常见分布的期望与方差的计算

1、常见分布的期望与方差的计算 常见分布的期望与方差的计算 这些分布的期望和方差要求同学们熟记，以下是计算过程，供课下看。 1.01分布 已知随机变量x的分布律为 x 10 p p1 p 则有 e(x)=1 p+0 q=p, d(x)=e(x2) e(x) 2 =12 p+02 (1 p) p2 =pq. 2.二项分布 设随机变量x 听从参数为n, p 二项分布, (法一)设xi为第i 次试验中大事a 发生的次数，i=1,2,n则 x=xi i=1 n n 明显，xi 相互独立均听从参数为p 的01分布， 所以e(x)=e(xi)=np. i=1 d(x)=d(xi)=np(1 p). i=1 n

2、 (法二) x的分布律为 n k p x= k= p (1 p )n k, ( k= 0,1,2, n), k n n n k则有 e ( x )= k p x= k= k p (1 p )n k k=0 k k=0kn!= p k (1 p )n k k= 0 k ! ( n k )! np( n 1)!= p k 1 (1 p )( n 1) ( k 1) k=1 ( k 1)!( n 1) ( k 1)!n n ( n 1)!= np p k 1 (1 p )( n 1) ( k 1) k=1 ( k 1)!( n 1) ( k 1)!n = np p+ (1 p )n 1= np e

3、( x 2 )= e x ( x 1)+ x= e x ( x 1)+ e ( x ) k k= k ( k 1) p (1 p )n k+ np n k=0n k ( k 1)n! k p (1 p )n k+ np= k= 0 k !( n k )!n ( n 2)!= n( n 1) p p k 2 (1 p)( n 2 ) ( k 2 )+ np k= 2 ( n k )! ( k 2)!2 n = n( n 1) p 2 p+ (1 p )n 2+ np= ( n 2 n) p 2+ np. d( x )= e ( x 2 ) e ( x )2= ( n 2 n) p 2+ np (

4、 np )2 = np(1 p ) 3.泊松分布设 x( ),且分布律为 p x= k= kk! e , k= 0,1,2, 0. 则有 e( x )= k k=0 kk! e = e k=1 k 1( k 1)! =e e = e ( x 2 )= e x ( x 1)+ x = e x ( x 1)+ e ( x )= k ( k 1) k=0+ k k! e += 2e e+= 2+ . = 2e k=2 + k 2( k 2)! 所以 d( x )= e ( x 2 ) e ( x )2=2+ 2= 泊松分布的期望和方差都等于参数 . 4.匀称分布设 x u (a, b ),其概率密度

5、为 1, f ( x)= b a 0, a x b,其他 .b 1 1 e ( x )= xf ( x ) d x= x d x则有= (a+ b). a b a 2 d( x )= e ( x 2 ) e ( x )2 1 a+ b (b a ) 2= x dx = a b a 2 12b 2 2 5.指数分布设随机变量 x听从指数分布,其概率密度为 1 x e, f ( x )= 0, x 0, x 0.+ 其中 0.1 x x e dx 则有e ( x )= xf ( x ) d x= +0 = xe2 x+ 0 2 + e x d x0+ 2 + = d( x )= e ( x ) e

6、 ( x )=0= 2 2 2 1 x x e d x 2 =2 6.正态 分布设 x n (, 2 ),其概率密度为1 f ( x)= e 2( x )2 2 2 , 0, x+ . 则有 e ( x )= xf ( x ) d x + 1= x e 2+ ( x )2 2 2 d x. x 令= t x=+ t, 所以 1 e( x )= x e 2+ ( x )2 2 2 dx 1+= (+t)e 2 1= e 2=.t2+ 2 t2 2 dtt2 2 + dt+ te 2 dt d( x )= ( x ) f ( x ) d x2 + 1= ( x ) e d x. 2 x 令= t,得 t2 2 + 2 2 d( x )= t e dt 2 + t2 t2 2 + 2 2= te+ e dt 2 2= 0+ 2= 2 . 2+ 2 ( x )2 2 2 分 布 参数0 p1 n