《定积分的概念》-文档资料

1、1.5.3 1.5.3 定积分的概念定积分的概念.2定积分的概念内容：应用求定积分利用定积分求不规则图形的面积定积分的几何意义( )baSf x dx.3用 “以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：分割分割以曲代直以曲代直作和作和逼近逼近.4求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法: (2)以直代曲:任取xixi-1, xi，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi), 宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似地去代替.(4)逼近:所求曲边梯形的面积S为 (3) 作和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xi-1y=f(x)x yObaxixix10,( )()niixfxSnx

2、 1( )niiSfxx(1)分割:在区间a,b上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间: 每个小区间宽度x x ban 11211,iina xxxxxxb.511( )( )nnniiiibaSf xxf xn 小矩形面积和如果当n+时，Sn 就无限接近于某个常数，这个常数为函数f(x)在区间a, b上的定积分，记作： baf (x)dx，即f (x)dx f (x i)xi。 从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四个步骤”: 分割分割-以直代曲以直代曲-求和求和-逼近逼近. .6 1.曲边梯形面积问题; 2.变力作功问题; 3.变速运动的距离问题.我们把这些问题从具体的问题中

3、抽象出来，作为一个我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分的定义以给定积分的定义 它们都归结为:分割、近似求和、取逼近值问题情境问题情境: .7定积分的定义定积分的定义一般地,设函数f(x)在区间a,b上有定义,将区间a,b等分成n个小区间,每个小区的长度为 ,在每个小区间上取一点,依次为x1,x2,.xi,.xn,作和如果 无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那么称常数S为函数f(x)在区间a,b上的定积分,记作: .)(nabxxx)f(xx)f(xx)x(fSn21n baSf(

4、x)dxf(x)dxx.8定积分的相关名称： 叫做积分号，f(x)dx 叫做被积表达式， f(x) 叫做被积函数, x 叫做积分变量， a 叫做积分下限， b 叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。( )baSf x dx被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分下限积分下限积分上限积分上限( )baSf x dx.9 Sbaf (x)dx； 按定积分的定义，有：按定积分的定义，有： (1)由连续曲线yf(x) (f(x)0) ，直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形的面积为 (2)设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间a, b内运动的距离s为( );baSv t dt

5、(3)设物体在变力FF(r)的方向上有位移，则F在位移区间a, b内所做的功W为( ).baWF r dr.10注注 ：定积分数值只与被积函数及积分定积分数值只与被积函数及积分区间区间 a, b 有关有关, 与积分变量记号无关与积分变量记号无关bababaduufdttfdxxf)()()(.11函数在区间函数在区间a,b上的定积分能否为上的定积分能否为负负的的?定积分._121)dx1)dx(x(x 定积分 = .211)dx1)dx(x(x.12定积分的几何意义定积分的几何意义当 f (x) 0，定积分的几何意义就是 badxxf)(bAoxyay=f (x)S曲线曲线 y = f (x)

6、，直线，直线 x = a、 x = b、 y = 0 所围成的曲边梯所围成的曲边梯形的面积形的面积b ba aS Sf(x)dxf(x)dx: :即即.13当函数 f (x) 0 ， x a, b 时 定积分 几何意义badxxf)(Sdxxfba)(即即就是位于就是位于 x 轴下方的曲边梯轴下方的曲边梯形面积的相反数形面积的相反数. oxyaby=f (x)S.14用定积分表示下列阴影部分面积：用定积分表示下列阴影部分面积： S=_;S=_;y=sinxXOyXOy5-1y=x2-4x-5S=_;XOy223y=cosx.153 32 21 1b ba aS SS SS Sf f( (x x

7、) )d dx x即即OXS2S1yS3.16定积分的几何意义：定积分的几何意义： 在区间在区间a,ba,b上曲线与上曲线与x x轴所围成图形面积的代数和轴所围成图形面积的代数和( (即即x x轴上方的面积减去轴上方的面积减去x x轴下方的面积轴下方的面积).).50(24)xdx计算定积分-465OxyAB50(24)945xdx.17 例例1：计算下列定积分：计算下列定积分. 21120310213001(1)(1);(2)(1);2(3);(4)(1);(5)sin;(6).xdxxdxxdxx dxxdxx dx21120310213001(1)(1);(2)(1);2(3);(4)(

8、1);(5)sin;(6).xdxxdxxdxx dxxdxx dx求定积分，只求定积分，只要理解被积函要理解被积函数和定积分的数和定积分的意义，并作出意义，并作出图形，即可解图形，即可解决决.18 定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1. 1. dx)x(g)x(fba babadx)x(gdx)x(f性质性质2. 2. badxxkf)( badxxfk)(.19 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性bccabadxxfdxxfdxxf)()()( 性质性质3. 3. 2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOx yab yf (

9、x).20例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（, 0)(0)(12xfaxxf解：dxxAa200000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1.21积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（, 0)(21)(22xfxxf解：dxxA2210000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1.22积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函

10、数（, 0)(1)(3xfbaxf解：dxAba0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1.23可得阴影部分的面积为根据定积分的几何意义，上，在上，上连续，且在，在）在图中，被积函数（0)(20, 0)(01211) 1()(42xfxfxxf解：dxxdxxA 1) 1( 1) 1(2202010000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1.24成立。说明等式利用定积分的几何意义0sin22xdx例3.解：所以并有上，在上，上连续，且在，在在右图中，被积函数, 0sin20, 0sin0222sin)(21AAxxxxf0)(1222AAdxxf222A1Axyf(x)=sinx1-1.25定积分的实质：特殊和式的逼近值2定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取逼近取逼近精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取逼近取逼近3.定积分的几何意义及简单应用.261.利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号.20sinxdx212dxx利用定积分的几何意义，说明下列各式.成立：0sin20 xdx200sin2sinxdxxdx1）2）.1）2）.试用定