微积分解题方法选讲ppt课件

1、微积分解题方法选讲微积分解题方法选讲引引 言言1. 开课目的开课目的 中国数学会自中国数学会自2021年起于每年的年起于每年的10月月底举行全国大学生数学竞赛。底举行全国大学生数学竞赛。 在曾经举行的三届全国大学生数学竞在曾经举行的三届全国大学生数学竞赛中，安徽理工大学获得了较好成果。赛中，安徽理工大学获得了较好成果。 2021年，安徽理工大学成为安徽赛区年，安徽理工大学成为安徽赛区的三个考点之一。的三个考点之一。 前前3年的竞赛选拔、培训均从年的竞赛选拔、培训均从9月份开月份开始，时间比较匆忙，致使选拔环节存在不少问题，培训也不太充分。 适逢学校实行学分制，各院系可以自主开设各类公共选修课。

2、教务处破例允许数学系对一年级学生开设 “ 微积分解题方法选讲 公选课，目的是及早进展数学竞赛的选拔、培训，使选拔和培训任务更合理、充分，力争安徽理工大学在全国大学生数学竞赛中获得更好成果。2. 授课方式授课方式 由于上课的学生较多，不能够像正式由于上课的学生较多，不能够像正式培训那样为每个学生提供纸质资料，修正培训那样为每个学生提供纸质资料，修正作业。作业。 本课程拟采用如下授课方式：本课程拟采用如下授课方式： (1) 学生按教师要求对下次授课所涉及学生按教师要求对下次授课所涉及到的概念、方法进展复习；到的概念、方法进展复习； (2) 教师在课堂上对重点问题、重要标教师在课堂上对重点问题、重要

3、标题进展详细讲解，学生做相应课堂练习；题进展详细讲解，学生做相应课堂练习； (3) 课后学生要仔细研读课堂所讲内容,独立动手演算例题，仔细完成作业； 作业每周交一次，次周会对作业进展讲评； (4) 本课程将有两次单元检验和一次最终的选拔考试。 本课程的PPT及相关电子资料见信箱: austmathmodeling163 MM: matlabmaple3. 授课内容及特点授课内容及特点 思索到与学生如今所学高数内容的衔思索到与学生如今所学高数内容的衔接，本课程只讲授高数下内容，包括：空接，本课程只讲授高数下内容，包括：空间解析几何，多元函数微积分及其运用，间解析几何，多元函数微积分及其运用，级数

4、和常微分方程。级数和常微分方程。 由于本课程属竞赛培训性质，根据竞由于本课程属竞赛培训性质，根据竞赛要求，本课程的授课内容有如下特点：赛要求，本课程的授课内容有如下特点： (1) 宽宽本课程要引见一些课本上没本课程要引见一些课本上没有涉及到的内容，如重积分的换元法，正有涉及到的内容，如重积分的换元法，正项级数的广义比较审敛法等； (2) 难本课程所讲例题及作业大部分难度较大； (3) 繁部分标题中的计算相当繁琐,如多元微分学中的变量代换, 多元积分学中的运用问题等。4. 课程考核及最终选拔课程考核及最终选拔 由于本课程实践上是为数学竞赛选拔由于本课程实践上是为数学竞赛选拔而专门开设的公选课，所

5、以本课程的考核而专门开设的公选课，所以本课程的考核方式是最终的选拔赛。方式是最终的选拔赛。 正式参赛的正式参赛的50名学生将根据选拔赛成名学生将根据选拔赛成果、单元检验成果、期末成果及完成作业果、单元检验成果、期末成果及完成作业情况而选拔产生。正式名单放假前公布。情况而选拔产生。正式名单放假前公布。 欢迎名单外的学生参与听课、选拔、欢迎名单外的学生参与听课、选拔、参赛。参赛。一、空间解析几何一、空间解析几何 空间解析几何不是全国大学生数学竞赛的重点内容，所占比例很小。有时仅将此内容与多元函数微分学几何运用、多元函数积分学结合调查，并不单独命题。 空间解析几何重点要掌握的内容是：旋转曲面方程；点

6、到直线的间隔；异面直线间的间隔；异面直线的公垂线方程。1. 旋转曲面方程旋转曲面方程 本部分要求了解、掌握建立旋转曲面本部分要求了解、掌握建立旋转曲面方程的思绪和方法，特别要留意空间曲线方程的思绪和方法，特别要留意空间曲线绕非坐标轴旋转而成的旋转曲面。绕非坐标轴旋转而成的旋转曲面。 例例1 设曲线设曲线L是抛物柱面是抛物柱面 x=2y2与平面与平面 x+z=1的交线。的交线。 (1) 求曲线求曲线L在各坐标面上的投影曲线在各坐标面上的投影曲线; (2) 求曲线求曲线L分别绕各坐标轴旋转一周分别绕各坐标轴旋转一周而成的旋转曲面方程。而成的旋转曲面方程。 如图，设旋转曲面S上某一点M(x,y,z)

7、由空间曲线C上点 M1(x0,y0,z0)绕z轴旋转所生成。根据旋转曲面的概念，z= z0，且这两点到z轴的间隔相等。 将C写为z的参数方程再令 ，即得旋转曲面方程 00000,xxzyyzzz222200 xyxy 222200 xyxzyz 例2 求直线 绕z轴旋转一周所得旋转曲面方程。 练习1 求直线 在平面 上的投影绕y旋转而成的旋转曲面方程。 练习2 求直线 绕直线 l0: x=y=z 旋转一周所得旋转曲面方程。 1:011xyzl1:122xyzl11:111xyzL:210 xyz 2. 点到直线的间隔点到直线的间隔 点到直线的间隔是诸如转动惯量等问点到直线的间隔是诸如转动惯量等

8、问题的根底。题的根底。 设设M0为直线为直线L外一点，外一点，M是是L上一点，上一点，且且L的方向向量为的方向向量为s，试证：，试证：M0到到L的间隔的间隔证证 ， 0dMMss00sinMMss MM 0MMsdss d第一周作业第一周作业 1. 研读本研读本PPT，独立完成，独立完成一切例题。一切例题。 2. 完成第一部分的完成第一部分的6 个练个练习和第二部分的练习习和第二部分的练习1。 3. 预研第二部分的例预研第二部分的例4和例和例5。 4. 预习多元隐函数求导内预习多元隐函数求导内容。容。 例例3 求点求点 到直线到直线的间隔。的间隔。 练习练习3 用三种方法求用三种方法求 到直线

9、到直线的间隔。的间隔。3,:327xylxyz 1, 0,1P01,1, 0M2330,:0yzLxy3. 直线到直线的间隔直线到直线的间隔 直线到直线的间隔问题是空间解析几直线到直线的间隔问题是空间解析几何中比较重要的问题。在计算前最好用混何中比较重要的问题。在计算前最好用混合积判别一下两直线是平行还是异面。合积判别一下两直线是平行还是异面。 例例4 求两直线求两直线间的间隔。间的间隔。12112:,01311:122xyzLxyzL 练习4 用三种方法求两直线间的间隔。120,213:,:0421xyxyzllz4. 求异面直线的公垂线方程求异面直线的公垂线方程 求异面直线的公垂线方程也是

10、空间解求异面直线的公垂线方程也是空间解析几何中比较重要、有一定难度的问题。析几何中比较重要、有一定难度的问题。 例例5 求两直线求两直线的公垂线方程。的公垂线方程。1231:,2012:10 xzLyxyLz 练习5 用两种方法求两直线的公垂线方程。 练习6 平面经过两直线的公垂线L，且平行于向量c=1,0,-1，求此平面。129272:,:431292xyzxyzLL1212531:,:121132xyzxyzLL二、多元函数微分学及运用二、多元函数微分学及运用 多元函数微分学及其运用是竞赛中比较重要的内容，比例约占15% 。 多元函数微分学及其运用重点要掌握的内容是：复合函数和隐函数求导法

11、；几何运用；多元函数极值。要特别留意几何运用、多元函数极值与其它内容相结合的综合问题 。1. 偏导数与可微的概念偏导数与可微的概念 本部分要求了解多元函数延续、偏导本部分要求了解多元函数延续、偏导数、微分等概念及其相互关系；掌握用定数、微分等概念及其相互关系；掌握用定义判别偏导存在、可微的方法。义判别偏导存在、可微的方法。有极限连续偏导存在可微偏导连续 例例1 证明证明 在在(0,0)处延续、偏导数存在，但不可微。处延续、偏导数存在，但不可微。 练习练习1 证明证明在在(0,0)处可微，但偏导并不延续。处可微，但偏导并不延续。222222221sin,0,0,0 xyxyxyf x yxy22

12、222222sin,0,0,0 xyxyxyf x yxyxy2. 多元复合函数偏导数的计算多元复合函数偏导数的计算 本部分要求熟练掌握多元复合函数偏本部分要求熟练掌握多元复合函数偏导数的计算，特别要留意二阶偏导数的计导数的计算，特别要留意二阶偏导数的计算以及自变量的变换问题。算以及自变量的变换问题。 例例2 设设 ，其中，其中f 可微，求可微，求 此题要特别留意计算中能够的错误。此题要特别留意计算中能够的错误。22yzf xy11zzx xy y 例例3 设设 求求 。 (1) 在计算多层复合函数的偏导时，最在计算多层复合函数的偏导时，最好先根据函数树图搞清函数的复合构造。好先根据函数树图搞

13、清函数的复合构造。 (2) 当复合层次较多时，利用全微分方当复合层次较多时，利用全微分方式不变性求偏导数较方便且不易错。式不变性求偏导数较方便且不易错。 , ,uf x y zyx ttx z,uuxy 例例4 设变换设变换 可把方程可把方程简化为简化为 ，其中，其中 二阶偏导延续，求常数二阶偏导延续，求常数a。 注注 此类题的关键是将新引入的变量此类题的关键是将新引入的变量u, v作为中间变量，然后利用复合函数求导法作为中间变量，然后利用复合函数求导法计算；难点是二阶偏导数的计算。计算；难点是二阶偏导数的计算。 2222260zzzx yxy 2 ,uxyvxay20zu v ,zz x y

14、 例例5 设设 一阶偏导延一阶偏导延续，做变换续，做变换 ，证明：，证明： 例例6 设设 ，将，将以下方程变换为以下方程变换为w=w(u,v)的方程的方程其中其中z(x,y)二阶偏导延续。二阶偏导延续。,uu x yvv x y,1,1.uxvyurrvuyvxvrru cos ,sinxryr,uxy vxy wxyz2222220zzzx yxy 练习练习2 设变换设变换 将方程将方程 化为化为 ，求，求a并解并解此方程，其中此方程，其中z(x,y)二阶偏导延续。二阶偏导延续。 练习练习3 设设 ，u(x,y)二阶偏导延续。二阶偏导延续。 (1) 将将 分别分别变换为极坐标变换为极坐标 下

15、的表达式；下的表达式；2222102zzzyyxy,2uxayvxy20zu v cos ,sinxryr221222,uuuuxyyxxy, r (2) 设设 ，解方程，解方程 。 练习练习4 试用变量代换试用变量代换将将 的方程的方程化为化为 的方程。的方程。0u22220uuxy,xuvx wxzyy,zz x y22212zzzxyxx yyxyy ,ww u v3. 隐函数求导法隐函数求导法 隐函数求导法是竞赛中常考内容。本隐函数求导法是竞赛中常考内容。本部分要求熟练掌握各种方式隐函数一阶和部分要求熟练掌握各种方式隐函数一阶和二阶偏导数的计算。二阶偏导数的计算。 例例7 设设 由方程

16、由方程 确定，求确定，求 。 ,zz x y,0zzF xyyx,zzxy第二周作业第二周作业 1. 研读本研读本PPT中的新内容，中的新内容，独立完成一切例题。独立完成一切例题。 2. 完成第二部分的练习完成第二部分的练习210。 此题为隐函数求导中的典型问题，通常有三种做法：(1) 公式法；(2) 两边求导法；(3) 微分法。思索到学生的计算才干，建议采用公式法。 例8 设y=f(x,t)，而t是由方程F(x,y,t)= 0所确定的x,y的函数，其中f, F均一阶偏导延续，证明： fFfFdyxttxfFFdxtyt 练习5 设z=z(x,y)是由确定的具有延续二阶偏导的隐函数，且F1 =

17、F20。求证：(1) ；(2) 。 此题为第3届预赛试题。 11,0F zzxy220zzxyxy22233220zzzxxy xyyx yxy 练习6 设z=f(u,v) 二阶偏导延续，且又x=x(y,z)是由z=f(x,y)确定的函数，求 222222,0,0 xzzzfx yx yxy 222222xxxy zyz 4. 多元函数微分法的几何运用多元函数微分法的几何运用 多元函数微分法的几何运用在竞赛中多元函数微分法的几何运用在竞赛中往往与多元函数的极值、线面积分等内容往往与多元函数的极值、线面积分等内容综合调查。综合调查。 例例9 求曲线求曲线 在点在点P (1,1,1)处的切线与法平

18、面方程。处的切线与法平面方程。 例例10 证明证明: 曲面曲面F(ax+bz,by+cz)=0的切的切平面均平行于某定直线，平面均平行于某定直线，F一阶偏导延续。一阶偏导延续。22230,23540 xyzxxyz 练习练习7 过点过点(2,0,0)引曲面引曲面 的切线，求全部切线组成的曲面。的切线，求全部切线组成的曲面。 练习练习8 证明证明: 曲面曲面 的切的切平面均过一定点，平面均过一定点，f一阶偏导延续。一阶偏导延续。,0 xa ybfzc zc222149yzx 5. 多元函数的极值多元函数的极值 多元函数的极值几乎是竞赛中的必考多元函数的极值几乎是竞赛中的必考内容，通常与几何运用、

19、多元函数积分学内容，通常与几何运用、多元函数积分学的运用等内容综合调查。的运用等内容综合调查。 例例11 抛物面抛物面 被平面被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短间隔。短间隔。 例例12 求椭球面求椭球面 在第一卦在第一卦限的点，使该点切平面被三坐标面截出的限的点，使该点切平面被三坐标面截出的22zxy22231xyz三角形的面积最小。 练习9 在椭球面 上求一点，使函数 在该点沿方向 的方导游数最大。 练习10 设锥面 ，平面 ，求以点P为中心与相切的球面方程及切点坐标，其中P是S上到间隔最小的点。22:44S zxy:222xyz2

20、22221xyz222, ,f x y zxyz1, 1,0l 三、多元函数积分学及运用三、多元函数积分学及运用 多元函数积分学及其运用是竞赛中非常重要的内容，比例约占15% 。 对多元函数积分学及其运用部分，除了要熟习重积分、两类线面积分的计算方法外，要特别留意Green公式 (积分与途径无关) 和Gauss公式、多元函数积分学的物理运用(质心、转动惯量、功)。1. 重积分的计算及运用重积分的计算及运用 本部分要求熟练掌握二重和三重积分本部分要求熟练掌握二重和三重积分的各种计算方法，熟习重积分在几何和物的各种计算方法，熟习重积分在几何和物理上的运用。此外，最好还要知晓重积分理上的运用。此外，

21、最好还要知晓重积分的轮换对称性和换元法。的轮换对称性和换元法。 下面首先以二重积分为例引见轮换对下面首先以二重积分为例引见轮换对称性和换元法。称性和换元法。 (1) 轮换对称性 假设D和D1关于y=x对称，那么 假设D关于y=x对称，那么 轮换对称性在计算某些特殊二重积分时有着特别的作用。( , )( , )DDf x y df y x d1( , )( , )DDf x y df y x d 例1 计算积分其中 。 注 此题也可用通常方法计算。 例2 求 ，其中f (t)为定义在 上的延续正值函数，a0, b0， 。 注 此题无法用普通方法计算。4sinDxyd:02 , 02Dxy Daf

22、 xbfyIdf xfy:1Dxy, 例例3 设设f (x)在在0,1上正值递减，试证上正值递减，试证 注注 此题的关键是将其转换为二重积分此题的关键是将其转换为二重积分问题。问题。 1122001100 xfx dxfx dxxf x dxf x dx (2) 二重积分的换元法 假设变换x=x(u,v), y=y(u,v)将uOv面上的区域变成xOy面上的区域D，那么其中， 为Jacobi行列式。 例4 计算 注 此题是典型的换元法。( , ),Df x y dxdyfx u vy u vJ dudv,:0,0,1yx yDedxdy D xyxy,x yJu v第三周作业第三周作业 1.

23、研读本研读本PPT中的新内容，中的新内容，独立完成一切例题。独立完成一切例题。 2. 完成第三部分的练习完成第三部分的练习110。 例例5 设设f (x)延续，证明延续，证明其中其中 。 例例6 设设f (x)延续，证明延续，证明其中其中 。 注注 此题与练习此题与练习7类似，难度较大，所类似，难度较大，所用方法也较为独特。用方法也较为独特。 11Df xy dxdyf u du:1Dxy1222121Df axbyc dxdyu fab uc du2222:1,0D xyab 解解 根据题意，令根据题意，令 ，即，即思索到这相当于将向量思索到这相当于将向量(x,y)T顺时针旋转了顺时针旋转了

24、，故令，故令 ，即，即这相当于将向量这相当于将向量(u,v)T逆时针旋转了逆时针旋转了。 (相关内容见线性代数教材相关内容见线性代数教材P49)22cossinaxbyuxyab22axbyab ucossin ,sincos ,xuvyuvsincosvxy 而D变为 ，故cossin,1sincos,x yJu v221:1Duv122DDf axbyc dxdyfab uc J dudv22112211uufab uc dudv1222121u fab uc du (3) 重积分的计算与运用 数学竞赛中单独调查重积分计算的能够性较小，往往与多元函数极值、几何与物理运用等问题相结合。 例7

25、 求其中 。 例8 求其中 。xyz dv222xyzxz edv222:14, , ,0 xyzx y z2222:,0 xyzRz 例例9 求求 例例10 设抛物面设抛物面 及圆柱及圆柱面面 。 (1) 求求 的一个切平面，使它与的一个切平面，使它与 及及 围成的立体围成的立体 的体积最小。的体积最小。 (2) 当由当由(1)确定的最小体积的立体确定的最小体积的立体 上上有质量分布，其密度为有质量分布，其密度为1，求，求 的质心。的质心。222222222,:1xyzxyzdvabc222:11xy221:1zxy 11200 练习1 计算积分其中 。 练习2 求 ，其中 练习3 证明：m

26、in,Dx y d:1, ,0D xyx yxyDIeed:1Dxyln 11,:12,12ln 1DydxdyDxyx 练习练习4 求求 练习练习5 计算计算其中其中D由直线由直线x+y=1与两坐标轴所围三角形与两坐标轴所围三角形区域。区域。 此题为第一届预赛第此题为第一届预赛第1题。题。ln 11Dyxyxdxdyxycos,:0,0,1Dxydxdy D xyxyxy 练习练习6 证明：证明： 练习练习7 证明：证明：其中其中 。 此题与第此题与第3届预赛中的一个难题类似。届预赛中的一个难题类似。1222211f axbycz dvufabc u du 222222,:1Df xy dx

27、dyf uu duD xy222222:1,0 xyzabc 练习练习8 求求 练习练习9 求求其中其中 为常数。为常数。 练习练习10 设曲面设曲面 。(1) S1将将 S2分成三块，求这分成三块，求这三块曲面面积。三块曲面面积。(2) 记记 ，求求 位于位于S1内部分的体积内部分的体积V。2222222,:lxmynzdvxyzR22222,:xyzdvxyzR,l m n22212:13,:SzxySx2225yz222:25xyz2. 线面积分的计算及运用线面积分的计算及运用 本部分要求熟练掌握两类线面积分的本部分要求熟练掌握两类线面积分的计算方法，熟习第计算方法，熟习第1, 2类线积

28、分及第类线积分及第1类面类面积分在物理上的运用，特别要留意格林公积分在物理上的运用，特别要留意格林公式和高斯公式及其运用问题。式和高斯公式及其运用问题。 这里还要提示各位，两类线积分特别这里还要提示各位，两类线积分特别是两类面积分间的联络在求解特定问题时是两类面积分间的联络在求解特定问题时会起到特殊的作用。会起到特殊的作用。 (1) 线积分的计算与格林公式 例1 设曲线 是球面 与平面 的交线，试求 。 例2 设 ，L为D的正向边境，试证： 注 此题与第一届真题类似，但后一问做法有所不同。2221xyz1xyz2xyds,01, 01Dx yxysinsinsinsin2yxyxLLxedyy

29、edxxedyyedx 例例3 设函数设函数 导数延续，在围绕原点导数延续，在围绕原点的恣意光滑的简单闭曲线的恣意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分上，曲线积分的值为常数。的值为常数。 (1) 设设L为正向闭曲线为正向闭曲线 ，证明证明 (2) 求函数求函数 。 x 422Cxydxx dyxy2221xy 4220Lxydxx dyxy x (3) 设设C是围绕原点的光滑简单正向闭是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求曲线，求 注注 此题为真题。此题为真题。 例例4 求求 ，其中，其中L为自为自A(-1,0)沿沿y=x2-1至至B(2,3)的曲线弧。的曲线弧。 注注 此题为习题集上许多学生疑惑的一此

30、题为习题集上许多学生疑惑的一个问题。个问题。 422Cxydxx dyxy22Lxdyydxxy 例例5 设函数设函数 导数延续，对平导数延续，对平面上任一分段光滑的曲线面上任一分段光滑的曲线L，曲线积分，曲线积分I = 与途径无关。与途径无关。 (1) 当当 时，求时，求 (2) 设设L为从点为从点O(0,0)到到 的分段的分段光滑曲线，计算光滑曲线，计算I。 注注 此题为与微分方程结合的典型题。此题为与微分方程结合的典型题。 ,xx 22222Lxyydxxyxyxydy 02,01 ,xx,2N 例例6 设设 在在 上导数延续，求上导数延续，求其中其中L是从点是从点 到点到点B(1,2)

31、的直线段。的直线段。 注注 请留意此题的解题思绪。请留意此题的解题思绪。 , 22211Ly f xyxdxy f xydyyy23,3A f x (2) 面积分的计算与高斯公式 例7 设S是椭球面 的上半部分 ， 为S在P点处的切平面， 为原点到 的间隔，求 注 此题为常见综合题。222122xyz0z ,PS, ,x y z3, ,SIzx y z dS 例例8 设设S是上半椭球面是上半椭球面 点点 ， 为为S在在P点处的切平面，点处的切平面， 为原点到为原点到 的间隔，求的间隔，求 (1) (2) 注注 留意问题留意问题(2)中所用内容。中所用内容。2221022xyzz, ,P x y zS1, ,SzIdSd x y z, ,d x y z22()1, ,SIdydzdzdxdxdydx y z上 例例9 计算曲面积