经济数学在直角坐标系下的二重积分的计算PPT课件

1、( , )d( , )Df x yDzf x y 的的值值等等于于以以为为底底，以以曲曲面面为为曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,zyx)(0 xA),(yxfz )(1xy)(2xy21()()( , )dd( , )d .bxaxDf x yxf x yy 得ab0 x第1页/共39页dxdyyf(xba(x)(x),(21 注意: 1）上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算;2）积分次序: X-X-型域 先Y Y后X;X;3）积分限确定法: 域中一线插, 内限定上下， 域边两线夹，外限依靠它。为方便,上式也常记为： D Df f( (x x,

2、 ,y y) )d dx xd dy y “域中一线插”, , 须用平行于 轴的射线穿插区域. .第2页/共39页21()()( , )dd( , )d .dycyDf x yyf x yx 如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy Y型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D第3页/共39页 1 1）积分次序: : Y-Y-型域 , ,先x x后Y;Y;注意: 2 2）积分限确定法: :域中一线插, , 内限定上下， 域边两线夹，外限依靠它。 “域中一线插”, 须用平行于X轴的射线穿插区域 。.),(),()()(21 Ddcyydydxyxfdyxf 也可记为：也

3、可记为：第4页/共39页 X型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别使用积分公式.321 DDDD则必须分割.第5页/共39页 注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。利用直系计算二重积分的步骤（1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；（3）确定积分限，将二重积分化为二次定积分；（2）根据积分域类型,判定积分区域是X X型，Y Y型或必须分块处理；（4）计算两次定积分，

4、即可得出结果.第6页/共39页解法一解法一 X-型型解法二解法二 Y-型型2222211dd d2xxyIxxy yxx 34222119(2)d288xxxxx 2221111dd d2yyxIyxy xyy 34222119()d22848yyyyy X=YY=2X=1YX2112第7页/共39页解解两两曲曲线线的的交交点点 ),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy2()d dDxyx y 2120d()dxxxxyy122401()()d2xxxxxx .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 第8页/共39页解解只能用只能用 Y Y- -型型. . 210dyyey )1(

5、211 e第9页/共39页解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序22d dyDx ex y 21200ddyyyx ex 2310d3yyey 22120d6yyey ).21(61e 第10页/共39页例例5 计算二重积分计算二重积分 Dyxdxdye,其中区域其中区域D是是由由1, 0, 1, 0 yyxx围成的矩形围成的矩形.如图如图, 因为因为D是矩形区域是矩形区域, 且且,yxyxeee 所以所以 1010dyedxedxdyeyDxyx.)1()(21010 eeeyx解解:Oxy11D第11页/共39页例例6 6解：解：. 10, 11:.2 yxDdxyD其中其中计算计算

6、1D2D3D先去掉绝对值符号，如图 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 第12页/共39页D例7 7解：围成围成由由其中其中计算计算2 21 12 22 2 x xx xy yx xy yD Dd dy yx xD D,.X-型 xxDdyyxdxdyx1222122 2112dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxD），左左边边交交点点坐坐标标为为（11第13页/共39页例8求两圆柱222,xyR222Rzx所围成的体积V.xyzxyz第14页/共39页xyz解: 利用对称性, 只要求出

7、第一卦限的体积再乘以8即可.在第一卦限部分的立体是以曲面22xRz为顶,以RxxRyyxD0 ,0| ),(22为底的的曲顶柱体, 其体积为2222220018RRxDVRx dxdydxRx dy22302()3RRx dxR所以316.3VR第15页/共39页xy 1解解积分区域如图第16页/共39页解解先先改改变变积积分分次次序序.121()dxx eex .2183ee 2xy xy 第17页/共39页xy 222xxy 解解积分区域如图第18页/共39页axy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaay

8、dxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a第19页/共39页三、利用对称性和奇偶性三、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算化简二重积分的计算利用被积函数的奇偶性利用被积函数的奇偶性常常使二重积分的计算简化许多常常使二重积分的计算简化许多, ,避免出现繁琐避免出现繁琐的计算的计算. .但在使用该方法时但在使用该方法时, ,要同时兼顾到被积函要同时兼顾到被积函数数),(yxf的奇偶性的奇偶性面面, ,常用结论如下常用结论如下: :(1) 如果区域如果区域D关于关于y轴对称轴对称, ,则有则有)(a当当时时),(),(yxfyxf ),),(Dyx ; 0),( dxdyyxfDD的对称

9、性的对称性, ,及积分区域及积分区域D的对称性两方的对称性两方和积分区域和积分区域第20页/共39页)(b当当时时),(),(yxfyxf ),),(Dyx ,),(2),(1dxdyyxfdxdyyxfDD 其中其中).0,),( | ),(1 xDyxyxD(2) 如果区域如果区域D关于关于x轴对称轴对称, ,则有则有dxdyyxfD ),(,),(),(,),(2),(),(, 02 yxfyxfdxdyyxfyxfyxfD第21页/共39页例例13 计算计算 DdxdyyxxfyI,)(122其中积其中积分区域分区域 由曲线由曲线 与与 所围成所围成.D2xy 1 y解解令令),(),

10、(22yxxyfyxg 因为因为 关于关于 轴轴Dy且且),(),(yxgyxg 故故 Ddxdyyxxyf0)(22 DxydydxydxdyI1112.54)1(21114 dxx对称对称,第22页/共39页例例14求求,22dxdyyxID 其中其中. 1|:| yxD解解 因为因为 关于关于 轴和轴和 轴对称轴对称, ,Dxy且且,),(22yxyxf 于于 为偶函数为偶函数ydxdyyxID 1224 1010224xdyyxdx.451)1(341032 dxxx注注:则要繁琐很多则要繁琐很多.D若直接在若直接在 上求二重积分上求二重积分,x关于关于 或关或关Oxy1 1 11D1

11、第23页/共39页例例15计算计算 DdxdyxyI,)1(其中其中. 44:22 yxD解法一解法一 先对先对 积分积分y解法二解法二 先对先对 积分积分x解法三解法三 利用对称性与奇偶性利用对称性与奇偶性第24页/共39页例例15计算计算 DdxdyxyI,)1(其中其中解法一解法一 先对先对 积分积分,y积分区域积分区域:D,12121122 xyxx故故dyxydxIxx 11121222)1(dxxdxxyxx 1121212112142122Oxy1D.22411)1(322/32 x第25页/共39页例例15计算计算 DdxdyxyI,)1(其中其中. 44:22 yxD解法二解

12、法二 先对先对 积分积分,x积分区域积分区域:D,4214212222 yxyy故故.2)1(2242142122 dxxydyIyyOxy1D第26页/共39页例例15计算计算 DdxdyxyI,)1(其中其中. 44:22 yxD解法一解法一 先对先对 积分积分y解法二解法二 先对先对 积分积分x解法三解法三 利用对称性与奇偶性利用对称性与奇偶性第27页/共39页例例15计算计算 DdxdyxyI,)1(其中其中. 44:22 yxD解法三解法三故故利用对称性利用对称性,. DDdxdyxydxdyI Ddxdy.2 因为积分域因为积分域 关于关于 轴对称轴对称,Dx且函数且函数xyyxf

13、 ),(. 0 Dxydxdy所以所以又又.2 I关于关于 是奇函数是奇函数,xOxy1D第28页/共39页二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序积分次序）二、小结21()()( , )dd( , )d .bxaxDf x yxf x yy 21()()( , )dd( , )d .dycyDf x yyf x yx Y型X型第29页/共39页思考题思考题第30页/共39页改改变变积积分分次次序序.思考题解答思考题解答:100( )d( )d ,xf xxf yy 100( )d( )dyf yyf xx 110( )d( )dxf xxf yy ，第31页/共39页100( )d( )dxf xxf yy 1100( )d () ( )d xxf xxf yy11200( )d( )d.f xxf yyA第32页/共39页练练 习习 题题第33页/共39页第34页/共39页第35页