中考冲刺二---探索性问题

1、中考冲刺二：探索性问题一、热点分析探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，在数学中则更为普遍.初中数学中的“探索发现”型试题是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的命题，它不像传统的解答题或证明题，在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果导因的工作，从而定格于“条件演绎结论”这样一个封闭的模式之中，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律.通常情景中的“探索发现”型问题可以分为如下类型：1.条件

2、探索型结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目.2.结论探索型给定条件但无明确结论或结论不唯一，而需探索发现与之相应的结论的题目.3.存在探索型在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目.4.规律探索型在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目.由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1.利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律.2.反演推理法(反证法)，即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致.3.分类讨

3、论法.当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果.4.类比猜想法.即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证.以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用.二、经典例题透析类型一：条件探索型1(呼和浩特市)在四边形中，顺次连接四边中点，构成一个新的四边形，请你对四边形填加一个条件，使四边形成为一个菱形.这个条件是_.解：或四边形是等腰梯形(符合要求的其它答案也可以).举一反三：【变式1】(荆门市)将两块全等的

4、含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1.(1)四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_.(2)如图2，将RtBCD沿射线BD方向平移到RtB1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_.(3)在RtBCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为_时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是_；当点B的移动距离为_时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是_.(图3、图4用于探究)解：(1)是，此时ADBC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(2)是，在平移过程中，始终保持ABC1D1，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(

5、3)，此时ABC1=90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形.，此时点D与点B1重合，AC1BD1，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【变式2】(广东)如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BCOA，OA=7，AB=4， COA=60°，点P为x轴上的个动点，点P不与点0、点A重合.连结CP，过点P作PD交AB于点D.(1)求点B的坐标；(2)当点P运动什么位置时，OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标；(3)当点P运动什么位置时，使得CPD=OAB，且=，求这时点P的坐标.解：(1)过C作CFOA于F，BEOA于E 则OCFABE，四边形CDEB为矩形 OF

6、=AE，CF=BE OC=AB=4，COA=60° CF=，OF=2 CB=FE=3 OE=OF+FE=5 BE=CF= B(5，)；(2)若OCP为等腰三角形，COP=60°， 此时OCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形 若OCP为等边三角形，OP=OC=PC=4，且点P在x轴的正半轴上， 点P的坐标为(4，0) 若OCP是顶角为120°的等腰三角形，则点P在x轴的负半轴上，且OP=OC=4 点P的坐标为(-4，0) 点P的坐标为(4，0)或(-4，0)；(3)CPD=OAB=COP=60° OPC+DPA=120° 又P

7、DA+DPA=120° OPC=PDA COP=A=60° COPPAD ，AB=4 即 得OP=1或6 P点坐标为(1，0)或(6，0).类型二、结论探索型2(云南省)已知：如图，四边形ABCD是矩形(ADAB)，点E在BC上，且AE=AD，DFAE，垂足为F. 请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明. 解：经探求，结论是：DF=AB.证明如下：四边形ABCD是矩形， B=90°， ADBC， DAF=AEB. DFAE， AFD=90°， AE=AD ， ABEDFA. AB=DF.举一反三：【变式1】(北京市)我们知道：有两条边

8、相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；(2)如图，在中，点分别在上， 设相交于点，若，. 请你写出图中一个与相等的角， 并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；(3)在中，如果是不等于的锐角，点分别在上， 且.探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结 论.解：(1)回答正确的给1分(如平行四边形、等腰梯形等).(2)答：与相等的角是(或). 四边形是等对边四边形.(3)答：此时存在等对边四边形，是四边形. 证法一：如图1，作于点，作交延长线于点. 因为，为公共边，

9、 所以. 所以. 因为， ， 所以. 可证. 所以. 所以四边形是等边四边形.证法二：如图2，以为顶点作，交于点. 因为，为公共边， 所以. 所以，. 所以. 因为， ， 所以. 所以. 所以. 所以. 所以四边形是等边四边形.说明：当时，仍成立.只有此证法，只给1分.【变式2】(山东滨州)如图1所示，在中，为的中点，动点在边上自由移动，动点在边上自由移动.(1)点的移动过程中，是否能成为的等腰三角形？若能，请指出为等腰三角形时动点的位置.若不能，请说明理由.(2)当时，设，求与之间的函数解析式，写出的取值范围.(3)在满足(2)中的条件时，若以为圆心的圆与相切(如图2)，试探究直线与的位置关

10、系，并证明你的结论.解：如图，(1)点移动的过程中，能成为的等腰三角形. 此时点的位置分别是： 是的中点，与重合. .与重合，是的中点.(2)在和中， ， . 又， . . ， .(3)与相切. ， . . 即. 又， . . 点到和的距离相等. 与相切， 点到的距离等于的半径. 与相切.类型三、存在探索型存在性探索问题是指在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在的一类问题.解题的策略与方法是：先假设数学对象存在，以此为条件进行运算或推理.若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否则，说明不存在.3(山东省威海市)抛物线y=ax2+bx+c (a0)过点A(1，-3

11、)，B(3，-3)，C(-1，5)，顶点为M点. (1)求该抛物线的解析式；(2)试判断抛物线上是否存在一点P，使POM=90°.若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标.解：(1)y=x2-4x(2)易求得顶点M的坐标为(2，-4). 设抛物线上存在一点P，使OPOM，其坐标为(a，a2-4a). 过P作PEy轴，垂足为E；过M点作MFy轴，垂足为F， 则POE+MOF=90°，POE+EPO=90.EPO=FOM. OEP=MFO=90°，RtOEPRtMFO. OE：MF=EP：OF.即(a2-4a)：2=a：4.解得a1=0(舍去)，. 故抛物线上存在一

12、点P，使POM=90°，P点的坐标为.举一反三：【变式1】(武汉市)已知：二次函数y=x2-(m+1)x+m的图象交x轴于A(x1，0)、B(x2，0)两点，交y轴正半轴于点C，且x12+x22=10.(1)求此二次函数的解析式；(2)是否存在过点的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由.解：(1)依题意，得x1x2=m，x12+x22=10， x1+x2=m+1，(x1+x2)2-2x1x2=10， (m+1)2-2m=10，m=3或m=-3， 又点C在y轴的正半轴上，m=3. 所求抛物线的解析式为y=x

13、2-4x+3.(2)假设存在过点的直线与抛物线交于两点，与x轴交于点E，使得M、N两点关于点E对称. M、N两点关于点E对称，. 设直线MN的解析式为：. 由 得 k(k+4)-5=0，k=1或k=-5. 当k=-5时，方程的判别式，k=1， 直线MN的解析式为. 存在过点的直线与抛物线交于M、N两点，与x轴交于点E， 使得M、N两点关于点E对称.【变式2】(乐山)如图，在矩形中，.直角尺的直角顶点在上滑动时(点与不重合)，一直角边经过点，另一直角边交于点.我们知道，结论“”成立.(1)当时，求的长； (2)是否存在这样的点，使的周长等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.解：(

14、1)在中，由， 得 ， 由知 ，.(2)假设存在满足条件的点，设，则 由知， ，解得， 此时，符合题意.类型四、规律探索型规律探索问题是根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳，提示和发现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题.4(湖南衡阳)观察算式： 1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52 ；用代数式表示这个规律(n为正整数)：1+3+5+7+9+(2n-1)=_.解：由以上各等式知，等式左端是从1开始的连续若干个奇数之和，右端是左端奇数个数的平方，由此易得1+3+5+7+(2n-1)=n2.填n2.举一

15、反三：【变式1】(吉林省)如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第n个图案中白色瓷砖数为_.解：根据图形提供的信息探索规律，是近几年较流行的一种探索规律型问题.解决这类问题，首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加(或倍数)情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论.第1个图案有白色瓷砖5(即2+3×1)块；第2个图案有白色瓷砖8(即2+3×2)块；第3个图案有白色瓷砖11(即2+3×3)块. 由此可得，第n个图案有白色瓷砖(2+3n)块. 填3n+2.【变式2】(资阳)设a1=32-12，a2=5

16、2-32，an=(2n+1)2-(2n-1)2 (n为大于0的自然数).(1)探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；(2)若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”. 试找出a1，a2，an，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数(不必说明理由) .解：(1) ，又 n为非零的自然数， an是8的倍数.这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数 .(2) 这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256.n为一个完全平方数的2倍时，an为完全平方数 .学习成果测评1.(江西省)如

17、图，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案： (1)第4个图案中有白色纸片_张；(2)第n个图案台有白色纸片_张.2.(内江)如图，某小区有东西方向的街道3条，南北方向的街道4条，从位置出发沿街道行进到达位置，要求路程最短，研究共有多少种不同的走法.小东是这样想的：要使路程最短，就不能走“回头路”，只能分五步来完成，其中三步向右行进，两步向上行进，如果用用数字“1”表示向右行进，数字“2”表示向上行进，那么“11221”与“11212”就表示两种符合要求的不同走法，请你思考后回答：符合要求的不同走法共有_种.3.(内江)探索研究(1)观察一列数2，4，8，16，32

18、，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是_；根据此规律，如果(为正整数)表示这个数列的第项，那么_，_；(2)如果欲求的值，可令 将式两边同乘以3，得 _ 由减去式，得 _.(3)用由特殊到一般的方法知：若数列，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为，则_(用含的代数式表示)，如果这个常数，那么_(用含的代数式表示).4.(德阳)如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，2)，(3，1)，(3，0)根据这个规律探索可得，第个点的坐标为_.5.(河南省)将图所示的正六边形进行进行分割得到图，再将图中最小的某

19、一个正六边形按同样的方式进行分割得到图， 再将图中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，则第n个图形中，共有_个正六边形.6.(山东东营)根据以下10个乘积，回答问题：11×29； 12×28； 13×27； 14×26； 15×25；16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20.(1)试将以上各乘积分别写成一个“2-2”(两数平方差)的形式，并写出其中一个的思考过程；(2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；(3)试由(1)、(2)猜测一个一般性的结论.(不要

20、求证明)7.如图，在ABC中，D为BC上一个动点(D点与B、C不重合)，且DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F.(1)试探究，当AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？并说明理由.(2)在(1)的条件下，ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由.8.如图，AB是O的直径，EF是O的切线，切点是C.点D是EF上一个动点，连接AD.试探索点D运动到什么位置时，AC是BAD的平分线，请说明理由.9.(常德市)如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你

21、的结论.(2)若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断PQC的形状，并说明理由.10.如图，AB是O的直径，AD、BC、DC都是O的切点，A、B、E分别是切点.(1)判定COD的形状，并说明理由.(2)设AD=a，BC=b，O的半径为r，试探究r与a，b之间满足的关系式，并说明理由.11.(云南省)已知：如图，抛物线经过、三点.(1)求抛物线的函数关系式；(2)若过点C的直线与抛物线相交于点E (4，m)，请求出CBE的面积S的值；(3)在抛物线上求一点使得ABP0为等腰三角形并写出点的坐标；(4)除(3)中所求的点外，在抛物线上是否还存在其它的点P使得ABP为等腰三角形？若存在，请求

22、出一共有几个满足条件的点(要求简要说明理由,但不证明);若不存在这样的点，请说明理由.12.(呼和浩特市)如图，在矩形中，.点在上，交于，交于于.点从点(不含)沿方向移动，直到使点与点重合为止.(1)设，的面积为. 请写出关于的函数解析式，并确定的取值范围.(2)点在运动过程中，的面积是否有最大值，若有，请求出最大值及此时的取值；若无，请说明理由.13.(成都市)在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点(点在点的左边)，与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和.(1)求此二次函数的表达式；(2)若直线与线段交于点(不与点重合)，则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在

23、，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与的大小(不必证明)，并写出此时点的横坐标的取值范围.14.(日照)如图，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F(E，F不与顶点重合)，设AB=a，AD=b，BE=x.()求证：AF=EC；()用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EEBC.(1)求出直线EE分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所

24、对应的 x：b的值；(2)在直线EE经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE，直线BE与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？答案与解析1.(1)13，(2)3n+12.103.解：(1)2；218；2n；(2)3S=3+32+33+34+321；S=；(3)a1qn-1；.4.(14，8)5.(3n-2)6.(1)11×29=202-92；12×28=202-82；13×27=202-72；14×26=202-62；15×25=202-52； 16×24=202-42；17&

25、#215;23=202-32；18×22=202-22；19×21=202-12；20×20=202-02. 例如，11×29；假设11×29=2-2， 因为2-2=(+)(-)； 所以，可以令-=11，+=29. 解得，=20，=9.故11×29=202-92 . (或11×29=(20-9)(20+9)=202-92 ).(2)这10个乘积按照从小到大的顺序依次是： . (3)若a+b=40，a，b是自然数，则ab202=400. 若a+b=40，则ab202=400. 若a+b=m，a，b是自然数，则. 若a+b=m，

26、则. 若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=40，且|a1-b1|a2-b2|a3-b3|an-bn|， 则a1b1a2b2a3b3anbn. 若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=m，且|a1-b1|a2-b2|a3-b3|an-bn|， 则a1b1a2b2a3b3anbn.7.(1)当AD平分BAC时，四边形AEDF是菱形.理由(略)(2)在(1)的条件下，当BAC=90°时，四边形AEDF是正方形.说明理由(略)8.当点D运动到满足条件ADEF时，AC平分BAD.证明(略)9.(1)证明BPABQC，AP=CQ(2)PQC是直角三角形， PA：PB：PC

27、=3：4：5， 设PA=3k，PB=4k，PC=5k， PBQ=60°，BP=BQ，PBQ是等边三角形， PQ=PB=4k，在PQC中， PQ2+QC2=(4k)2+(3k)2=25k2，PC2=(5k)2=25k2， PQ2+QC2=PC2，PQC是直角三角形.10.(1)COD是直角三角形，连OE，由圆的切线的性质可证得：OADOED，OECOBC，AOD=EOD，EOC=BOC，可证得DOC=90°，所以COD是直角三角形. (2)r与a、b之间满足的关系是r2=ab.证明OADCBO，得，OA·OB=AD·BC即r2=ab.11.解：(1)抛物线

28、经过点、，.又抛物线经过点，.抛物线的解析式为. (2)E点在抛物线上，m=42-4×6+5=-3.直线y=kx+b过点C(0，5)、E(4，-3)， 解得k=-2，b=5.设直线y=-2x+5与x轴的交点为D，当y=0时，-2x+5=0，解得x=.D点的坐标为(，0).S=SBDC+SBDE = =10. (3)抛物线的顶点既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，点为所求满足条件的点. (4)除点外，在抛物线上还存在其它的点P使得ABP为等腰三角形.理由如下：，分别以、为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点、，除去、两个点外，其余6个点为满足条件的点.12.解：(1)解：过点作，垂足为.在矩形中，又，又在中，又 又在四边形中，四边形为矩形 又 又 又 又 或过点作，垂足为.在中，由等积法可得由题意可得当与重合时，与重合即，由得即 x的取值范围是. (2)面积有最大值由(1)可得当即时，面积最大，即13.解：(1)二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点和，由 解得此二次函数的表达式为 . (2)假设存在直线与线段交于点(不与点重合)，使得以为顶点的三角形与相似. 在中，令，则由，解得.令，得.设过点的直线交于点，过点作轴于点.点的坐标为，点的坐标为，