数学中的恒成立与有解问题

1、 数学中的恒成立与有解问题一、恒成立问题 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 常用方法 1、分离变量法；2、数形结合法；3、利用函数的性质；4、变更主元等；1、由二次函数的性质求参数的取值范围例题1.若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.解题思路：结合二次函数的图象求解解析：当时,不等式解集不为,故不满足题意;当时,要使原不等式解集为,只需,解得 综上,所求实数的取值范围为2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围例题2：已知二次函数满足，而且，请解决下列问题（1） 求二次函数的解析式。（2） 若在区间上恒成立 ，求的取值范围。解题思路：先分

2、离系数,再由二次函数最值确定取值范围.解析：(1)设.由得,故. 即,所以,解得 (2)由(1)知在恒成立,即在恒成立.令,则在上单调递减.所以在上的最小值为.所以的取值范围是.规律总结：对一切恒成立,则;对一切恒成立,则；注意参数的端点值能否取到需检验。二、有解问题3、方程的有解问题例题3：题干与例题2相同（1） 同例题2.（2）若在区间上恒成立 ，求的取值范围。解题思路：先分离系数,再由二次函数值域确定取值范围.解析：(1)解法同例题2(2)由(1)知在恒成立,即在恒成立.令,则在上单调递减.所以在上的最大值为，最小值为，所以的取值范围是。规律总结：若方程在某个区间上有解只需求出在区间上的

3、值域A使。4、不等式的有解问题例题4题干与例题2相同（1） 同例题2.推荐精选（2） 若在区间上有解 ，求的取值范围。解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.解析：(1)解法同例题2(2)由(1)知在有解,即在有解令,则在上单调递减.所以在上的最大值为.所以的取值范围是。.规律总结：在区间内有解,则;在区间内有解,则；注意参数的端点值能否取到需检验。一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x

4、+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在0,4内关于p的一次函数大于0恒成立的问题解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意由题设知当0时f(p)>0恒成立，f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1x的取值范围为x>3或x<-1二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量

5、和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。三、数形结合对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的 例3设，若不等式恒成立，求a的取值范围 分析与解：若设函数，则，其图象为上半圆设函数，其图象为直线在同一坐标系内作出函数图象如图，依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心到直线推荐精选的距离且时成立，即a的取值范围为 例5、不等式(x-1)2<logax 在x(1,2)上恒成立，求a的取值范围。xyo12y1=(x-1)2y2=logax分析：这种类型的不等式

6、对高中学生来说直接求解是很困难的，所以一般来说采用数形结合的方法。 解：设y1=(x-1)2,y2=logax,如右图所示 要使对一切x(1,2),y1<y2恒成立，显然须a>1, 且loga21。1<a2四、分类讨论当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。例4当时，不等式恒成立，求a的取值范围解：（1）当时，由题设知恒成立，即，而 解得（2）当时，由题设知恒成立，即，而 解得a的取值范围是已知函数的单调性求参数范围问题方法：转化为不等式的恒成立问题:即“若函数单调递增,

7、则;若函数单调递减,则 ”来求解.例：若函数在上单调递减,求实数的取值范围. 思路点拨: 先求出导函数,再利用导数与单调性的关系或转化为恒成立问题求解. 解析：方法一：由在上单调递减知，即在上恒成立, 即在上恒成立.故只需, 故. 综上可知，的取值范围是3,+).推荐精选 方法二：当时，,故在上单调递增，与在 上单调递减不符，舍去. 当时，由得x0，即的单调递减区间为，与 在上单调递减不符，舍去. 当时，由得0x，即的减区间为，由在 上单调递减得,得a3. 综上可知，的取值范围是3,+).练习3(2012·许昌模拟)若不等式ax2bx20的解集为，则ab （ ）A28 B26 C28

8、 D26解析x2，是方程ax2bx20的两根，a4，b7.ab28.答案C7. 若不等式的解集中的整数有且仅有1,2,3，则的取值范围是 .8. 设函数，则的最小值是 3 ，若，则的取值范围是 . 9.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为 （ B ）A. B. C. D.10不等式ax22ax10对一切xR恒成立，则实数a的取值范围为_解析当a0时，不等式为10恒成立；当a0时，须即0a1，综上0a1.答案0,112. 已知关于的不等式0的解集是.则 .【解析】由不等式判断可得a0且不等式等价于由解集特点可得答案：-214.已知不等式ax24xa12x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值

9、范围推荐精选审题视点 化为标准形式ax2bxc0后分a0与a0讨论当a0时，有解原不等式等价于(a2)x24xa10对一切实数恒成立，显然a2时，解集不是R，因此a2，从而有整理，得所以所以a2.故a的取值范围是(2，) 不等式ax2bxc0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a0时，b0，c0；当a0时，不等式ax2bxc0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a0时，b0，c0；当a0时，【训练2】 当x(1,2)时，不等式x2mx4<0恒成立，则m的取值范围是_解析法一当x(1,2)时，不等式x2mx4<0可化为：m<，又函数f(x)在(1,2)上递增，则f(x)>

10、5，则m5.法二设g(x)x2mx4当，即m3时，g(x)g(2)82m，当，即m3时，g(x)g(1)5m由已知条件可得：或解得m5答案(，515.若a1,3时,不等式ax2+(a-2)x-2>0恒成立，求实数x的取值范围.15. 【解析】设f(a)=a(x2+x)-2x-2，则当a1,3时f(a)>0恒成立.推荐精选得x>2或x<-1.实数x的取值范围是x>2或x<-1.1.（不等式选做题）若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 【分析】先确定的取值范围，再使得能取到此范围内的值即可【解】当时，；当时，；当时，；综上可得，所以只要，解得或，即实数的

11、取值范围是【答案】.1不等式对一切R恒成立，则实数a的取值范围是_解析：不等式对一切R恒成立, 即 对一切R恒成立若=0,显然不成立若0，则 2.若不等式x2ax1³0对于一切xÎ（0，）成立，则a的取值范围是（ ）A0 B 2 C- D-3解析：设f（x）x2ax1，则对称轴为x,若³，即a£1时，则f（x）在0，上是减函数，应有f（）³0Þ£x£1若£0，即a³0时，则f（x）在0，上是增函数，应有f（0）1>0恒成立，故a³0若0££，即1£a

12、£0，则应有f（）恒成立，故1推荐精选£a£0 综上，有£a,故选C 4、已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围_（答：）3、若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围_（答：（,）；5、若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.（答：）1已知yx3bx2(b2)x3是R上的单调增函数，则b的取值范围是() Ab1或b2 Bb2或b2 C1b2 D1b2 解析D由题意，得yx22bxb20在R上恒成立，4b24(b2)0， 解得1b2.2函数f(x)x3(2a)x22ax5在区间1,1上不单调，则a的取值范围是_ 解析f(x)x2(2a)x2

13、a(x2)(xa)0的两根为x12，x2a.若f(x)在1,1 上不单调，则1<a<1. 3已知a>0，函数f(x)x3ax在1，)上是单调增函数，则a的最大值是_ 解析由题意知，f(x)3x2a在1，)上有3x2a0恒成立，a(3x2)min，而 (3x2)min3，a3.4已知f(x)exax1. 若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围 解析 f(x)exax1， f(x)exa.f(x)在R上单调递增， f(x)exa0恒成立，即aex，xR恒成立 xR时，ex(0，)，a0. 即a的取值范围为(，0 5函数f(x)mx5在区间2，)上是增函数，则f(1)的取值

14、范围是_ 解析由题意知2，m16，f(1)9m25. 6.已知函数在R上是减函数，求实数a的取值范围 解由题意得f(x)3ax26x1.若f(x)在R上是减函数， 则(xR)恒成立， 解得a3. 故实数a的取值范围是(，3推荐精选 7.已知函数在(，1上是增函数，试求实数a的取值范围 解析f(x)3x22ax1，由于函数f(x)在(，1上是增函数， 当x(，1时，(在个别点f(x)可以为0)恒成立， 即3x22ax10在x1时恒成立令g(x)3x22ax1， 4a2120或， 即a23或 a23，即a. 故a的取值范围是，1已知函数若在区间是增函数，求实数的取值范围。解： ，要使在区间是增函数，只需当时，恒成立，即，则恒成立，故当时，在区间是增函数。3.（2009江西卷文）设函数 （1）对于任意实数，恒成立，求的最大