概率论与数理统计(多维随机变量及其联合分布)

1、第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布3.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布 3.2 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布 3.3 条条 件件 分分 布布 3.4 随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性 3.5 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布在实际问题的研究中，只用一个随机变量往在实际问题的研究中，只用一个随机变量往往是不够的往是不够的例如，要研究儿童的生长发育情况，常用例如，要研究儿童的生长发育情况，常用身身高高和和体重体重两个随机变量来描述；两个随机变量来描述；研究某地区的气候状况需要考

2、虑研究某地区的气候状况需要考虑温度温度、湿度湿度等多个随机变量；等多个随机变量；研究国民经济状况，就需要用研究国民经济状况，就需要用GDP、固定资固定资产投资产投资、各产业产值各产业产值、人均消费额人均消费额等很多随机变等很多随机变量来描述量来描述本章学习多维随机变量及其分布的有关概念、本章学习多维随机变量及其分布的有关概念、理论和应用理论和应用【保险中的理赔总量模型】【保险中的理赔总量模型】 保险公司在一个会计年度保险单的理赔次数、每保险公司在一个会计年度保险单的理赔次数、每次的理赔额和全年理赔总量均为随机变量某保险次的理赔额和全年理赔总量均为随机变量某保险公司为了研究某类保险在一个会计年度

3、的理赔总量，公司为了研究某类保险在一个会计年度的理赔总量，用用X Xi i表示某类保险单的第表示某类保险单的第i i次理赔额，次理赔额，N N表示在一个表示在一个会计年度所有这类保单发生理赔次数，会计年度所有这类保单发生理赔次数，Y Y表示这一年表示这一年中对这类保单的理赔总量建立如下理赔总量模型：中对这类保单的理赔总量建立如下理赔总量模型： 现有一组保单，假设在一年内可能发生的理赔现有一组保单，假设在一年内可能发生的理赔次数为次数为0 0，1 1，2 2和和3 3，相应的概率为，相应的概率为0.10.1，0.30.3，0.40.4和和0.20.2每张保单可能产生的理赔额为每张保单可能产生的理

4、赔额为1 1，2 2，3 3（万（万元），相应的概率为元），相应的概率为0.50.5，0.40.4，0.10.1，试分析理赔，试分析理赔总量总量Y Y的概率分布，并求理赔总量超过的概率分布，并求理赔总量超过6 6万元的概万元的概率率 【保险中的理赔总量模型】【保险中的理赔总量模型】3.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布3.1.1 3.1.1 多维随机变量的概念多维随机变量的概念定义定义3.1 如果如果X1( )，X2( )，Xn( )是定义在同是定义在同一个样本空间一个样本空间 = 上的上的n个随机变量，则称个随机变量，则称为为n维随机变量维随机变量或或n维随机向量，维随机向量，

5、简记为简记为X = (X1，X2，Xn) 注意，多维随机变量的关键是定义在同一样本空注意，多维随机变量的关键是定义在同一样本空间上，对于不同样本空间上的两个随机变量，本章间上，对于不同样本空间上的两个随机变量，本章将不涉及这类问题将不涉及这类问题)(,),(),()(21 nXXXX 第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布3.1.1 3.1.1 多维随机变量的概念多维随机变量的概念【例【例3.1】在研究每个家庭的支出情况时，我们感在研究每个家庭的支出情况时，我们感兴趣于每个家庭（样本点兴趣于每个家庭（样本点 ）的衣食住行四个方面，）的衣食住行四个方面，若用若用X1( )，X2(

6、)，X3( )，X4( )分别表示衣食住分别表示衣食住行的花费，则行的花费，则(X1，X2，X3，X4)就是一个四维随机就是一个四维随机变量变量逐个地来研究每个随机变量的性质是不够的，还逐个地来研究每个随机变量的性质是不够的，还需要将需要将(X1，X2，Xn)作为一个整体来进行研作为一个整体来进行研究究 本章中主要研究二维随机变量，二维以上的情本章中主要研究二维随机变量，二维以上的情况可类似地进行况可类似地进行.定义定义3.2 设设(X，Y)是二维随机变量，对于任意实数是二维随机变量，对于任意实数x，y，事件，事件X x，Y y同时发生的概率同时发生的概率称为二维随机变量称为二维随机变量(X，

7、Y)的的分布函数分布函数，或，或X与与Y的的联合分布函数联合分布函数 如果将二维随机变量如果将二维随机变量(X，Y)看成是平面上随机看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数点的坐标，那么分布函数F(x，y)在在(x，y)处的函数处的函数值就是随机点值就是随机点(X，Y)落在以点落在以点(x，y)为右上角的无为右上角的无穷矩形内的概率穷矩形内的概率.3.1.2 3.1.2 二维随机变量及联合分布函数二维随机变量及联合分布函数,),(yYxXPyxF 3.1.2 3.1.2 二维随机变量及联合分布函数二维随机变量及联合分布函数容易证明分布函数容易证明分布函数F(x，y)具有以下的性质具有以下的性质:

8、 (1) 单调性：单调性：F(x，y)分别对分别对x或或y是单调不减的，即是单调不减的，即 当当 时，有时，有 当当 时，有时，有 (2) 有界性：对任意的有界性：对任意的x和和y，有，有 ，且，且 21xx ),(),(21yxFyxF 21yy ),(),(21yxFyxF 1),(0 yxF0),(lim),( yxFyFx0),(lim),( yxFxFy1),(lim),( yxFFyx3.1.2 3.1.2 二维随机变量及联合分布函数二维随机变量及联合分布函数(3) 右连续性：对每个变量是右连续的，即右连续性：对每个变量是右连续的，即 对任意的对任意的x0，有，有 ； 对任意的对任

9、意的y0，有，有 (4) 非负性：对任意的非负性：对任意的a b，c d有有 事实上，具有上述四条性质的二元函数事实上，具有上述四条性质的二元函数F(x，y)一定是某个二维随机变量的分布函数一定是某个二维随机变量的分布函数 注意，一个二元函数注意，一个二元函数F(x，y)满足前三条性质时满足前三条性质时不一定满足性质不一定满足性质(4) (见例见例3.2),(),(lim00yxFyxFxx ),(),(lim00yxFyxFyy 0),(),(),(),(, caFcbFdaFdbFdYcbXaP3.1.3 3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律二维离散型随机变量及联合分布律定义定义3.

10、3 如果二维随机变量如果二维随机变量(X，Y)只取有限个或可只取有限个或可列个数对列个数对(xi，yj)，则称，则称(X，Y)为为二维离散型随机变二维离散型随机变量量，称，称为为(X，Y)的的分布律分布律，或，或X与与Y的的联合分布律联合分布律也可用如下表格形式表示也可用如下表格形式表示(X，Y)的分布律的分布律 YXy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1pi2pij, 2 , 1, jipyYxXPijji3.1.3 3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律二维离散型随机变量及联合分布律联合分布律有如下性质：联合分布律有如下性质： (1) 非负性：非负性： (2

11、) 归一性：归一性： 求二维离散型随机变量求二维离散型随机变量(X，Y)的分布律，关键的分布律，关键是写出是写出(X，Y)所有可能取到的数对及其发生的概所有可能取到的数对及其发生的概率率, 2 , 1, 0 jipij111 ijijp3.1.3 3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律二维离散型随机变量及联合分布律【例【例3.3】甲乙两人独立进行射击，甲每次命中率甲乙两人独立进行射击，甲每次命中率为为0.2，乙每次命中率为，乙每次命中率为0.5以以X、Y分别表示甲、分别表示甲、乙各射击两次的命中次数，试求乙各射击两次的命中次数，试求(X，Y)的分布律的分布律 解：解：由题知，由题知，X、Y

12、均可取均可取0，1，2由于甲、乙由于甲、乙是独立进行射击，所以是独立进行射击，所以X = i与与Y = j两事件相互两事件相互独立，独立，i，j = 0，1，2于是于是PX = i，Y = j = PX = iPY = j i，j = 0，1，2故故(X，Y)的分布律为的分布律为 Y X01200.160.320.1610.080.160.0820.010.020.01jjjiiiCC 22225 . 05 . 08 . 02 . 0【补充例【补充例 】袋中有袋中有2 2只黑球、只黑球、2 2只白球、只白球、3 3只红球，只红球，在其中任取在其中任取2 2只球只球. .以以X表示取到黑球的只数

13、，以表示取到黑球的只数，以Y表表示取到白球的只数示取到白球的只数.(1).(1)求求( (X, ,Y) )的分布律的分布律. . (2) (2)求概率求概率.1,222 YXPYXP解解: (1)(1)X所有可能取的不同值为所有可能取的不同值为0,1,2;0,1,2;Y所有可能所有可能取的不同值为取的不同值为0,1,2. (0,1,2. (X, ,Y) )的分布律为的分布律为 ,jYiXP,272322CCCCjiji . 20, 2 , 1 , 0, 2 , 1 , 0 jiji分布律也可写成以下表格的形式分布律也可写成以下表格的形式.3.1.3 3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律二

14、维离散型随机变量及联合分布律(2)(2) 2, 0YXP0, 2 YXP1, 00, 0 YXPYXP.75 2YXP.216 122YXP0, 1 YXP1, 1 YXP X Y01201/72/71/2112/74/21021/21003.1.3 3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律二维离散型随机变量及联合分布律3.1.4 3.1.4 二维连续型随机变量及联合概率密度二维连续型随机变量及联合概率密度定义定义3.4 如果存在二元非负函数如果存在二元非负函数f (x，y)，使得二维随，使得二维随机变量机变量(X，Y)的分布函数的分布函数F(x，y)可表示为可表示为则称则称(X,Y)为为二

15、维连续型随机变量二维连续型随机变量,称称f(x,y)为为(X,Y)的的概概率密度率密度，或，或X与与Y的的联合概率密度联合概率密度 显然，在显然，在F(x，y)偏导数存在的点上有偏导数存在的点上有 xydudvvufyxF),(),(yxyxFyxf ),(),(23.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布3.1.4 3.1.4 二维连续型随机变量及联合概率密度二维连续型随机变量及联合概率密度联合概率密度有如下性质：联合概率密度有如下性质： (1) 非负性：非负性：f(x，y) 0 (2) 归一性：归一性： (3) 二维随机变量二维随机变量(X，Y)落在平面上某个区域落在平面上某个区

16、域G内的概率为内的概率为1),( dxdyyxfdxdyyxfGYXPG ),(),(【例【例3.5】已知随机变量已知随机变量X和和Y的联合概率密度为的联合概率密度为试求试求PX Y解：解：由联合概率密度的性质由联合概率密度的性质3知：知：积分区域积分区域x y与与f(x，y)取值非零的区域的交集如图取值非零的区域的交集如图.所以所以 , 00,0 ,),()(其它其它yxeyxfyxdxdyyxfYXPyx ),( 0)( dydxexyx 0dydxeexyx2102 dxexdxdyyxfYXPyx ),(3.1.4 二维连续型随机变量及联合概率密度二维连续型随机变量及联合概率密度【例【

17、例3.6】设二维随机变量设二维随机变量(X，Y)具有概率密度具有概率密度求分布函数求分布函数F(x，y) 解：解： , 00, 0,2),()2(其其它它yxeyxfyx yxdydxyxfyxF),(),( 其它其它0,0, 0),-)(1-(1 2yxee-yx- 其其它它, 00, 0,2 00)2(yxdxdyeyxyx3.1.4 二维连续型随机变量及联合概率密度二维连续型随机变量及联合概率密度.2/)2(;)1(., 0, 10),(),(),(XYPkxyxxyxkxyxfYX 求求概概率率试试确确定定常常数数其其它它具具有有概概率率密密度度设设二二维维随随机机变变量量解解:（1）

18、由于在区域）由于在区域G:0 x1, -xy0, 其他其他f(x,y)0所以所以 dxdyyxf),(1 10 xx)(dydxyxkx3.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布 Gdxdyyxf),(xy xy 10【补充例【补充例 】解得解得k=2 10 xx)(dydxyxkx 10 xx2dydxkx 10 x022dydxxkdxxk 1032k21 3.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布解解:（1）由于在区域）由于在区域G:0 x1, -xy0, 其他其他f(x,y)0所以所以 dxdyyxf),(1 10 xx)(dydxyxkx Gdxdyyxf),(xy xy 10（2）设区域）设区域为为: ),(2/DYXPXYP 则则 GDdxdyyxf),( 102/)(2xxdyyxxdx.16/15 2/XY Ddxdyyxf),(3.1 多维随机变量及联合分布多维随机变量及联合分布xy xy 102/xy 3.1.5 3.1.5 常用二维分布常用二维分布