，就减注意：括号在中间，先猜然后验：6、8、（）、27、44A.14B.15C.16D.17猜2，*，*仃为等差数列，中间隔了 10,公差为5,因此是2，7，12，17 验证答案15，发现是正确的。2三级数列（做两次差）一一（考查的概率很大）3做商数列1、1、 2、 6、 24、（）做商数列相对做差数列的特点：数字之间倍数关系比较明显趋势：倍数分数化（一定要注意）【例 6】675、225、90、45、30、30、（）A. 15B. 38 C. 60 D. 12430是括号的0.5倍，所以注意是604多重数列两种形态：1是交叉（

7、隔项），2是分组（一般是两两分组，相邻）2两个括号（充分）多重数列两个特征：1数列要长（8, 9交叉，10项）（必要）)A.19、【例 6】1、3、3、5、7、9、13、15、（）、（21B.19、23C.21、23D.27、30DXDiTa9E3d两个括号连续，就做交叉数字没特点，八成是做差：1，3, 7，13【例 7】1、4、3、5、2、6、4、7、（）A.1B.2C.3D.4多重数列的核心提示：1. 分组数列基本上都是两两分组，因此项数（包括未知项）通常都是偶数。2. 分组后统一在各组进行形式一致 的简单加减乘除运算，得到一个非常简单的数列。3奇偶隔项数列若只有奇数项规律明显，那偶数项可

8、能依赖于奇数项的规律，反之亦然 例：1、4、3、5、2、6、4、7、（）A.1B.2C.3D.4偶数项很明显，4, 5, 6, 7奇数项围绕偶数项形成了一个规律，即交叉的和等于偶数项。5分数数列A多数分数：分数数列B少数分数一一负幕次（只有几分之一的情况，写成负一次）和除法（等比）"、r|79、6、一 > _ 24.()这里有个猜题技巧（多数原则）：选项中出现频率最多 的那个数，八成是正确选项分数数列的基本处理方式：处理方式1。首先观察特征（往往是分子分母交叉相关）宁 719",D+ 32*1219 几B. C.3950处理方式2:其次分组看待（独立看几个分数的分子和

9、分母的规律，分子看分子，分母看分母）L划1J予、1219-1护1*7A.B C.D*49395022例：分析多种方法【例M竺1199149*-J 1*51392b28212831*A.b.C.121491具1 猜题：28出现了两次，猜A和C得概率大，选A2观察特征：分子和分母的尾数相加为 10,因此选A3. 133和119是7的倍数，可以约分为7/3,所以大胆猜测选A，也是7/3。4. （分组看待）：不能看出特点，做差，分子做差例：看下一题的方法V5-14此题：化同原则（形式化为相同）整化分（把一个整式化为一个分式，相同的形式对比）把第二项的分母有理化为其他两项相同的形式。RTCrpUDGiT

10、处理方式3： 广义通分通分（如果有多个分数，把分母变成一样就是通分）广义通分一一将分子或分母化为简单相同（前提是能通分） 处理方式4:反约分（国考重点，出题概率很大）观察分子或分母一侧，上下同时扩大，然后满足变化规律。 6幕次数列A普通幕次数列平方数（1 30）13八2=16914八2=19615八2=22516八2=256仃八2=28918八2=324佃八2=36120八2=40021八2=44122八2=48423八2=52924八2=57625八2=62526八2=67627八2=729 28八2=78429八2=84130八2=9005PCzVD7HxA可以写成多种写法常用和1 鮒学（

11、1前码邮孔n 田（N却2. 数字1的变换I 10 3. 特殊数字变换】16=2*=4人64=2“=4弓=乎,呂1 =扌=乳256= 2O = 4= 16； *512=29=83j729=93=273=35i1024=210=43=322?衣4. 个位璀次数字；4=4i； S=f=SL； 5=32=9心B幕次修正数列（括号的相邻数的发散）哪个幕次的写法是唯一的就先考虑哪个7递推数列单数推，双数推，三数推（数列越来越长）递推数列有六种形态：和差积商倍方如何辨别形态？从大的数和选项入手，看大趋势：注意：大趋势指的是不要拘泥于细节，看整体是递增或递减即可 1递减一一做差和商2递增一一缓（和），最快（方

12、），较快（先看积，再看倍数） 数字推理逻辑思维总结：圆圈里有奇数个奇数，则考虑乘法或除法圆圈中有偶数个奇数，则考虑加减入手中心数看能否分解（如果能，则加减，再乘除，如果不能，则先乘除，后加减来修正）九宫图 1等差等比型每横排每竖排都成等差和等比数列（包括对角线）2分组计算型每横排和每竖排的和与积成某种简单规律（包括对角线）3递推运算型（看最大的那个数，是由其他两位递推而来）最后，行测、申论复习与考试过程中， 阅读量都非常的大， 如果不会提高效率， 一切白搭。 首先要学会快速阅读， 一般人每分钟才看 200 字左右，我们要学会一眼尽量多看几个字， 甚至 是以行来计算，把我们的速读提高，然后再提高

13、阅读量，这是申论的基础。 行测的各种试 题都是考察学生的思维， 大家平时还要多刻意的训练自己的思维。学会快速阅读，不仅在复习 过程中效率倍增，在考试过程中更能够节省大量的时间，提高效率，而且，在我们一眼多看几 个字的时候， 还能够高度的集中我们的思维， 大大的利于归纳总结， 学会后，更有利于行测 的复习、考试，特别是在学习速读的同事，还能够学习思维导图，对于行测的各种试题都 能得心应手的应付。本人当年有幸学习了快速阅读，至今阅读速度已经超过5000 字/分钟，学习效率自然不用说了。 我读大学的成绩是很差，考公务员的时候我妈说我只是碰运气，结果最 后成绩出来了居然考了岗位第二， 对自己的成绩非常

14、满意，速读记忆是我成功最大的功劳。找 了半天，终于给大家找到了下载的地址，怕有的童鞋麻烦，这里直接给做了个超链接，先按住 键盘最左下角的“ ctrl ”按键不要放开，然后鼠标点击此行文字就可以下载了。认真练习，马 上就能够看到效果了！此段是纯粹个人经验分享， 可能在多个地方看见， 大家读过的就不用再 读了，只是希望能和更多的童鞋分享。 jLBHrnAILg第二种题型 数学运算第一模块 代入排除法从题型来看：1固定题型：例 1是同余问题的一部分（并非所有的同余都可以） 2多位数题型：例 23不定方程问题（无法算出x和y,只能列出他们的关系）或者无法迅速列出方程的问题。 从题本样子来说：从题干到选

15、项很麻烦,从选项到题干比较容易注：如果是要求最大或最小，从选项的最大数或最小数开始代入，其余从A开始代入看下面题目：【例5兗粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛的长度是粗蜡烛长度时2倍, 点完细蜡烛需要1小时，点完粗蜡烛需要2小时口有一伙停电，将这 阵两支蜡烛同时点燃，来电时，发现两支蜡烛所剩长度一样*则此次 亭电共停了多少分钟？心A 10分轴分钟 C 40分钟D. 60分钟亠【例61甲班2乙脏同学伺时从学校出发去某公园，甲班步行的速度匚是每小时4千米，乙班步行的遠度是每小时3千米，学校有一辆汽车， 艳千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生.为了使这两班学生在最短的时间內到达，那么, 甲班学生与乙班学生需要

16、歩行的距离之比是（第一题选C,因为A,B没有燃烧到一半,C却燃烧了全部。第一题设置选项相差有点远，因此扎 15:11 B. 17:22 C. 19:24肉眼可以看出 第二题选A,因为甲班走的一定比乙班走的多，所以选 A,答案设置时与他们的倍数和比例有关，无需计算，可以用他们的大小关系来判定XHAQX74J0X注意一个公式：48是4的12倍，是3的16倍，然后他们距离的比例是16-1比12-1=15 : 11【例81某泱测验有50道判断题，石做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生 共得视分，问答对题数和答错题数（包括不敝）相差多少？"A 33B.39C.17D IE奇偶特性：不

17、管是加还是减，两个相同的结果的就是偶数，不同的结果就是奇数。两个相乘的，只要有一个偶数就是偶数。LDAYtRyKfEX+y=偶数，x-y也只能是个偶数。答案选 D所有的猜题都基于：出题心理学怎么猜：多数原则选项多次出现的往往是正确的军棋理论一一三个错误的选项的目的是保护正确答案。（3： 4： 5和3： 5： 4）相关原则一一出题的干扰选项往往有1到2个东西与正确答案和原文有相关度。（选项相关: 28.4和128.4，再如一道题目如果出的是 求差，往往是某一选项减去另一个选项，换言之搞清 楚每个选项是怎么来的，选项与选项的关系，选项与原文的关系，从而快速猜题）Zzz6ZB2Ltk例：已知甲乙苹果

18、的比例是7： 4,隐含的意思是甲是7的倍数，乙是4的倍数。差是3的倍 数，和是11的倍数。dvzfvkwMI1原则：如果甲：乙=m:n,说明甲是m的倍数，乙是n的倍数，甲+乙是m+N的倍数，甲- 乙是m-n的倍数rqyn14ZNXI注意：甲是和乙比较还是和全部的和比较题目一般是是已知比例，求和 例：甲区人口是全城的 4/13 ，说明全城人口是 13 的倍数。判断倍数（很重要）：一个数是2的倍数，尾数是2，4，6，8，0，即偶数一个数是 4 的倍数，看末两位能被 4 整除一个数是5的倍数，看尾数是 5或0 一个数是6的倍数，既是3的倍数，又是2的倍数。一个数是 8 的倍数，看末三位。一个数是3的

19、倍数，去3，每一位都加起来，能被 3整除一个数是 7 的倍数： 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 2 倍，如果 差是 7 的倍数，则原数能被 7 整除。如果差太大或心算不易看出是否 7的倍数，就需要继续上 述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断 133是否 7的倍数 的过程如下：13- 32 = 7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下： 613 9>2 = 595 , 59-5X2= 49,所以 6139是 7 的倍数，余类推。Emxvxotoc。一个数是9的倍数， （去9）每一位加起来，能被 9整除 一个数除以一

20、个数的余数,就看其对应的末几位除以这个数的余数即可 例如：两个数的差是 2345,两数相除的商是 8,求这两个数之和？A.2353B.2896C.3015D.3456两个数的差是奇数,那么和也是奇数,商是8,说明和是 9的倍数。答案就出来了。第二模块 计算问题模块第一节 尾数法计算类型的题目,选项的尾数不同,就用尾数法过程中的最后一位算出结果的最后一位 传统尾数法 过程的最后两位算出结果的最后两位 二位尾数法1994X2002-1993 X2003 的值是（）A.9B.19C.29D.3988-79=9除法尾数法：2000001除以7,我们直接转化为乘法尾数法，用选项的末尾数乘以7,看是否符合

21、。第二节整体消去法在计算过程中出现复杂的数，并且数字两两很接近1994 >2002-1993 2003 的值是（）A.9B.19C.29D.39弃9法（非常重要）把过程中的每一个9 （包括位数之和为9或9的倍数18, 27等）都舍去，然后位数相加代替 原数计算（答案也要弃9） SixE2yXPq5上题可以解为：5*4-4*5，答案去9,剩0的是A看例：8724*3967-5241*13818+4=12=3 3967=7 5241=2=1=3 1381=1=3=4注：弃9法只适用于加减乘，除法最好不用。题目：（873 >477-198） （ 476 >874+199）的值是多少

22、？A.1B.2C.3D.4方法1,估算法，看题值只有一倍的可能。方法2,尾数相除，得出1方法3:整体相消法第三节估算法一一选项差别很大的用估算法第四节裂项相加法裂项相消法111_ 、1x2 2x3 3x42004x'2005这题等于（1分之1-2005分之1）乘以（1/1 ）11111 11li 厂 1 1卩r 1卜6399 143195【命弓拆成裂项的形式，3=1*3, 255=15*17 （发散思维，先想到256=16*16）第五节乘方尾数问题19991998的末位数字是（）归纳（重要）：1.4个数的尾数是不变的：0，6，5，12. 除上面之外，底数留个位，指数末两位除以4留余数（

23、余数为0,则看做4）此方法：不用记尾数循环。第三模块初等数学模块第一节 多位数问题（包括小数位）如果问一个多位数是多少，一律采用直接代入法多位数问题的一些基础知识：拿握多位敖冋题首先要罪握多位魏的基卒概1位数2从心到4却*9个户：2位数卫从朴至卜ft-9Q个心3位数心LOW至2999900 个 44位数心1000-1到Q_-'-a-n999彌L共幻90。讦*化归思想（从简单推出复杂，已知推出未知）一一以此类推推出5位数9加上4个0=90000，10位数是9加上9个0页码（多少页）冋题例题：编一本书的书页，用了 270个数字（重复的也算，如页码115用了 2个1和1个56ewMyirQF

24、L 共3个数字），问这本书一共有多少页？（）A. 117 B.126 C.127 D. 189记住公式:数字"100-999 I5Q书抄贝埸2甄字问题；血吗=亠=+彳却3*j第二节余数问题分两类：1余数问题（一个数除以几，商几，余几）基本公式：被除数宁除数=商余数（OW余数v除数一定要分清“除以”和“除”的差别：哪个是被除数是不同的如果被除数比除数小，比如12除5,就是5除以12,那商是0,余数是5 （他自己）【例1】一个两位数除以一个一位数，商仍然是两位数，余数是&问被除数、除数、商以及余数之和是多少？A. 98 B. 107 C. 114 D. 125除数比余数要大，因此

25、除数只能是一位数9,商是两位数，只能是10例：有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400,并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6, A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是？A. 216B. 108C. 314D. 348注：商5余5,说明是5的倍数2同余问题（一个数除以几，余几）一堆苹果，5个5个的分剩余3个；7个7个的分剩余2个。问这堆苹果的个数最 少为（）kavU42VRUsA.31B.10C.23D.41没有商，可以采用直接代入的方法。最少是多少，从小的数代起，如果是最大数，从大的数代起注：同余问题的核心口诀（应先采用代入法）：公倍数（除数的公倍数）做周期（分三种）：余同

26、取余，和同加和，差同减差1余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同此时该数可以选这个 相同的余数，余同取余例：“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”，则取1,表示为60n+1 （60是最 小公倍数，因此要乘以n） y6v3ALoS892和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的 余数和除数的和相同此时该数可以选这个 相同的和数，和同加和例：“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1”，则取7,表示为60n+73差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的 余数和除数的差相同此时该数可以选除数的最小公倍数减去这个相同的差数，差同减差例：“一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3”，

27、则取-3,表示为60n-3选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即例中的60n）都满足条件*同余问题可能涉及到的题型：在 100以内，可能满足这样的条件有几个？6n+1就可以派上用场。 特殊情况：既不是余同，也不是和同，也不是差同一个三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3,这样的三位数共有多少个？A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个这样的题目方法1用周期来做，公倍数是180,根据周期，每180会有一个数，三位数总共有900个答案是5个。M2ub6vSTnP方法2每两个两个考虑，到底是不是余同，和同，差同。第三节 星期日期问题熟记常识：一年有52个星期，一年有4个季节，一个季

28、节有13个星期。一副扑克牌有52张牌，一副扑克牌有4种花色，一种花色13张。（平年）365天不是纯粹的52个星期，是52个星期多1天。（闰年）被4整除的都是闰年，366天，多了 2月29日，是52个星期多2天。4年一闰（用于相差年份较长），如下题： 如果2015年的8月21日是星期五，那么2075年的8月25日是星期几？ 涉及到月份：大月与小月卄数斤大月 7个包括月一.三.五.七.八.十、腊（十二）小月5个、 、丄L、/ V丨、ZjI-I 1 /一、四、六、九、月31天30天（2月除夕卜）例：甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔 5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17 天去一次，丁每隔

29、29天去一次，如果5月18日四人在图书馆相遇，则下一次四 个人相遇是几月几号?OYujCfmUCwA. 10月18日B. 10 月 14 日 C. 11 月 18 日 D. 11 月 14 日 eUts8ZQVRd隔的概念（隔1天即每2天）：隔5天即每6天隔11天即每12天隔17天即每18天隔29天即每30天接着，算他们的最小公倍数，怎么算最小公倍数呢？除以最小公约数6,得到1，2，3，5,再将6*1*2*3*5即他们的最小公倍数180。 因此，180天以后是11月14，答案是D例：一个月有4个星期四，5个星期五，这个月的15号是星期几？题眼：星期四和星期五是连着的，所以，这个月的第一天是星期

30、五，15号是星期五第四模块比例问题模块第一节 设“ 1”思想（是计算方法，不是解题方法）概念：未知的一个总量，但它是几并不影响结果，可用设1思想，设1思想是广义的“设1法”可以设为1, 2, 3等（设为一个比较好算的）。【例！李床在一次村賽会逸举中，2/314*才能芳选密蜕计宅3/5的选累吋，他毎到的岳更己达列当迟票敦的3/4.他还舊要再到剌T遶票的儿分之几才能全部都是分数和比例，所以可以用设 1思想，设总选票为60更加好算，60是几个分母的最小公倍数商店购进甲、乙、丙三种不同的糖，所用费用相等，已知甲、乙、丙三种糖每千克的费用分别为4.4元、6元和6.6元。如果把这三种糖混在一起成为什锦糖，

31、那么这种什锦糖每 千克的成本是多少元？ sQsAEJkW5T看到4.4，6，6.6我们想到的应该是甲乙丙费用相等都为66,然后就出来了 第二节 工程问题（设 1 思想的运用）一条隧道，甲单独挖要 20 天完成，乙单独挖要 10 天完成，如果甲先挖 1 天，然后 乙接甲挖 1天，再由甲接乙挖1天，两人如此交替，共用多少天挖完？ （）GMslasNXkAA. 14 B. 16 C. 15 D. 13设总量为 20*10=200，然后用手指掰着算。设为最小公倍数一篇文章，现有甲乙丙三人，如果由甲乙两人合作翻译，需要 10 小时完成，如果 由乙丙两 人合作翻译，需要 12 小时完成。现在先由甲丙两人合

32、作翻译 4 小时，剩下的再由 乙单独去 翻译，需要 12 小时才能完成，则，这篇文章如果全部由乙单独翻译，要多少个小 时完成？ TIrRGchYzgA.15B.18C.20D.25设总量为 60甲 +乙 =6乙 +丙 =5（甲 +丙） 4+12 乙 =60 根据选项是算乙，因此要更加关心乙的地位，要化为乙的算式。 第三节 浓度问题浓度=浓质/ 浓液 浓液=浓质+浓剂 甲杯中有浓度为17的溶液400克，乙杯中有浓度为23的溶液 600克。现在从甲、 乙两杯中 取出相同总量的溶液 ，把从甲杯中取出的 倒入乙杯 中，把从乙杯中取出的 倒入甲杯 中，使甲、 乙两杯溶液的 浓度相同 。问现在两杯溶液的

33、浓度是多少（ ） 7EqZcWLZNXA.20B.20.6C.21.2D.21.4B。由于混合后浓度相同，那么现在的浓度等于（总的溶质）宁（总的溶液），即：（400Xl7%+600+23%） -（400+600） X1OO%= 20.6%。izq7iGfO2E注意：答案不可能是 A ，看起来很简单的答案往往不是答案 （公务员考试是复杂的） 。 如，一个人从一楼爬到三楼，花了 6分钟，那从 1 楼到 30楼，需要几分钟？ 解：不要定向思维选 60， 1 楼到 3楼爬了 2层，每层 3 分钟， 1 楼到 30楼，爬了 29层， 29*3=87， 答案是 87zvpgeqJ1hk例：在20 C时10

34、0克水中最多能溶解36克食盐。从中取出食盐水50克，取出的溶液的浓度是多少？A.36.0%B.18.0%C.26.5%D.72.0%最多能溶解，即溶解度，此时浓度为 36/100+36=C注：最多能溶解=无论再往里面加多少克食盐，因为无法溶解，浓度都不变。例：一种溶液，蒸发一定水后，浓度为10%;再蒸发同样的水，浓度为12%;第三次蒸发同样多的水后，浓度变为多少？（）A. 14%B. 17%C. 16% D. 15%解：10% 12%溶质不变，溶液改变，因此将分子设为最小公倍数60,分母为600到500,蒸发了 100分水，因此，第三次的水是 400,溶质不变，所以是DNrpoJac3v1熟记

35、这些数字：10% 12% 15% 20% 30% 60% （蒸发或增加了同样的水）第五模块行程问题模块第一节往返平均速度问题往返平均速度问题v.-2v,v?V =数学上的平均数有两种：一种是算术平均数 M=（X1+X2+.+Xn）/n即（v1+v2） /2一种是调和平均数（调和平均数是各个变量值（标志值）倒数的算术平均数的倒数）恒小于算术平均数。通过往返平均数速度公式的验算，当 v1=10,v2=15,v平均=12；当v1=12,v2=15,v平均=20,当 V1=15,V2=30,V 平均=20，1nowfTG4KI熟记这个数字：10，12，15，20，30, 60 （对应前文溶液蒸发水的那

36、部分）应用：v1=20（ 10*2）,v2=30（ 15*2）,v 平均=12*2=24, v仁40,v2=60,v 平均=48jnFLDa5Zo发现一个特点：v平均数都是更靠近那个小的数，且 可以分成两个1： 2的部分。第二节相遇追及、流水行船问题相遇问题 （描述上是 相向而行 ）：v =v1+v2 相背而行 （描述商是 相反而行 ） ： v=v1+v2 追及问题（ 描述上 是追上了） ： v=v1（ 追的那个速度快 ）-v2（ 被追的速度慢 ） 队伍行进问题 1（从队尾到队头 ）实质上是 追及问题： v=v1（ 追的那个速度快 ）-v2（ 被追的速度 慢）队伍行进问题 2（从队头到队尾 ）

37、实质上是 相遇问题： v=v1+v2 流水行船问题（分三类）：水，风，电梯（顺，取和，逆，取差） 但是，顺着人和队伍走 =赶上某人或队伍 =追及问题 v=v1-v2 因此，顺加逆减有原则：水，风，电梯都是带着人走。例：姐弟俩出游， 弟弟先走一步， 每分钟走 40 米，走 80 米后姐姐去追他。 姐姐每分钟走 60 米， 姐姐带的小狗每分钟跑 150 米 。小狗追上弟弟又转去找姐姐，碰上姐姐又转去追弟弟，这样 跑来跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来。 问小狗共跑了多少米 ?tfnNhnE6e5A.600 B.800 C.1200 D.1600 解：姐姐和弟弟 的速度差 20，80 除以 20=4分钟

38、（姐姐要追上弟弟，需要的时间 ） 因此， 小狗的路程 =4分钟乘以速度 150=600（关键在于抓住不变的值） 补充一题：青蛙跳井（陷阱）一只青蛙往上跳，一个井高 10米，它每天 跳 4米，又掉下来 3 米，问跳几天就到井口？ 一定要思考 ：当只剩下 4米的时候，一跳就跳出去了，因此是第 6天跳到 6 米，第 7 天就跳到 井口了 例： 红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分钟步行 60 米，队尾的王老师以每分钟 步行 150 米的速度 赶到排头 ，然后立即 返回队尾 ，共用 10 分钟。求队伍的长度？ HbmVN777sL A.630 米 B.750 米 C.900 米 D.1500 米 设

39、长度为 SS/90+S/210=10不用算，S肯定被90和210整除，答案是A630第三节漂流瓶问题T1是船逆流的时间，t2是船顺流的时间，所以t1>t2例已知：A、B是河边的两个口岸。甲船由A到B上行需要10小时，下行由B到A需要5小时。若乙船由A到B上行需要15小时，则下行由B到A需要（）小时<A.4B.5C.6D.7注意：甲船和乙船的对应 漂流瓶的速度是相等的（同一条河流上）因此 t=2*10*5/（10-5）t=（2*15*t2）/（15-t2）第五模块 几何问题模块（重点）第一节几何公式法 1周长公式：正方形=4a长方形=2 （a+b），圆=2 n R （R是半径）2面积

40、公式：掌握两个特殊的一一S圆=n R2，S扇形=n度数/360* n R23常见角度公式：三角形内角和180° N边形内角和为（N-2）X 180°4常用表面积公式：正方体的表面积=6a2;长方体的表面积=2ab+2bc+2ac球体的表面积=4n R2圆柱体的底面积=2n R2;圆柱体的侧面积=2 n Rh;圆柱体的表面积=2 n R2+2 n Rh 5常用体积公式：正方体的体积=a*a*a;长方体的体积=abc球的体积=4/3 n R3圆柱体的体积=n R2 h圆锥体的体积=1/3 n R2h【例11假设地球是一个正球形，它的赤道长4万千米。现在用一根比赤道长10米的绳子

41、围绕赤道一周，假设在各处绳子离地面的距离都是相同的，请问绳子距离地面大约有多高？（）V7l4jRB8HsA.1.6 毫米B.3.2 毫米 C.1.6 米D.3.2 米解析赤道长：2n R =4万千米；绳长：2n （R+h） =4万千米+10米；两式相减：2n h=10米h= （10/2n） 1.6米，选择 C【例91甲、乙两个容器均有50厘米深，底面积之比为5 : 4,甲容器水深9厘米，乙容器水深5厘米,再往两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这时两容器的水深是多少厘 米？（）83ICPA59W9A.20厘米B.25厘米C.30厘米D.35厘米解：同样多的水，意味着体积相同，底面积 =5:

42、 4,那么体积相同，所以，设这时水深为 X，那么，（X-9 ） ：（ X-5） =4：5mZkklkzaaP第二节割补平移法没有公式的“不规则图形”，我们必须使用“割”、“补”、“平移”等手段将其转化为规则图形的问题第三节几何特性法等比例放缩特性 一个几何图形其尺度（各边长或长宽高） 变为原来的m倍，则: 1对应角度不发生改变2对应长度变为原来的m倍3对应面积变为原来的m2倍4对应体积变为原来的m3倍几何最值理论1平面图形中，若周长一定，越接近于圆（正方形），面积越大；2. 平面图形中，若面积一定，越接近于圆（正方形），周长越小；3. 立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大；4. 立体

43、图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小。【例 2】一个油漆匠漆一间房间的墙壁，需要3 天时间。如果用同等速度漆一间长、宽、高都比原来大一倍的房间的墙壁，那么需要多少天？（ ）A.3 B.12 C.24 D.30答案 B解析边长增大到原来的2倍，对应面积增加到4倍，因此共需3>4=12天。【例 5 】要建造一个容积为 8 立方米，深为 2 米的长方体无盖水池，如果池底和 池壁的造价分别为每平方米 120 元和 80 元，那么水池的最低造价为多少元 ?（ ）A.800 B.1120 C.1760 D.2240答案 C解析该水池的底面积为8 - 2=4平方米，设底面周长为C 米，贝该无盖

44、水池造价=2C> 80+4>120=160C+480（元），因此，为了使总造价最低，应该使底面周长尽可能短。由 几何最值理论，当底面为正方形时，底面周长最短，此时底面边长为2 米，底面周长为 8 AVktR43bpw米。水池的最低造价 =160> 8+480=1760（元）第七模块 计数问题模块（统计数量问题）第一节 排列组合问题核心概念:1. 加法和乘法原理加法原理 :分类用加法（取其一）分类:翻译成“要么，要么”乘法原理 :分步用乘法（全部取）分步:翻译成“先，后，再”例:教室里有1 5个同学，其中有1 0个男生， 5个女生。 选其中一个 擦黑板，就是取其一。（10+5）

45、教室里有15个同学，其中有 10个男生， 5个女生，选其中 一男一女交际舞 ，全部取 （10*5）2排列和组合问题 排列（和顺序有关）： 换顺序变成另一种情况的就是排列A的公式：假设从m中取N,那A=M*（ m-1）连乘N个。组合（和顺序无关）： 换顺序还是原来的情况那种就是组合C的公式：假设从 M中取 N,那 C=m*（m-1）*（m-2）/n*（n-1）*（n-2），分子，分母都连乘n个ORjBnOwcEd【例 5】林辉在自助餐店就餐, 他准备挑选三种肉类中的一种肉类, 四种蔬菜中的二种不同 蔬 菜,以及四种点心中的一种点心。 若不考虑食物的挑选次序, 则他可以有多少种不同的选 择 方法

46、?2MiJTy0dTTA.4B.24C.72D.144解：不考虑食物的次序，所以用C,然后肉类，蔬菜，点心是属于分步问题（全取）， 所以用乘法原理。【例6】一张节目表上原有 3 个节目，如果保持这三个节目的相对 顺序不变，再添加 2 个新 节目，有多少种安排方法 ?（ ）A. 20 B. 12 C. 6 D. 4 解：顺序不变不等于捆绑 , 捆绑是只用于挨着的情况。此题用插空法。方法1：分类计算思想一一当新节目为XY要么X，Y在一起的情况和 要么x，y不在 一起的情况。捆绑法的前提：捆绑的对象必须在一起（相邻问题）3个人捆起来，A33 （也需要安排顺序）一一捆绑法先用的 插空法的前提：插空的对

47、象不允许在一起（相隔问题） 3个人插空是后插他们，先安排别的元素插空法是后用的方法2:分步计算思想，先插X,再插丫（很重要的思想）3. 错位排列问题（顺序全错）问题表述：有 N 封信和 N 个信封，则每封信都不装在自己的信封里，可能的方法的种数计作 Dn ，核心要求 ：大家只要把 前六个数背下来 即可： 0、1、2、9、44、265。（分别对应 n=1，2，3， 4，5，6）gIiSpiue7A例：甲、乙、丙、丁四个人站成一排，已知：甲不站在第一位，乙不站在第二位，丙不 站在第三位，丁不站在第四位，则所有可能的站法数为多少种？A.6 B.12 C.9 D.24【例 9 】五个瓶子都贴了标签，

48、其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？A.6 B.10 C.12 D.20解：C53*2 （三个瓶子贴三个标签恰好贴错为 2） =20引申：5个瓶子恰好贴对了 2个=恰好贴错了 3个5个瓶子恰好贴错了 4个，答案是 0，因为这是不可能的。第二节 比赛计数问题比赛分类 ：循环赛，淘汰赛1循环赛：单循环 （任何两个人都要打一场）： Cn2双循环 （任何两个人打两场 , 分为主场和客场） 2*Cn2 注：在没提示单和双的情况下，是单循环。2 淘汰赛（输一场就走人）决出冠亚军：n个人要打（n-1 ）场，因为要淘汰（n-1 ）个人决出冠亚，第三和第四名：n个人要打n场，冠军和亚军干掉的两个人加一

49、场，所以是n场。【例 2】100 名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛，要产生男、女冠军各一名，则 要安排单 打赛多少场？A.90B.95C.98D.99要淘汰 98个人，所以 98场。例题：某足球赛决赛，共有 24 个队参加，它们先分成 六个小组 进行循环赛，决出16 强， 这 16 个队按照确定的程序进行淘汰赛， 最后决出 冠、亚军和第三、四名。总共需要安排多 uEh0U1Yfmh少场比赛？（ ）A.48 B.51 C.52 D.54解： 循环赛没有提示就看成单循环赛， C42*6+16=52 此题容易想歪 ：不同的组没有胜负关系。第三节 容斥原理核心公式：（ 1）两个集合的容斥关系公式：A+

50、 B= AU B+ AH B核心文字公式：满足条件 1的个数 +条件2的个数-两者都满足的个数 =总-两者都 不熟悉： 1+2-都=总-都不（出题出现都，都不）例：【例 1】现有 50 名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有 40 人，化学实验做正 确的有 31 人，两种实验都做错的有 4 人，则两种实验都做对的有多少人？ IAg9qLsgBXA.27 人B.25 人 C.19 人 D.10 人直接代入公式。【例 6】一名外国游客到北京旅游，他要么上午出去游玩，下午在旅馆休息，要么上午休息， 下 午出去游玩，而下雨天他只能一天 都呆在屋里。 期间，不下雨的天数是 12 天，他上午呆

51、在旅馆 的天数为 8 天，下午呆在旅馆的天数为 12 天，他在北京共呆了多少天？ WwghWvVhPEA.16 天B.20 天 C.22 天 D.24 天上呆+下呆-上下都呆=总数-上下都不呆设总共呆的为X，然后就得出16【例 7】对某单位的 100 名员工进行调查， 结果发现他们喜欢看球赛和电影、 戏剧。其中 58 人 喜欢看球赛， 38 人喜欢看戏剧， 52 人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有 18 人，既 喜欢看电影又喜欢看戏剧的有 16 人，三种都喜欢看的有 12 人，则只喜欢看电影 的有 多少人？ asfpsfpi4kA.22 人 B.28 人 C.30 人 D.36 人解析

52、：只喜欢看电影 =就是既不喜欢看球赛也不喜欢看戏剧 =即球赛和戏剧都不喜欢（可以用核心公式）球+戏-都喜欢=总-都不喜欢 58+38-18=100-x x=22 （总数是不变的，不分几个集合）注意：行测考试有可能存在多余条件，可以忽视。（2）三个集合的容斥关系公式：A+ B+ C= AU BU C+ AH B+ BA C+ CP A AH BA C核心提示：一、画圈图;、标数字（从里往外标） 三、做计算【例8】某工作组有12名外国人，其中6人会说英语，5人会说法语，5人会说西班牙语; 有3人既会说英语又会说法语，有2人既会说法语又会说西班牙语，有2人既会说又会说英语；有1人这三种语言都会说。则

53、只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多 多少人？（）ooeyYZTjjlA.1人B.2人C.3人D.5人提示：标数字要从里面共有的圈圈往外标（便于计算），往往出题是从外往里出只会法语就直接标在法语独立的那部分，会法语的不等同于只会法语的。第四节抽屉原理最常用方法：最不利原则（运气最背原则）一一构造最不利的情况，完成答题。题干都有“保证。”保证后面的内容就是最不利的对象。例：有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一只袋子里，为了保证摸出的珠子有两粒颜色相同，应至少摸出几粒？ （）BkeGulnkxlA.3 B.4 C.5 D.6解：最不利的情况就是“总是摸出颜色不相同的球”，那就是摸四次都是红黄

54、蓝白，第五次才能摸到相同的。答案选5PgdO0sRIMo【例2】在一个口袋里有10个黑球，6个白球，4个红球，至少取出几个球才能保证其中有白球？A.14B.15C.17D.18解：最不利情况就是每次都是黑球和红球，所以15次【例 4 】从一副完整的扑克牌中，至少抽出多少张牌，才能 保证至少 6 张牌的花 色相同 ？A.21 B.22 C.23 D.24解：一副牌有 4种花色，每种花色有 13张，两张大小王。 最不利的情况是每种花色都只取了 5张，共 5*4=20张，然后大小王各一张，共 2张， 是22张。第五节 植树问题基本知识点：1. 单边线型植树公式：棵数=总长*间隔+1 ；总长=（棵数-1 ）X间隔（不封闭）例： 一条大街 种树，每多少米种一颗2. 单边环型植树公式：棵数=总长*间隔；总长二棵数x间隔（封闭）例： 三角形，且三个角处必须种树，不种树就变成是单边楼间问题。3. 单边楼间植树公式：棵数=总长*间隔-1 ;总长=（棵数+1）x间隔例： 两座塔或两座楼为一个单边，每隔多少种树【例 5 】把一根钢管 锯成 5 段需要 8 分钟，如果把同样的钢管锯成 20 段需要多 少分钟（ ? ）A