初中数学抛物线与几何专题训练及答案

1、 . 1 / 20 全国各地中考试题压轴题精选讲座 抛物线与几何问题 【知识纵横】 抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：2yaxbxc?(a0)；2、顶点式：y =a(xh) 2-k；3、交点式：y=a(xx 1)(xx 2 ) ，这里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0的两个实根。 解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。 【典型例题】 【例1】 (浙江杭州) 在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）。平移二 次函数2txy?的图象，得到的抛物线F满足两个条件：顶点为Q；

2、与x轴相交于B，C两点（OB<OC），连结A，B。 （1）是否存在这样的抛物线F， OCOBOA?2？请你作出判断，并说明理由； （ 2 ）如果AQBC，且tanABO=23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式。 【思路点拨】（1）由关系式OCOBOA?2来构建关于t、b的方程；(2)讨论 t的取值范围，来求抛物线F对应的二次函数的解析式。 【例2】(江苏常州)如图,抛物线24yxx?与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点. （1）求点A的坐标; （2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等

3、 腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标; （3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S, 点P的横坐标为x,当22S?时,求x的取值范围. 【思路点拨】（3）可求得直线l的函数关系式是y=-2x，所以应讨论当点P在第二象限时，x<0、 当点P在第 . 2 / 20 四象限是，x>0这二种情况。 【例3】（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线2?x与x轴相交于点B，连结OA，抛物线2xy?从点O沿OA方向平移，与直线2?x交于点P，顶点M到A点时停止移动 （1）求线段OA所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点M的横坐标为

4、m, 用m的代数式表示点P的坐标； 当m为何值时，线段PB最短； （3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使QMA的面积与PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 【思路点拨】（2）构建关于PB的二次函数，求此函数的最小值；（3）分当点Q落在直线OA的下方时、当点Q落在直线OA的上方时讨论。 【例4】（广东省深圳市）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2?acbxaxy的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OBOC ，tanACO31 （1）求这个二次函数的表达式 （2）经过C、D两点的直

5、线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F， 使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由 （3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度 （4）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上 一动点，当点P运动到什么位置时，APG的面积最大？求出此时P点的坐标和APG的最大面积. 【思路点）可先、F为顶点的四边形为平行四边形时，求F点的标，再代入抛物线的表达式检验）讨论当直M轴上方时、当直线MN在轴下方时二种情况）构关于的二次函数，求它的最大值【（山东济南已知

6、：抛物2yaxbc0，顶 (，与x轴交于A、两点 （1）求这条抛物线的解析式 （2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接图 EDABCy图 10y B O A P M x 2x? . 3 / 20 A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PMAE于M， PNDB于N ，请判断PMPNBEAD?是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由 （3）在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FGEP ，FG分别与边AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、B不重合) ，请判断PAEFPBEG?是否成 立

7、若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 【思路点拨】（2）证APMABE ，PMAPBEAB? 同理 : PNPBADAB? （3）证PH=BH且APMPBH 再证MEPEGF可得。 【学力训练】 1、（广东梅州）如图所示，在梯形ABCD中，已知ABCD， ADDB，AD=DC=CB，AB=4以AB所在直线为x轴，过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系 （1）求DAB的度数及A、D、C三点的坐标； （2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L （3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使?PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由） 2、（广东肇庆）已知点

8、A（a，1y）、B（2a，y2）、C（3a，y3）都在抛物线xxy1252?上. （1）求抛物线与x轴的交点坐标； （2）当a=1时，求ABC的面积； （3）是否存在含有1y、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由. 3、（青海西宁）如图，已知半径为1的1Oe与x轴交于AB，两点，OM为1Oe的切线，切点为M，圆心1O的坐标为(20)，二次函数2yxbxc?的图象经过AB，两点 （1）求二次函数的解析式； （2）求切线OM的函数解析式； （3）线段OM上是否存在一点P，使得以POA，为顶点的三角形与1OOM相似若存在，请求出所有 C O x A D

9、 P M E B N y y x O A B M O1 . 4 / 20 符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 4、（辽宁12市）如图，在平面直角坐标系中，直线 33yx ?与x轴交于点A，与 y轴交于点C，抛物线22 3(0)3yaxxca?经过ABC，三点 （1）求过ABC，三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标； （2）在抛物线上是否存在点P，使ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由 5、（四川资阳）如图，已知点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（

10、9，0），以AB为直径作O，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线 （1）求抛物线的解析式； （2）点E是AC延长线上一点，BCE的平分线CD交O于点D，连结BD，求直线BD的解析式； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得PDBCBD?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由 6、（辽宁沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的 负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且1AB?，3OB?，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60o后得到矩形EFOD点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线2yaxbxc?过

11、点AED， （1）判断点E是否在y轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式； （3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点OBPQ，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由 yxO DECFAB A O x y B F C . 5 / 20 7、（苏州市）如图，抛物线ya(x1)(x5)与x轴的交点为M、N直线ykxb 与x轴交于P(2，0)，与y轴交于C若A、B两点在直线ykxb上，且AO=BO =2，AOBOD为线段MN的中点，OH为RtOPC斜边上的高 (1)OH的长度等于_；k_，b_； (2)是否存

12、在实数a，使得抛物线ya(x1)(x5)上有一点E，满足以D、N、E为顶 点的三角形与AOB相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由)；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB·PG 210，写出探索过程 抛物线与几何问题的参考答案 【典型例题】 【例1】 (浙江杭州)（1） 平移2txy?的图象得到的抛物线F的顶点为Q, 抛物线F对应的解析式为:btxty?2)(. 抛物线与x轴有两个交点，0?bt. 令0?y, 得?tOBtb，?tOCtb, ?tOCOB(|

13、tb)( ?ttb)|?2|t 22|OAttb? , 即22tttb?, 所以当32tb?时, 存在抛物线F使得|2OCOBOA?.- 2分 (2) BCAQ/, bt?, 得F: ttxty?2)(, 解得1,121?txtx. 在?RtAOB中, 1) 当0?t时,由 |OCOB?, 得)0,1(?tB, 当01?t时, 由?ABOtan23?|OBOA?1?tt, 解得3?t, A H C B y -2 M O D N x P . 6 / 20 此时, 二次函数解析式为241832?xxy; 当01?t时, 由?ABOtan23?|OBOA ?1?tt, 解得?t53, 此时，二次函数

14、解析式为? ?y532x +2518x +12548. 2) 当0?t时, 由 |OCOB?, 将t?代t, 可得?t53?, 3?t, （也可由x?代x，y?代y得到） 所以二次函数解析式为 ?y532x +2518x 12548或241832?xxy. 【例2】(江苏常州) （1）4)2(422?xxxy A(-2,-4) （2）四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4) 四边形ABOP2为等腰梯形时，P1(5452?，) 四边形ABP3O为直角梯形时，P1(5854，?) 四边形ABOP4为直角梯形时，P1(51256?，) （3） 由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-

15、8,所以直线l的函数关系式是y=-2x 当点P在第二象限时，x<0, POB的面积xxSPOB4)2(421? AOB的面积84421?AOBS， . 7 / 20 )0(84?xxSSSPOBAOB 286264?S， ?286264SS 即?2868426484xx ?22412232Sx x 的取值范围是22322241?x 当点P在第四象限是，x>0, 过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A、P 则四边形POAA的面积 44)2(21)2(224?xxxxxSSSOPPAAP梯形PAAPO AAB 的面积42421?BAAS )0(84?xxSSSBAAAAPO 286264

16、?S， ?286264SS 即?2868426484xx ?21242223Sx x 的取值范围是21242223?x 【例3】（浙江丽水）（1）设OA所在直线的函数解析式为kxy?， A（2，4）， 42?k, 2?k, B OA P M x 2x? （第24题） . 8 / 20 OA所在直线的函数解析式为2yx? （2）顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动， 2ym?（0m2）. 顶点M的坐标为(m,2m). 抛物线函数解析式为2()2yxmm?. 当2?x时， 2(2)2ymm?224mm?（0m2）. 点P的坐标是（2，224mm?）. PB=224mm?=2(1)3m?， 又0m

17、2， 当1m?时，PB最短 （3）当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为?212?xy. 假设在抛物线上存在点Q，使QMAPMASS?VV. 设点Q的坐标为（x，223xx?）. 当点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PC/AO，交y轴于点C， 3PB?，4AB?， 1AP?，1OC?，C点的坐标是（0，1?）. 点P的坐标是（2，3），直线PC的函数解析式为1?x QMAPMASS?VV，点Q落在直线12?xy上. 223xx?=21x?. 解得122,2xx?，即点Q（2，3）. 点Q与点P重合. 此时抛物线上不存在点Q，使QMA与APM的面积相等.D yOABPMCE . 9 / 20

18、当点Q落在直线OA的上方时， 作点P关于点A的对称称点D，过D作直线DE/AO，交y轴于点E， 1AP?，1EODA?，E、D的坐标分别是（0，1），（2，5）， 直线DE函数解析式为12?xy. QMAPMASS?VV，点Q落在直线12?xy上. 223xx?=21x?. 解得：122x? ，222x?. 代入12?xy ，得1522y? ，2522y?. 此时抛物线上存在点?122,522Q? ，?225,222?Q 使QMA与PMA的面积相等. 综上所述，抛物线上存在点?122,522Q? ，?225,222?Q 使QMA与PMA的面积相等. 【例4】（广东省深圳市）（1）方法一：由已知

19、得：C（0，3），A（1，0） 将A、B、C三点的坐标代入得?30390ccbacba 解得：?321cba 所以这个二次函数的表达式为：322?xxy （2）存在，F点的坐标为（2，3） 易得D（1，4），所以直线CD的解析式为：3?xy E点的坐标为（3，0） . 10 / 20 以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 F点的坐标为（2，3）或（2，3）或（4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，3）符合 存在点F，坐标为（2，3） （3）如图，当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R）， 代入抛物线的表达式，解得2171?R 当直线MN在x轴下方时

20、，设圆的半径为r（r>0）， 则N（r+1，r）， 代入抛物线的表达式，解得2171?r 圆的半径为2171? 或2171? （4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q， 易得G（2，3），直线AG为1?xy 设P（x，322?xx），则Q（x，x1），PQ22?xx 3)2(212?xxSSSGPQAPQAPG 当21?x时，APG的面积最大 此时P 点的坐标为?415,21 ，827的最大值为APGS? 【例5】（山东济南） (1)设抛物线的解析式为2(1)3yax? 将A(1，0)代入: 20(11)3a? 34a? 抛物线的解析式为23(1)34yx?，即：2339424yxx?

21、（2 ）是定值，1PMPNBEAD? RRrr11NNMMABDOxy . 11 / 20 AB为直径， AEB=90°， PMAE， PMBE APMABE， PMAPBEAB? 同理: PNPBADAB ? + :1PMPNAPPBBEADABAB? （3） 直线EC为抛物线对称轴， EC垂直平分AB EA=EB AEB=90° AEB为等腰直角三角形 EAB=EBA=45° . 7分 如图，过点P作PHBE于H， 由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形， PH=ME且PHME 在APM和PBH中 AMP=PHB=90°， EAB=BPH=45

22、76; PH=BH 且APMPBH PAPMPBBH? PAPMPMPBPHME? 在MEP和EGF中， PEFG， FGE+SEG=90° MEP+SEG=90° FGE=MEP PME=FEG=90° MEPEGF PMEFMEEG? 由、知：PAEFPBEG? 【学力训练】 1、（广东梅州） （1） ?DCAB，AD=DC=CB， ? CDB=CBD=DBA， DAB=CBA， ?DAB=2DBA， DAB+DBA=90?， ?DAB=60?， DBA=30?，?AB=4， ?DC=AD=2， Rt?AOD，OA=1，OD=3， . 12 / 20 ?A（-

23、1，0），D（0， 3），C（2， 3） （2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A（1，0），B（3，0）， 故可设所求为 y=a （x+1）（ x-3） 将点D（0， 3）的坐标代入上式得， a =33? 所求抛物线的解析式为 y =).3)(1(33?xx 其对称轴L为直线x=1 （3） ?PDB为等腰三角形，有以下三种情况： 因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1，P1D=P1B， ?P1DB为等腰三角形； 因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3，DB=DP2，DB=DP3， ?P2DB， ?P3DB为等腰三角形； 与同理，L

24、上也有两个点P4、P5，使得 BD=BP4，BD=BP5 由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使?PDB为等腰三角形的点P有5个 2、（广东肇庆）（1）由5xx122?=0， （1分） 得01?x ，5122?x抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、 （512?，0） · （3分） （2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81）， 分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则有 ABCS?=SADFC梯形 -ADEBS梯形 -BEFCS梯形 =22)8117(? -21)4417(? -21)8144(? =5（个单位面积） （3）如：)(3123yy

25、y? 事实上，)3(12)3(523aay? =45a2+36a 3（12yy?）=35×（2a）2+12×2a-（5a2+12a） =45a2+36a )(3123yyy? 3、（青海西宁）（1）Q圆心1O的坐标为(20)，1Oe半径为1，(10)A?，(30)B，1分 . 13 / 20 Q二次函数2yxbxc?的图象经过点AB， ?可得方程组10930bcbc? 解得：43bc?二次函数解析式为243yxx? （2）过点M作MFx?轴，垂足为F OMQ是1Oe的切线，M为切点，1OMOM?（圆的切线垂直于经过切点的半径） 在1RtOOM 中，1111sin2OMOOM

26、OO? 1OOM?Q为锐角，130OOM?o 13cos30232OMOO?og， 在RtMOF 中，33cos30322OFOM?og 13sin30322MFOM?og ?点M 坐标为3322?， 设切线OM的函数解析式为(0)ykxk? ，由题意可知3322k? ，33k?切线OM 的函数解析式为33yx? （3）存在 过点A作1APx?轴，与OM交于点1P可得11RtRtAPOMOO（两角对应相等两三角形相似） y A H F M O P1 P2 O1 x B . 14 / 20 113tantan303PAOAAOP?og ，1313P?， 过点A作2APOM?，垂足为2P，过2P点

27、作2PHOA?，垂足为H 可得21RtRtAPOOMO（两角对应相等两三角开相似） 在2RtOPA中，1OA?Q ，23cos302OPOA?og， 在2RtOPH 中，22333cos224OHOPAOP?g， 222313sin224PHOPAOP?g ，23344P?， ?符合条件的P 点坐标有313?， ，3344?， 4、（辽宁12市） 解：（1）Q 直线33yx?与x轴交于点A，与y轴交于点C (10)A?， ，(03)C?， Q点AC，都在抛物线上， 23033acc? 333ac? ? 抛物线的解析式为2323333yxx? 顶点4313F?， （2 ）存在1(03)P? ，2

28、(23)P?， （3）存在 理由： 解法一： 延长BC到点B?，使BCBC?，连接BF?交直线AC于 点M，则点M就是所求的点 过点B?作BHAB?于点H A O x y B F C 图9 H B M . 15 / 20 BQ点在抛物线2323333yxx?上，(30)B?， 在RtBOC中，3tan3OBC? ?， 30OBC?o，23BC?， 在RtBBH?中，1232BHBB?， 36BHBH?，3OH?，(323)B?， 设直线BF?的解析式为ykxb? 233433kbkb? 解得36332kb? 33362yx? 3333362yxyx? 解得371037xy?， 310377M?

29、， ?在直线AC上存在点M，使得MBF的周长最小，此时31037M?， 5、（四川资阳） (1) 以AB为直径作O，交y轴的负半轴于点C， OCA+OCB=90°， 又OCB+OBC=90°， OCA=OBC， 又AOC= COB=90°， AOC COB， OAOCOCOB? 又A(1，0)，B(9，0)， 19OCOC?，解得OC=3(负值舍去) C(0，3)， 图10 . 16 / 20 图10答案图1 设抛物线解析式为y=a(x+1)(x9)， 3=a(0+1)(09)，解得a=13， 二次函数的解析式为y=13(x+1)(x9)，即y=13x283x3

30、(2) AB为O的直径，且A(1，0)，B(9，0)， OO=4，O(4，0)， 点E是AC延长线上一点，BCE的平分线CD交O于点D， BCD=12BCE=12×90°=45°， 连结OD交BC于点M，则BOD=2BCD=2×45°=90°，OO=4，OD=12AB=5 D(4，5) 设直线BD的解析式为y=kx+b（k0） 90,45.kbkb?解得1,9.kb? 直线BD的解析式为y=x9. (3) 假设在抛物线上存在点P，使得PDB=CBD， 设射线DP交O于点Q，则?BQCD? 分两种情况(如答案图1所示)： O(4，0)，

31、D(4，5)，B(9，0)，C(0，3) 把点C、D绕点O逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合， 因此，点Q1(7，4)符合?BQCD?， D(4，5)，Q1(7，4)， 用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=13x 193 解方程组211933183.33yxyxx?， 得1194229416xy?， ；229422941.6xy?， 点P1坐标为 (9412? ，29416?)，坐标为 (9412? ，29416?)不符合题意，舍去 Q1(7，4)， 点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2(7，4)也符合?BQCD? D(4，5)，Q2(7，4) 用待定系数法可求

32、出直线DQ2解析式为y=3x17 解方程组2317183.33yxyxx?，得1138xy?，；221425.xy?， 点P2坐标为(14，25)，坐标为(3，8)不符合题意，舍去 . 17 / 20 符合条件的点P有两个：P1 (9412? ，29416?)，P2(14，25) 6、（辽宁沈阳）（1）点E在y轴上 理由如下： 连接AO，如图所示，在RtABO中，1AB?Q ，3BO?，2AO? 1sin2AOB?，30AOB?o 由题意可知：60AOE?o 306090BOEAOBAOE?ooo Q点B在x轴上，?点E在y轴上 （2）过点D作DMx?轴于点M 1OD?Q，30DOM?o ?在

33、RtDOM 中，12DM? ，32OM? Q点D在第一象限， ?点D 的坐标为3122?， 由（1）知2EOAO?，点E在y轴的正半轴上 ?点E的坐标为(02)， 点A 的坐标为(31)?， Q抛物线2yaxbxc?经过点E， 2c? 由题意，将(31)A?， ，3122D?，代入22yaxbx?中得 . 18 / 20 33213312422abab? 解得89539ab? ? 所求抛物线表达式为：2853299yxx?（3）存在符合条件的点P，点Q10分 理由如下：Q矩形ABOC 的面积3ABBO?g ?以OBPQ， 为顶点的平行四边形面积为23 由题意可知OB为此平行四边形一边， 又3OB?Q OB