概率论讲义第三章多维随机变量及其分布

1、第三章多维随机变量及其分布在很多随机现象中，只用一个随机变量来描述往往不够，而要涉及到多个随机变量如炮弹命中点的位置要用一对随机变量（横坐标与纵坐标）来描述,正弦交流电压要用振幅、频率和相位三个随机变量来描 述等等要研究这些随机变量之间的联系，就应当同时考虑若干个随机变量即多维随机变量及其取值规律多维分布本章将介绍有关这方面的内容，为简明起见，主要介绍二维情形，有关内容可以类推到多于二维的情形第一节二维随机变量一、二维随机变量的分布函数设E是一个随机试验，它的样本空间是 S.设X、Y是定义在S上的随机变量，则由它们构成的一个向 量（X，Y）称为二维随机向量或二维随机变量一般地，（X，Y）的性质

2、不仅与 X有关，与Y有关，而且还依赖于 X、Y的相互关系，因此必须把（X, Y）作为 一个整体来研究首先引入（X，Y）的分布函数的概念定义 设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x、y，二元函数F（x，y） = P（X 兰x）Q （Y <y）= PX 兰x，Y <y称为二维随机变量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和y的联合分布函数分布函数F（x，y）表示事件（X ）与事件（Y < y）同时发生的概率如果把（X，Y）看成平面上具有随机坐标 （X，Y）的点，则分布函数F（x，y）在（x，y）处的函数值就是随机点（X，Y）落在平面上的以（x，y）为顶点而位于该点 左下方的无

3、限矩形内的概率 由上面的几何解释，容易得到随机点（X，Y）落在矩形区域xi < X空X2, yi < Y < y2的概率为Pxi < X _X2,yi< Y _y2= F（X2,y2）- F（X2,yi）- F（xi,y2）+ F（xi, yi）（1）与二元函数类似，二元分布函数F(x, y)也具有如下一些性质：1 F(x, y)是变量x和y的单调不减函数，即当 xi < X2 时,F(xi, y)兰 F(X2, y);当 yi < y2 时,F(x, y” <F(x, y2).2 0 <F(x, y) < i,且 F(：, y) =

4、 0, F(x, -：) = 0, F(-：,-：) = 0, F(+ ：,+ ：) = i.3 F(x, y)关于 x 和 y 都是右连续的,即 F(x + 0, y) = F(x, y), F(x, y + 0) = F(x, y)4 对任意的(xi, yi)、(X2,y2),xi <X2,yi <y2,有 F(x2, y2)- F(x2,yi)- F(xi,y2)+ F(xi, yi) 一 0.注：二元分布函数具有性质i 4 ,其逆也成立（2中0 _F（x, y） _ i可去）,即若二元实值函数 F（x, y）（xR, yR）满足i 4 ,则F（x, y）必是某二维随机变量的

5、（X, Y）的分布函数其中4是必不可少的，即它不能由i 3推出（除去0 _F（x, y） < i） 二、二维离散型随机变量如果二维随机变量（X, Y）的所有可能取的值是有限对或可列无限多对，则称（X, Y）是二维离散型随机变量设二维离散型随机变量（X, Y）所有可能取的值为（Xi, yj） （i , j= i, 2, 3,）记PX = xi, Y = yj = Pij（i , j= i, 2, 3,）QO QO则由概率定义有Pij > 0;为为pj =i i d j d我们称PX = Xi, Y = yj = pij （i , j= i, 2, 3,）为二维离散型随机变量（X, Y

6、）的分布律（概率分布）或随机 变量X和Y的联合分布律，（X, Y）的分布律也可用表格表示其分布函数为F（x, y）二' '、 PX 二 Xi,Y =yj = .1 二 PijN 丄 yj _yXi lx yj _y这里二二表示对一切xi <x, yj <y的那些指标i、j求和.Xi 込yj空设每次取球Y的联合分,以X、Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，求X、例1 一个口袋中有三个球，依次标有1、2、2,从中任取一个，不放回袋中，再任取一个. 时，各球被取到的可能性相等 布律与分布函数.解：(X, Y)的可能取值为(1,2)、(2, 1)、(2, 2). P

7、X = 1, Y = 2= PX = 1 PY = 2 / X = 1=-3,PX = 2, Y = 2=-3同理，有 PX = 2, Y = 1= 13 即(X, Y)的分布律如右表所示.x < 1,或 y < 1 时,Fx, y = 0; <x < 2, 1 <y <2 时,Fx, y = 0;<x < 2, y >2 时,Fx, y=-2, 1 <y <2 时,Fx, y=1 ；3+ 1P11 ' P21；3P11 ' P1243> 2, y > 2 时,Fx, y = 1.0,x c1或y &

8、lt;1或丄所以，(X, Y)的分布函数为F(x, y)131,f ”1兰X£2,十 或J工2x A2,y >2.1 Ex £2,1 Ey C2,x _2,1 兰 y v2,三、二维连续型随机变量设二维随机变量(X, Y)的分布函数为2Ae，x 切，x>0,y>0, 、0,其它.求:(1)系数 A; (2)分布函数 F(x, y); (3)概率 P( X, Y)D,其中 D: x > 0, y > 0, x + y< 1.1A .2e" y)dxdy, x 0, y 0,0其它，例2设二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度为f

9、(x,y)=解：(1)由 I I f(x, y)dxdy=1，得y x F (x, y)二 一 e'-jdo " qs4x -y)dxdy =00,Fx, y,若存在非负函数f (x, y),使对任意的x、y有y x-=O J -oOF(x,y)二f (u,v)dudv，则称(X, Y)为连续型的二维随机变量，f (x, y)称为二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度，或称随机变量X、Y 的联合概率密度概率密度f (x, y)具有以下性质：1 °f (x, y) > 0;-ho -bo2 f(x, y)dxdy 二 F( ：, ：) =1曾 qQ J _o0

10、3 若 f (x, y)在点(x, y)处连续，则有-F(x，y) = f (x, y)x .y4设G是xOy平面上的一个区域，则点(X, Y)落在G内的概率为P( X,Y) G二.f (x, y)dxdy (2)G(1 _eC(1 e), x >0, y A0, =<0,其它.11 _x2(3) P(X,Y)二 f(x,y)dxdy dx eedxdy 二 1 机=ooe2 xy例3设二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度为f(x,y)=x0兰x«,0兰y兰2,求卩丫 x.0,其它，12xy17解：PY _X=f(x, y)dxdy hj dx (x2)dy .* o

11、x324以上关于二维随机变量的讨论，不难推广到n(n > 2)维随机变量的情形.一般地，设E是一个随机试验它的样本空间为 S,设X1、X2、Xn是定义在S上的随机变量，则由它们构成的一个 n维向量(X1, X2, Xn)称为n维随机向量或n维随机变量.对任意n个实数X1、X2、Xn, n元函数F(X1, x2,xn) = PX1 EX1, X2兰X2,Xn Exn称为n维随机 变量(X1,X2,Xn)的分布函数或随机变量(X1,X2,Xn)的联合分布函数，它具有与二元分布函数类似的性质第二节边缘分布设(X, Y)是二维随机变量，其分布函数为F(x, y),事件X乞x即为 X乞x, Y &

12、lt; +：,从而由(X, Y)的分布 函数可定出X的分布函数，记为Fx (x).F(x, +°o)= yliF (x, y)Fx (x) = PX Ex = P X Ex, Y < +：=我们称Fx (x)为关于X的边缘分布函数.类似的可定义关于Y的边缘分布函数为Fy (y) = PY Ey = PX < +：, Y < y= F什：,y) = lim F (x, y). 一-be、离散型设(X, Y)为二维离散型随机变量,其分布律为PX = Xi, Y = yj = pij(i , j= 1,2, 3,)，则O0QOFx (x) =F(x,：)二二 Pij ,

13、Fy(y) =F( :, y)二二 Pij n童j二y空i modoO从而X与Y的分布律分别为PX=xi='Pij, i = 1,2,；PY=yj=" Pij, j = 1,2,j =1i -1oOp j 二 PY =yj八 Pij , j = 1,2,iToO记 Pi .二 PX 二XiPij , i = 1,2,jm分别称Pi和p j为(X, Y)关于X与Y的边缘分布律注:1边缘分布律具有一维分布律的一般性质2联合分布律唯一决定边缘分布律，反之不然.例1 一袋中装有3只黑球和2只白球，分别采用有放回与不放回摸球两种方式.若设彳，第一次摸出白球，1,第二次摸出白球，X =Y

14、 =0,第一次摸出黑球；0,第二次摸出黑球.求(X, Y)的联合分布律及关于X与Y的边缘分布律.解：有放回不放回边缘分布律经常写在联合分布律的边缘，这就是为什么称为边缘分布律的缘由149、连续型设二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度为f (x, y),由XFx(x) =F(x, ：) = f (x, y)dydx；寸_do寸qm知X与Y都是连续型随机变量.它们的概率密度分别为fx(x) f(x,y)dy;f -20称fx (x)与fY (y)分别为(X, Y)关于X与Y的边缘概率密度yFY(y)=F( :y) = ,. J(x,y)dxdy.fY(y)二 f(x, y)dx.例2设D是平面

15、上的有界区域,其面积为A,若二维随机变量(X, Y)的概率密度为1f (x,y)=< 入i0,(X, y) D,其它，则称(X, Y)在D上服从均匀分布现(X, Y)在以原点为中心、1为半径的圆域上服从均匀分布，求边缘概率密度解：由f (x, y) dxdy = 1,得 A =二3 -jDQ 3 -J301 A?2一 1 _x0,当 x < 1 时，fx(x)二 f(x, y)dy 二fafx(x)12 2 dy=(1_x2；当 X A 1 时,fx (x) = 0,即 n兀2时1 X2 , X <1,JIX X1.同理可得,fv(y)笛1-y2,y <1,0,y -1

16、.JT例3设二维随机变量(X, Y)的概率密度为(x -出)2 _2小-B)(y -込)+ (y -巴)2 2(1-P2)- a-256o-f-二:x : : s-:y :亠- 其中片、卩2、5、狂、P都是常数，且5 > 0,包> 0, -1 < P < 1.我们称(X, Y)为服从参数为 出、电、巧、；巨、曲勺二维正态分布，试求二维正态随机变量的边缘概率密度 解：令 m = |(x -严 _2卩以-气)(-2)+(y-A2)2| '' 1二1二2(y、2)2 2 r(X - 叫)(y丄2) j2(Xr)f(x, y)二.22兀5<12屮一伏exp

17、<-12622二 1 ：- 2G2(X -叫)2 gy -2_"-叫.(12)&-叫)2-im 2_.o-2dy-ho所以,fx(x)二 f (x, y)dy =ea亠2兀心1 - P22 12 1 -e；-2(x-巴)22拧1e2 < 1_dy-P，则 dy = . 1 - >2-2dt,从而,、步宁-写ly二：1=2a卡at2；2e 2 dt = - 2二匚2 .1 一2 .(x41)2(y 屮)2所以,fX(x)=e 223同理可得,fY(y)=e 2(y (亠成丫成耘).p2 兀 6表明,x-nU；#), y n(丄2, ；).此例说明，二维正态随机

18、变量(X, Y)中的X、Y都服从正态分布，并且与参数T无关.所以对于确定的 “1、.、2、门、；2而取不同的：?,对应了不同的二维正态分布，但是其中每个随机变量都分别服从相同的正态分布.因此，仅由关于X和Y的边缘概率密度(分布),一般不能确定 X和Y的联合概率密度(分布).第四节 相互独立的随机变量我们知道，两事件A、B相互独立的充要条件是P(AB) = P(A)P(B)由此我们引进随机变量相互独立的定义.定义 设F(x, y)及Fx (x)、Fy (y)分别是二维随机变量(X, Y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有的X、y,有PXEx,YEy = PXEx P Y< y,即 F(x

19、, y) = Fx (x)Fy (y)(1)则称随机变量X和Y是相互独立的.可见，在随机变量X和Y相互独立的情况下，由关于X和Y的边缘分布函数就唯一地确定(X, Y)的联合分布函数，而且还可推得PY 紬/x =xfy，X 二X二 limPHXx二 lim F(x. ：x,y) - F(x,y)PX 二xX0 Px 空X 乞x ：x .xP F(x. ：x, ：) F(x,二)=Fy (y) = P Y _ y.=lim Fx(x：x)FY(y) -Fx(x)FyW)= lim Fx(x：x) -Fx(x)FyW)ZxmP FX (x+Ax)FY (讼)-FX &厅丫(讼)FX (x+A

20、x) - FX (x)这就是说在X和Y相互独立的情况下条件分布与边缘分布相同，即条件分布化成了无条件分布 一、离散型设二维离散型随机变量(X, Y)的联合分布律为PX = Xi, Y = yj = pj (i , j= 1,2, 3,),(X, Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为OOQOPi .二 P X 二 Xi二 * Pij , i = 1,2,；p j二 PY =yj八 pij , j = 1,2,则X和Y相互独立的充要条件是PX = Xi, Y = yj=PX = Xi PY = yj,即 Pij = |Pi p j例1设(X, Y)的联合分布律为证明：X和Y相互独立.例2设XX和

21、Y相互独立，且分别具有分布律Y1213-2-10121111111DkDk43123Lk244试写出(X, Y)的联合分布律.二、连续型设二维连续型随机变量(X, Y)的联合概率密度为f (x, y),关于X和Y的边缘概率密度为fx (x)和fY (y),则 X和Y相互独立的充要条件是等式f (x, y) = fx (x) fY (y)(3)几乎处处成立.例3设(X, Y)服从二维正态分布，即其联合概率密度为1r1T；-；T2_(X_ 片)2 2 ,2(1 P2) L aif (X, y) = exp证明：X和Y相互独立的充要条件是P = 0.2” (x -叫)(y-占).(y-七)2一 2:

22、m2ZoO < X < l_oo < y < -fcc例4若(X, Y)的联合概率密度为 则X和Y相互独立.匚丄x4y) ef (x,y) =0,X _0, y _0,其它，证：显然fx(x)x _0,其它,fY(y)=,I弓，故有f (x, y) = fx (x) fY (y).从而X和Y相互独立.0,其匕，例5设X与Y是两个相互独立的随机变量，X在0, 0.2上服从均匀分布，丫的概率密度为试求:(1) X与Y的联合概率密度；解：(1)由已知条件，得fx(x) =；0,5e'y0,(2) PY E X.fY (x)=丿y -0,其它,0 Ex E0.2,其它，从而得X与Y的联合概率密度为f(x, y)=<25e句0,0 x E0.2,y _0其它.(2) P Y < X= PY -X工 "f (x, y)dxdy ,x_y 0 积分区域如图，化成二次积分后得0.2 一 x_/PYMX=J° 卩° f(x, y)d