2021-2021学年第1学期线性代数B1期终考试试卷

1、2021-2021学年第1学期线性代数b1期终考试试卷 西南交通高校 20212021 学年第(一)学期考试试卷 课程代码 2100024 课程名称 线性代数b 考试时间 120 分钟 留意：1答题前，请在密封线内清晰、正确地填写班级、学号、姓名； 2请将推断题、填空题和选择题的答案填写在指定的位置，写在其它地方不得分。 一、推断题（ 每小题 3 分，共 12 分；正确的打“”，错误的打“” ） 1、若向量组 1, 2, , r 线性相关，则向量组 1, 2, , m(r m) 线性相关。（ ） 2、(a b)2 a2 2ab b2 。（ ） 3、设 1, 2是对称矩阵a的两个相同的特征值，

2、1, 2是对应于 1, 2的特征向量，则 1和 2肯定线性相关。（4、v x (xt 1,x2, ,xn)|x1 2x2 nxn 0,xi ri 1,2, ,n 是向量空间。（ ）二、填空题（每空3分，共15分） 2x 1 1 5、求函数f(x) x xx中x3 的系数为 ； 1 2 x 6、设 (1 23), (3 2 1)t ，则 = ； 1 2347、已知四阶行列式d 5678 4 4 4 4，则 a11 a12 a13 a14 ； 1 2 3 8、若n元非齐次线性方程ax b有唯一解，则它对应的齐次线性方程ax 0 ； （填写“只有零解”或“有非零解”） 9、设a为n阶方阵，且a2 a

3、 7e 0，则 a 2e 1 三、选择题（每小题3分，共18分） 10、设 2 xy x 6 4x y 01 11 1 ，则（ ） 1 （a） x 4y 10 （b） x 10y 4 （c） x 1 y 1 （d） x 0 y 1 100 200 1、矩阵a 0 01 030 ，则 a 1 =（ ） 01 0 0 4 ） 1 2 （a） 0 0 1 （c） 0 0 001 013 00 1 0 0 1 20 （b） 0 01 4 013 1 0014 0 13 0 0 （d） 0 4 2 0 0 12、设 a、b均为n阶方阵，下列各式正确的是( ). (a) | a| |a|； (b) (ab

4、)(c) (ab) t t t 1 b 1 a 1 ； ba； (d)|a b| |a| |b|. 12 13、设3阶可逆方阵a，且a ，则(2a) 1 5a * （ ）； （a） 4 （b） -4 （c） 16 （d） -16 14、已知 3 阶方阵a的特征值为 1，-2，3，则 a* a2 =（ ）; （a） -245 （b）245 （c）49 （d）-35 15、设矩阵 a ( 1, 2, 3, 4),其中 2, 3, 4线性无关，且 1 3 2 2 3， 的通解为( ). 1 2 2 3 3 4 4，则 ax 1 3 (a) x c 2 1 1 3 (c) x c 2 0 四、计算题（

5、48分） 1 2 3 4 4 3 2 1 1 1 32 c r (b) x c 2 3 0 4 1 2 c r (d) x c 3 4 1 2 3 4 c r c r 3 16、计算四阶行列式 d4 1311 1131 1113 （6分） 111 3 17、设矩阵a和b满意关系式ab a 2b，其中a 0 0 040 0 0，求矩阵 b。（6分） 5 18、设向量组 a: 1 (1,0,2,0), 2 (1,2,0,1), 3 (2,1,3,0), 4 (2,5, 1,4), 5 (1, 1,3, 1)， 求向量组a的秩及一个最大线性无关组，并把其余向量用最大线性无关组线性表示。（12分） t

6、tttt (1 )x1 x2 x3 0 19、设有线性方程组 x1 (1 )x2 x3 3， 问 取何值时，此方程 x x (1 )x 23 1 （1）有唯一解；（2）无解；（3）有无限多个解？并在有无限多个解时求其通解。 （12分） 20、求一个正交变换x py，把二次型 f 2x1 5x2 5x3 4x1x2 4x1x3 8x2x3化为标准形。 （12分） 五、证明题：（7分） 21、设有向量组 i (ai,ai, ,ai),i 1,2, ,m,m n，试证向量组 1, 2, , m线性无关。其中： 2 n 222 a1,a2, ,am为m个互不相等且不为零的常数。 线性代数b参考答案及评

7、分标准 一、推断题：（每小题3分）： 1、 ；2、 ；3、 ；4、 。 二、填空题答案填写处（每空3分）： 5、 -2 ；6、 10 ；7、 0 ； 8、 只有零解 ；9、 a+3e 。 三、选择题：（每小题3分） 3 三、16、计算d 1311 1131 1113 。（6分） 111 解： 6d 1111 6 1111 6 000 13111 631111311 613111131 6113 (3) (4) 200 020 002 (5) 48 (6) 注：本题有多种解法，只要行列式性质使用正确，并且结果正确即可给满分； 3 17、设矩阵a和b满意关系式ab a 2b，其中a 0 0 解：

8、由于 ab a 2b 所以 (a 040 0 （6分） 0，求矩阵 b。 5 2e)b a b (a 2e) 1 a 2e 0 0 020 1 a 3分 0 0，a 2e 6 0，故a 2e可逆； 3 (a 2e) 1 1 0 0 02 0 0 1 3 3 b 0 0 18、设向量组 020 0 6分 5 3 0 注：此题如有其它解法，只要计算过程及结果正确，均可给满分。 a: 1 (1,0,2,0), 2 (1,2,0,1), 3 (2,1,3,0), 4 (2,5, 1,4), 5 (1, 1,3, 1)， 求向量组a的秩及一个最大线性无关组，并把其余向量用最大线性无关组线性表示。（12分

9、） ttttt 解：增广矩阵为： 1 0 2 0 1 0 0 0 12021100 21302021 25 1424 30 1 1 10 3 0 1 01 1 10 1 0 0 0 12 211100 21 100010 25 5484 30 1 1 10 1 0 1 0 1 1 10 1 0 0 0 12100100 21000010 254044 30 1 1 1 0 0 1 1 0 所以 向量组a的秩为3； 1, 2, 3为一个最大线性无关组； 4 4 1 4 2 3 3； 5 2 3。 (1 )x1 x2 x3 0 19、设有线性方程组 x1 (1 )x2 x3 3， 问 取何值时，此

10、方程 x x (1 )x 23 1 （1）有唯一解；（2）无解；（3）有无限多个解？并在有无限多个解时求其通解。 （12分） 解：增广矩阵为： 1 b 1 1 1 0 0 1 11 11 2 2 111 0 3 r3 r1 1 1 1 1 0 0 11 11 1 111 2 3 0 r2 r1 r3 r1 1 0 0 1 r r 32 3 (1 ) 3 3 4分 2 3 2 1 ( 3) 3 ( 1)( 3) a) 3，即 0且 3时，原方程组有惟一解；6分 （1） 当r(a) r( （2）当 0时，原方程组无解；8分 （3）当 3时，原方程组有无穷多解；10分 对方程组的增广矩阵作初等行变换

11、如下： 1 b0 0 1 30 230 3 1 60 0 0 010 1 10 1 2 0 1 所以此方程的通解为x c1 1 1 2,(c r)12分 0 20、求一个正交变换x py，把二次型 f 2x1 5x2 5x3 4x1x2 4x1x3 8x2x3化为标准形。 （12分） 解： 222 2 （1）二次型的矩阵 a 2 2 （2）方阵a的特征多项式为： 25 4 2 4； 2分 5 2 p( ) |a e| 2 2 25 4 2 45 ( 1)( 10) 2 令 p( ) 0，解得特征值为 1 10, 2 3 1. 5分 将 1 10, 2 3 1.分别代入方程组 (a e)x 0,

12、可得特征向量分别为 1 2 2 1 2, 2 1, 3 0，7分 2 0 1 对它们进行schimidt正交化再单位化后得到 2 1 2 5 q1 2,q2 1,q3 4 5 2 0 1 1 3 2 e1 ,e2 ,e 3 3 0 5 2 3 所求正交矩阵q (e1,e2,e3)， 9分 且满意qaq diag(10,1,1) 10分 （3）该二次型在正交变换x qy下的标准型为： t f(y1,y2,y3) 10y1 y2 y3 12分 五、证明题：（7分） 21、设有向量组 i (ai,ai, ,ai),i 1,2, ,m,m n，试证向量组 1, 2, , m线性无关。其中： 2 n 222 a1,a2, ,am为m个互不相等且不为零的常数。 证明：由题设可知 1 (a1,a12, ,a1n) 2n 2 (a2,a2, ,a2) 1分 (a,a2, ,an) mmm m 去掉每一个向量的后面(n m)个重量得： 1 (a1,a12, ,a1m) 2m 2 (a2,a2, ,a2) 2分 (a,a2, ,am) mmm m 设有数x1,x2, ,xm，使得 x1 1 x2 2 . xm m 0