经济学D单调性与极值最值PPT课件

1、反之, 能否用导数的符号来判断函数的单调性呢?可见函数的单调性与导数的符号有关.第1页/共45页一、一、 函数单调性的判定函数单调性的判定法法若定理定理 1. 设函数)(xf0)( xf则 在 I 内单调递增)(xf, )0)( xf(递减) .证证: 无妨设,0)(Ixxf任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxI0故. )()(21xfxf这说明 在 I 内单调递增.)(xf在开区间 I 内可导,证毕第2页/共45页例如例如( )xf xe ( )0, (,)xf xex ( )xf xe 又又如如：( )0, (,)xf xex 1

2、 1、定理、定理1 1的结论对无穷区间也成立的结论对无穷区间也成立. .说明：说明： (,)xe 在在 (,)xe 在在第3页/共45页oxy3yx 2、如果函数的导数仅在个别点处（甚至无数个点，只要它们不构成一个区间）为 0, 而在其余的点处均满足定理1, 则定理1仍成立。 如：3( )yf xx sinyxx又如：2( )30(0)0)fxxf3 (,) yx 但但在在1 cos0yx 20,(0, 1, 2,.)xnyn sin yxxR但但在在第4页/共45页3、有些函数在它的定义区间上不是单调的。如：2( )0 , 0,)( )20 ,(,0) yf xxxfxxx 但它在部分区间上

3、单调, 那么怎么来求它的单调区间呢?ox2yxy4、函数y=|x|, x = 0为其连续不可导点。但它在部分区间上单调。那么，又怎么来求它的单调区间呢?oxyy=|x|第5页/共45页的点的点( (单调区间分界点单调区间分界点) )来划分函数的定义区间来划分函数的定义区间, , 就能保证函数的导数在各个部分区间内保持固定就能保证函数的导数在各个部分区间内保持固定符号符号, , 从而可得单调区间及函数的单调性。从而可得单调区间及函数的单调性。( )0 ( ) fxfx 的的解解及及不不存存在在结论结论: : 如果函数在定义区间上连续如果函数在定义区间上连续, ,除去有限除去有限个导数不存在的点（

4、甚至无数个点，只要它们个导数不存在的点（甚至无数个点，只要它们不构成一个区间）外，导数都存在且连续不构成一个区间）外，导数都存在且连续, , 那么只要用方程：那么只要用方程：第6页/共45页(1)确定函数定义域; (2)求出 的点, 以这些点为分界点划分定义域为多个子区间;( ) 0 ( ) f xf x 及及不不存存在在(3)确定 在各子区间内的符号, 从而定出(x)在各子区间的单调性。( ) f x 一般步骤一般步骤第7页/共45页例例1. 确定函数确定函数31292)(23xxxxf的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(

5、xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的单调增单调增区间为, ) 1,();,2()(xf的单调减单调减区间为).2,1 (12xOy12第8页/共45页例例2 2 讨论函数讨论函数 的单调性。的单调性。23( )(1)f xxx解解 定义域为定义域为(,) 123313252( )(1)33xf xxxxx ，0(,)2(,)5 ( )fx 列表讨论如下列表讨论如下: :2 0 ( ) xf x 而而是是2(0,)512 ( )0 5fxx 由由有有25x0 ( )f x的不可导点的不可导点第9页/共45页例例3 3 证明不等式 下面利用函数的单调性, 来证明不等式和判断方

6、程的根的存在性及其个数。1.1.证明不等式证明不等式: :关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数,并讨论它在指定区间内的单调性。(1)1 ,(0) xexx (1) ( )1xf xex 令令( )1 0(0)xf xex ，( ) f x 1.xex 故故 ( )(0)(0)f xfx 证明：(0)0, f 二、简单应用二、简单应用第10页/共45页（2）. 证证明明20 x时, 成立不等式.2sinxx证证: 令,2sin)(xxxf,2,0()(上连续在则xf，上可导在)2,0(2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0,)2,0()(内单调递减在因此xf

7、从而2,0(,2sinxxx0)2()( fxf,2)(处左连续在又xf因此且证证证明 第11页/共45页例例4 4 证明方程证明方程 有且仅有一个正根。有且仅有一个正根。 310 xx证证3( )1f xxx2( )310,fxx(0)1,(1)1ff 且且 ( )0f x方方程程( )f x有且仅有一个正根。有且仅有一个正根。2.2.讨论方程根的问题讨论方程根的问题由零值定理得：由零值定理得： 0 1( )0f至至少少存存在在一一点点，使使得得第12页/共45页* 证明证明0tanxx令,tan)(xxx则xx2sec1)(x2tan),0(,02x,),0()(2上递减在x从而0)0()

8、(x即),0(,0tan2xxx第13页/共45页二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法 第四节第四节函数的极值与 最大值最小值 第三三章 第14页/共45页定义定义:,),()(内有定义在设函数baxf, ),(0bax ，的一个邻域若存在0 x在其中当0 xx 时, )()(0 xfxf(1) 则称 为 的极大值点极大值点 ,0 x)(xf称 为函数的极大值极大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 则称 为 的极小值点极小值点 ,0 x)(xf称 为函数的极小值极小值 .)(0 xf极大值点与极小值点统称为极值点极值点 .一、一、函数

9、的极值及其求法函数的极值及其求法第15页/共45页问题问题: :请指出右图中的极值及极值点。请指出右图中的极值及极值点。oxyy= (x)Mm123ab （1 1）由极值定义知）由极值定义知: :极值极值是函数的是函数的局部性态局部性态。即只。即只是函数在一个邻域内最大的是函数在一个邻域内最大的值和最小的值值和最小的值, , 故它只可能在故它只可能在(a, b)的内点处取得。 而函数的最大值与最小值则是指整个定义域内区间而函数的最大值与最小值则是指整个定义域内区间a , b的的整体性态整体性态, 可在可在a, b的内点取得的内点取得, ,也可在也可在a, b的的端点端点取得。取得。 （2 2）

10、一个函数可能有若干个极小值或极大值；但在定）一个函数可能有若干个极小值或极大值；但在定义区间内却最多只有一个最大最小值。（义区间内却最多只有一个最大最小值。（个数个数） （3 3）极小值可能比极大值还大；函数的最大值大于等于最）极小值可能比极大值还大；函数的最大值大于等于最小值。（小值。（大小大小）注意注意:第16页/共45页0 x0()f x0 x定理定理1(1(极值的必要条件极值的必要条件) )设函数设函数 y =(x) 在点在点 处可导。处可导。 若若 为函数的极值点为函数的极值点 ( (即即 为为极值极值) )， 则则0()0f x 注意注意:3x1x4x2x5xOxaby41,xx为

11、极大值点52,xx为极小值点3x不是极值点对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或不存在的点.第17页/共45页定理定理 2 (极值第一判别法极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,0时由小到大通过当xx(1) )(xf “左左正正右右负负” ,;)(0取极小值在则xxf(2) )(xf “左左负负右右正正” ,.)(0取极大值在则xxf第18页/共45页求极值的一般步骤为:(1)给出定义域;(3)考察这些点两侧导函数的符号，从而确定极值点;(4)求出极值点的函数值,即为极值。(2)并找出定义域内所有驻点及连续不可导点;第19页/共45页例例1. 求函数求函

12、数32) 1()(xxxf的极值 .解解:1) 求导数32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 求极值可疑点令,0)( xf得;521x令,)( xf得02x3) 列表判别x)(xf )(xf0520033. 0)0,(),0(52),(520 x是极大值点， 其极大值为0)0(f是极小值点， 其极小值为52x33. 0)(52f第20页/共45页定理定理3 (极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数 , 且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若则 在点 取极大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则 在点 取极小值 .)(xf0

13、 x证证: (1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在,0,00时当xx0)(0 xxxf时，故当00 xxx;0)( xf时，当00 xxx,0)( xf0 x0 x0 x由第一判别法知.)(0取极大值在xxf(2) 类似可证 .第21页/共45页例例2. 求函数求函数1) 1()(32 xxf的极值 . 2) 求导数,) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf3) 求驻点令,0)( xf得驻点1,0, 1321xxx4) 判别因,06)0( f故 为极小值 ;0)0(f又,0) 1 () 1( ff故需用

14、第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号在由于xxf.1)(没有极值在xxf1xy1O解：解：1 1）定义域为）定义域为：(,) 第22页/共45页二、二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 ,)(上连续在闭区间若函数baxf则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到 .求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求 在 内的极值可疑点)(xf),(bamxxx,21(2) 最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值 minm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf第23页/共45页特别特别: 当 在 内只有一个极值可疑点

15、时,)(xf,ba 当 在 上单调单调时,)(xf,ba最值必在端点处达到.若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点 .(小)第24页/共45页)1292(2 xx1224)9(209681012922xx )(xxf041x250 x041x250 x例例3. 求函求函数数xxxxf1292)(23在闭区间,2541上的最大值和最小值 .解解: 显然, ,)(2541Cxf且)(xf, )1292(23xxx,129223xxx)(xf121862xx121862xx内有极值可疑点在,)(2541xf2,

16、 1,0321xxx,3)(321941f,0)0(f,5) 1 (f,4)2(f5)(25f故函数在0 x取最小值 0 ;在1x及25取最大值 5., )2)(1(6xx, )2)(1(6xx412512xyO第25页/共45页1.平均成本最小例4 4 某工厂生产产量为 x (件)时, 生产成本函数(元)为2( )9000400.001C xxx 解解求该厂生产多少件产品时, 平均成本达到最小? 并求出其最小平均成本和相应的边际成本.( )9000 C ( )400.001C xxxxx 三、函数最值在经济中的应用三、函数最值在经济中的应用29000C ( )0.001xx ，318000C

17、 ( )0 xx C ( )0 3000.xx 令令得得（唯唯一一）C (3000)46(/) 元元 件件 ， ( )400.002Cxx (3000)46(/).C 故故元元 件件3000 x 故是使平均成本最低时的产量故此时，边际成本等于平均成本！第26页/共45页( ) C ( )C xxx 2( )( )C ( )xC xC xxx C ( )0 x 令令得得：2( )( )0( )( )0 xC xC xxC xC xx ( )( )( )( )C xxC xC xC xx 即，即，平均成本达到最小的必要条件是：平均成本达到最小的必要条件是：边际成本等于平均成本！边际成本等于平均成本

18、！一般地，第27页/共45页0 x000( )()()0 x xL xR xC x 2.最大利润 设总成本函数为C(x), 总收益函数为R(x), 其中x为产量, 则在假设产量和销量一致的情况下, 总利润函数为 假设产量为 时, 利润达到最大, 则由极值的必要条件和极值的第二充分条件, L(x)必定满足:000( )()()0 x xL xR xCx 可见, 当产量水平 使得边际收益等于边际成本时, 可能获得最大利润.0 xx L(x) = R(x) C(x)第28页/共45页存在一个取得最大利润的生产水平? 如果存在, 找出它来.售出该产品 x 千件的收入是例例5. 设某工厂生产某产品设某工

19、厂生产某产品 x 千件的成千件的成本是本是解解: 售出 x 千件产品的利润为)()()(xCxRxp6123)(2xxxp得令,0)( xp586. 0221x问是否3)(xxC,1562xx ,9)(xxRxxx6623,126)( xxp又,0)(1 xp0)(2 xp故在 x2 = 3.414千件处达到最大利润, 而在 x1= 0.586千件处发生局部最大亏损. y)(xp22Ox22)24(32xx414. 3222x第29页/共45页内容小结内容小结1. 连续函数的极值(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点(2) 第一充分条件)(xf 过0 x由正正变负负)(0 xf为极大

20、值)(xf 过0 x由负负变正正)(0 xf为极小值(3) 第二充分条件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf为极大值)(0 xf为极小值0)(,0)(00 xfxf定理3 第30页/共45页最值点应在极值点和边界点上找 ;应用题可根据问题的实际意义判别 .思考与练习思考与练习2. 连续函数的最值连续函数的最值1. 设, 1)()()(lim2axafxfax则在点 a 处( ).)()(xfA的导数存在 ,；且0)( af)()(xfB取得极大值 ;)()(xfC取得极小值;)()(xfD的导数不存在.B提示提示: 利用极限的保号性第31页/共45页2. 设设)(xf在0 x的某邻域内连续

21、, 且,0)0(f,2cos1)(lim0 xxfx则在点0 x处).()(xf(A) 不可导 ;(B) 可导, 且;0)0( f(C) 取得极大值 ;(D) 取得极小值 .D提示提示: 利用极限的保号性 .第32页/共45页3. 设设)(xfy 是方程042 yyy的一个解,若,0)(0 xf且,0)(0 xf则)(xf在)(0 x(A) 取得极大值 ;(B) 取得极小值 ;(C) 在某邻域内单调增加 ;(D) 在某邻域内单调减少 .提示提示:,)(代入方程将xf0)(4)(00 xfxfA得令,0 xx 第33页/共45页第五节第五节曲线的凹凸性、拐点 第三三章 第34页/共45页但从A到

22、B的曲线是向下弯(或凸)的; 从B到C的曲线是向上弯(或凹)的。显然,曲线的弯曲方向弯曲方向和弯曲方向的转变点转变点对我们研究函数的性态是十分重要的. 这就是下面讨论的凹性与拐点凹性与拐点.BAC如图如图: :曲线弧曲线弧AB是单增的曲线是单增的曲线. .第35页/共45页定义定义 . 设函数)(xf在区间 I 上连续 ,21Ixx(1) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称的)(xf图形是凹凹的;(2) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称的)(xf图形是凸凸的 .yOx2x1x221xx yOx2x1x221xx 连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点拐点 .yO

23、x拐点第36页/共45页定理定理1.(凹凸判定凹凸判定法法)(xf(1) 在 I 内,0)( xf则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ;(2) 在 I 内,0)( xf则 f (x) 在 I 内图形是凸的 .设函数在区间I 上有二阶导数注意：如果注意：如果 不存在的点不构成一个区不存在的点不构成一个区间，在其余的点同号，也不影响曲线的凹凸性。间，在其余的点同号，也不影响曲线的凹凸性。 ( )0( )fxfx 或或第37页/共45页xyO例例1. 判断曲判断曲线线4xy 的凹凸性.解解:,43xy 212xy 时，当0 x;0 y,0时x, 0 y故曲线4xy 在),(上是向上凹的.说明说明:

24、1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:若曲线)(xfy ,0连续在点x0)(0 xf或不存在,但)(xf 在 两侧异号异号,0 x则点)(,(00 xfx是曲线)(xfy 的一个拐点.则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号,第38页/共45页例例2. 求曲线求曲线3xy 的拐点. 解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在0因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线3xy 的拐点 .Oxy凹凸第39页/共45页xxy24362 )(3632xx对应271121,1yy例例3. 求曲求曲线线14334xxy的凹凸区间及拐点.解解: 1) 求y ,121223xxy2) 求拐点可疑点坐标令0 y得,03221xx3