角函数经典练习题

1、角函数经典练习题 作者: 日期：三角函数经典练习题1.在直角三角形中，两锐角为A、B,则 sin Asin B (B)A .有最大值-和最小值02B.有最大值二，但无最小值2C.既无最大值也无最小值D.有最大值1,但无最小值提示： sin Asin B sin Acos A2.已知集合 E |cos sin ,01-sin2A,注意到角度的取值范围，所以选 B. 2 , F |tan sin ,则 E F 是区间(A)3.A(5')提示：即 | 4函数f(x)B. (-A4 4D.57 |tan22sin (x ) sin (x4(B)A.周期为的偶函数B.周期为的奇函数C.周期为2的

2、偶函数D.周期为2的奇函数提示： f (x) sin2(x ) sin2 (x )22,cos (x ) sin (x44)cos(2x )=2sin2x ,所以选B.4.函数ycos(2x )的图象的一条对称轴方程为(B)C.D.提示:对应的x的值应该使得函数取得最值,所以选 B.5.函数yarccos(sin x)(,2一 x 一, 33一 5B0,)6)的值域为(B)提示：sin x6.卜列函数中以C.(§,1,再由 arccosu, u (3为周期的函数是(D)D.g,1得，所以选B.(6y)y sin 2xcos2xA. y sin 2x cos4x B. y sin 2x

3、cos4x C. y sin 2x cos2x D.1提小：D中y sin 2xcos2x -sin4x ,且用止义可以检验得其余都不湎足，所以选 D . 27.在直角坐标系中，曲线 C的方程是y cosx,将曲线C沿向量a ( 3,3)平移，则平移后的曲线方程是(B)A. y提示:sin x/ 一 B. y/ 2/x x - , y y - 22sin x/C. y/ sin x/一 D. y/22,解出x、y代入已知式化简得，所以选8.函数y4sin(3x ) 3cos(3x )的最小正周期是(C)9.A. 6B. 2C 23提示:y 5sin(3x ),所以选 C.4已知是第三象限的角，

4、且sin4cos45,那么sin2 9一一 / sin xB.A.H3C. 23D.提示：2在第一.二象限，.二sin20 ,由(sin 22 cos)22sin22 cos59解得sin2 28 ,取算术根即得，所以选9A.3L10.使行tan(2x 一) 成立，且33x 0,2 )的*个数是(B)A. 5B.C. 3D.提示：函数y tan(2x3)的周期为一，因此在4个周期长的区间里使2tan(2x的x必有4个，所以选B.11 .若是第三象限的角，且sin2425贝 tan A. 43C.(D)D.-3提示：cos,tan 2522sin cos222cos2 一sin1 cos,代入求

5、得，所以选D.12.当 3 x一时，函数f(x) 22sin x 43 cosx 的(D)A.最大值是1,最小值是1一 ,一一 一 ，一一 1B.最大值是1,最小值是 -2C.最大值是2,最小值是2D.最大值是2,最小值是1提示：f(x) 2sin(x一），且 一 X 一, 322所以选D.13.函数y sin（ 2x） cos2x的最小正周期是3(B)A.2B.C.D. 4提示：用诱导公式.和.差角公式得 y cos(2x ) cos2x 62 cos(2x ) cos, 1212以选B.14.已知点 P ( sin cos,tan ）在第一象限，则在0,2 内的取值范围是（B）A(5，3-

6、) ( J B.445 、-（7万）（1 C （万）提示:sin cos ,tan 0 ,且在指定范围内，利用三角函数线分析，选B.15.若 sintan cot ( 一 23),则(B)A.(C.叼）提示:即在（一,0）内tan cot ,所以选 2B.16.已知sinsin ,那么下列命题成立的是（D)A.若是第一象限的角，则 cos cosB.若是第二象限的角，则tantanC.若是第三象限的角，则 cos cos D.若是第四象限的角，则tantan提示：当是第四象限的角时，由已知可设2k21,其中一,由诱导公式和正切函数的单调性知tan2tan,即 tan tan以选D.17.函数y

7、2 sin x cosx的最大值是（B）八 2A.2C. 1D.提示：v,所以选B.2. 2sin(x18.设、 是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是( D)1A tan tan 1 B. sin sin .2 C. cos cos 1 D tan( ) tan22提示： 0 , . 0 tan 1 , tan( ) 2 tan222,2tan 2tan(1 1) 2tan 2 0,所以选 D.21 tan2 21 tan222x19.振动量y 3sin(一 一)的周期.振幅依次是(A)23A. 4 ,3B. 4 , 3C.,3D.,3提示：由概念知振幅为3,由“得周期，所以

8、选A.1220.若A. B是锐角 ABC的两个内角，则点 P(cos B sin A,sin B cosA)在(B)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限B A 0 , sinB22sin(- A)cosA ,同理sin A cosB ,所以选 B.21.若 0,sin cos a , sin cos 4b,则(B)A. a bB. a bC. ab 1D. ab 1提示：a -2sin(-),b V2sin(-),由正弦函数的单调性得，所以选 B.2,5522 .下列命题中正确的命题是(D)A .若点P(a,2a)(a0)为角终边上的一点，则sinB .同时满足sin -,cos

9、立的角有且只有一个 22C.当 | a | 1 时,tan(arcsina)的值恒正D.满足条件tan(x /不的角的集合是x|x k,k Z提小：由tan(x )43 ,得x k ,所以选D.33323 .若 sin cos 0,则在(B)A.第一.二象限 B.第一.三象限 C.第一.四象限 D.第二.四象限提示：sin与cos同号，所以选B.24 .在4ABC 中，若 2cosBsinA sinC ,则4ABC 的形状一定是(C)A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形提示：: A B C , 2cosBsin A sin(A B),展开化简得 sin(A B) 0

10、,所以选C.25 .设y f(t)是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0 t 24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系:t03691215182124y1215. 112. 19. 111. 914. 911. 98. 912. 1经长期观察，函数y f(t)的图象可以近似地看成函数y k Asin( t )的图象.下面B. y 12 3sin(t6),t 0,24的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( A)A. y 12 3sin-t,t 0,24 6C. y 12 3sint,t 0,2412D. y 12 3sin(t ),t0,2

11、4122提示：当t0时，有 y 12 , t3时，y 15 ,这只有A适合，故选A.26.已知 sin 2 a, cos2 b,则 tanA 1+ a b b a b 11 a ba b 1一的值为(D) 4C s bD.提示：已知条件中的角度是欲求式中角度的2倍，能否整体利用已知条件进行变换是解题的一个思考点:sin42 sin - cos44sin 24cos2b4cos422cos41 cos241 sin 21 atan27. sin150 cos1650 的值等于(B)B.提示：即 sin150 ( cos150)1410-sin30 .2D.-23C. cos(cos(D.tan(

12、tan28.下列等式正确的是（D）A. sin(180o)sin B. sin2() sin229.若AABC内角满足tan Asin Acos A0,则角A的取值范围是（C）30.A. (0,)4已知tan A(1函数B.34)D.弓，）cos A) 0 ,tan A0 ,又 V2sin(A 一)40,综合得.f（x）志cos（3x ）是奇函数，则的一个值是（D）提示：tan( ) tan( ).A.提示：V3cos(3x ( )V3sin 3x .231.函数y cosxtanx （ x 一）的大致图像是（C）22A.B.D.提示：-x 0时,sin xC.x 时，y sin x .232

13、.给出下列三角函数：sin（n4T)； cos(2n ); sin(2n ); 631)一（nZ）;其中函数值为sin-的是（C） cos(2n 1); sin(2n6A.B.C.D.提示：根据诱导公式逐一检验得，或对于 n取一系列特殊值检验.33.若 sin( )3,是第二象限角, 5sin(一 2)2 55是第三象限的角,则cos()的值是（B）B.C.提示：即sincos11,52545D. .5sin34.设一个半径为10的水轮，水轮的圆心距水面为 7,已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y与时间x之间满足函数关系y Asin( x )其中的（A）A.C.2,A 10152

14、2，A 1715B.D.15一 jA 151017提示:A=10,转动的频率为115（圈/秒），1-15,而 T35.函数f(x) sin( x)cos( x)(0）以2为最小正周期，且能在x=2时取最大值，则的一个值是（A）A.41 提小：f (x) -sin(2B.54C.2 )，且 22,反代即得.2 36.函数sin x 是tanx 21成立的（D）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件提示：注意角的取值范围变化.15 ,37.函数y - cos2x 3cosx 一的取小值为22(B)A. 2B. 0C.D.-414提示：y -(2 cos2 x

15、1) 3cosx - , y cos2 x 3cosx 2 ,且 |cosx| 1 . 2238.将函数ysin(x -)(x R)的图像上所有的点向左平行移动-个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),则所得到的解析式为(B)A. y sin(2x12)Byxx5sin(-)D. ysin(-)212224提示：左移得 y sin(x4),即 y sin(x12将x变为相4 x39.函数 f (x) tan x(cos -叫)的最小正周期是"A. 2B.提示：f (x) tan xcosxsin x(x k-,k Z),选 A. 240 .已知sin13,c

16、os( )1则 sin(21答案3提示：sin(2 )sin().41 .设 t cosxsinx , 若 sin3 x cos3 x 0 ,则实数t的取值范围是答案行t 0 提示：对已知的第一式平方，变形得sin xcosx42 ,而第二式即(sinx cos x)(1 sin xcosx) 0t(1L) 0,即2t(t2 3)0,73 t 0,或t J3 ；综合得我t0.42 .函数ycos( 2x) cos2x的最小正周期为 3答案提示:1 八y - cos2x2由sin2x cos2x 1cos2x 4sin 2x cos(2x ).43 .关于三角函数的图像，有下列命题: y cos

17、( x)与 y cosx 的y sinx与y sin x的图像关于y轴对称;图像相同;sin x 与y sin( x)的图像关于y轴对称； y cosx与y cos( x)的图像关于轴对称;提示：逐一作图判断.其中正确命题的序号是44 .已知一扇形的中心角为，其所在的圆的半径为R.(1)若600, R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;(2)若扇形的周长为定值p,当 为多少弧度时，该扇形有最大的面积？这一最大面积是多少?解析计算弧长和扇形面积都存在有由角度和弧度制表示的两种公式，显然，用弧度表1S -(2 )r2,对于一般扇形,示的相应公式易于记忆、便于使用，其核心公式是周长公式C

18、 (2开和圆的面积公式作相应的计算只需将两个核心公式中的2换之以扇形的圆心角的弧度数即可:(1)设弧长为l ,弓形面积为S弓，则60°R=10 310 l 一 (cm)，3(2);扇形周长101一 10 -102sin 350(一3,32T)(cm ) ；p 2Rl 2R R27日C Pw S扇 一16，当且仅当色，即 2时，扇形取得最大面积2P1645.已知 f(x) sinx1 、3tan(4x 100)tan(x 350)1 tan(x 350)1 tan1501 tan150tan150解答f(50O) sin 500(1 V3tan1900)000 tan450sin 50

19、0(1 tan600 tan100)1 tan450 tan150-c0“00 . “00,cos60 cos10 sin 60 sin100sin50 () tan 60cos60° cos10°sin 500 cos5003 2sin 500 cos5003131 dM0cos100-cos10246.已知函数y a bcos3x(b 0)的最大值为3 ,最小值为,求函数y 4asin3bx的单调 22区间、最大值和最小正周期.a b1解答由已知条件得2解得3 2'；y 2sin3x,a bb 1；2其最大值为2,最小正周期为,3在区间一工厂北(k Z)上是增函

20、数，6363在区间 工,一工(k Z)上是减函数. 63231 .%2 十 sin( )sin( 兀47. 已矢口 tan -, tan ，求22日勺值.33sin cos解答利用和角、差角公式展开，并借助分式的性质,分子分母同除以cos2 cos2可得/ 、22(sin cos ) (cos sin )原式:22sin costan2 tan2tan22=1 (-tan-)2 1 (-3-)2 1 (2)2tan1348.已知tan , tan 是方程x2 4mx 3 0的两个根.(1)证明对于任意实数 m ,都有cos( ) 4cos cos ;(2)若tan( ) 2m2 3,求实数m的

21、值.解答(1) tan tan 4m, tan tan 3,sin sin , sin sin -4m, 3,cos cos cos cossin cos sin cos即 4m,sin sin 3cos coscos cos4 cos cos ,sin( ) 4mcos cos , cos cos sin sin即 cos( ) 4 cos cos ;(2)由(1)可得 tan( ) m , 2m2 3 m ,即 2m2 m49.已知f(x)2cos2 x T3sin2x a.(a R 为常数)(1)R,求f(x)的单调递增区间;(2)f(x)最大值为4,求a的值.解答(1)f(x) 1co

22、s2x T3sin2x a 2sin(2x ) a 1 , 6当2k 22x 一 62k 时，f(x)为单调增函数，2即当k 一 x k3同理，当k + x6时，f(x)为单调增函数，62k2-时，f(x)为单调减函数；(2)当 x一时，f(x)有最大值2 a 1 4, a 1 . 650.如图扇形AOB的半径为1,中心角为60°, PQRS是扇形的内接矩形，问P在怎样位置时，矩形PQRS的面积最大？并求出这个最大值.解答设 / AOP x, (x (00,600),贝1 PS sin x, RS cosx sin xcot 600 ,01S (cosx sinxcot60 )sin

23、 x sin2x1sin2x 232sin x3.3"6"，其中tan.3 1 cos2x .3 -、sin(2x )323立，所以当2x 900，即x 300时S有最大值型 方33633 0 , . m 1,或 m 251.判定函数y log 1由sin 2 x sin x的奇偶性，并求函数的最值.2解析判断函数的奇偶性，先看定义域，然后考查f(x)同f(-x)是否具有相等或相反的关系，为方便运算，常常根据题目本身的特点而转化，为考查 f(x) f( x)是否为0,甚至也可考查“外与£( x)的比值，观察本题的特点是对数函数，不妨先考查 f( x) f(x)，求

24、最值时若注意到sin x的有界性以及函数的单调性，则最值易求:函数 f(x) log 1 J1 sin2 x sin x 的定义域为 R,又f( x) f(x)2,/. 2log 1 . 1 sin x sin x log 1 1 0.22log 11sin2 x sin x +2f(x) f (x),即函数f (x)为奇函数.令t sinx 1,1,log1 u是单调递减函数，u ,1 t2t在1,1上是单调递减函数，2log1 "V t 在-1,1上是增函数. 当 t 1 时，ymax log1 22221时，ymin10g 1 72 1 10g2 也 1 .2点评(1)函数定义

25、域关于原点对称是判定函数奇偶性的必要条件;(2)要掌握利用函数单调性求函数最值的方法.52.已知函数f.5、 sin -2 0,.2sin-2(1)将f 表小为cos的多项式;(2)求曲线y kcosk与y f至少有一个公共点的实数k的取值.(注3、:sin33sin4sin ).解析这是一道带指令性的三角形问题，欲 f为关于cos的多项式,必须考虑去分母，这就需要在做出一定变换之后，能够约分，注意到c 5士3,T 2 2,有卜列解法:(1) f5 sin 一 cos222sin cos -221 - 5 5-sin sin 一2222sin1一sin 3 sin 2 2sin1 3sin23

26、4 sin 2sin ?cos2sin22sin cos21 21 cos22,cos 2cos cos 1;(2)令 cost,0,t 1,1kt2t2 t 1.2t21 ktk 1 0,t=-1 (舍)U 则1<U22,-3< k<1.点评第(1)问的求解方程不止上面给出的一种，还可以尝试通分后用和差化积变分子的方法去做；而第(2)问也可以由一元二次方程的实根分布理论来指导求解.53.如图，在矩形ABCD中，AB 1, BC 卡,此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中始终与地面垂直，设直线BC与地面所成角为,矩形周边上最高点离地面的距离为f( )求:(3) f()的值域.

27、(1) 的取值范围；(2) f()的解析式;解答(1) BC与地面所成的角，就是直线与平面所成的角的范围为0,-.DBC 一,过D作地面的垂线，垂足为6在RtBDE 中,DBE 一， DB 26f()2sin(3)即f(f() 2sin(6)(02)54.已知奇函数f x的定义域为实数集R,且x在0,上是增函数.是否存在这样的实数m ,使f cos2 3f 4m 2mcosf 0对所有的0,a均成立？若存在，求出适合条件的实数m的值或范围；若不存在，说明理由.Q f cos2f cos2x为奇函数,f 4m 2m cosf 4m 2mcos0.,即 f cos2 3 f 2mcosQ f x

28、在 0,上是增函数，且f x为奇函数,)的值域为1,2.f x在，上也为增函数.cos2 3 2mcos 4m,即 2cos24 2mcos 4m,2即 cos m cos 2m 2 0 .Q 0, , cos 0,1 2令 t cos ,t0,1 ,则满足条件的m应该使不等式t2mt 2m 2 0对任意的t 0,1均成立.设 g t t2 mt 2m 2m 八00,则2,或g 00, gm2 m21,m或万1,0,g 10,解之得4 272 m 2 ,或m 2 ,故满足条件的m存在，取值范围是4 272,uur uuur55.在 ABC 中，CBgAC0,a,b,c为角A,B,C所对的三条边

29、.(1)求t=sinA+sinB时，t的取值范围;222,八abc bca cab m r 一 (2)化简(用(1)中t表小).abcuuu uuur uuu uuur解答(1) Q CBgAC 0, CB AC, ABC 为直角三角形，A B 一,2又 sin A sin B sin A cos A 2 sin A 一4Q 0 A ,A -,1 72sinA 一V2 .24444 Qb ccosA,a csin A,222abc bca cababc2 . 2222c sin A ccosA c c cos A csin A c c csinA ccosA3. AAc sin Acos As

30、in2 Acos A sin2 A cos2 Asin A cos2 A sin A cos At2t,t 1,2sin Acos A1 sin A cos A sin A cos A tsin Acos A56.等比数列an中,a2 sincos其中(1)问：2sin 21cos4 23 一3是数列an的第几项?(2)若 tanan的前n项和Sn .解答(1)设数列an的公比是则有q1 sin 2sin2 cos所以a1从而通项ansin cos又 2sin 2故 2sin 21cos4 21cos4 23 1 4sin 22 2sincossin cossincoscos4 3sin 2s

31、incosa5 ，(2) Q tan3 一，3是数列24一，tan3an于是q sincosan的第5项.又一可得sin4一 ,cos 557.已知函数yasin xb cosxn 11 S, Sn5c的图像上有一个最低点,1如果图像上每点纵坐标y f x的图像，又知不变，横坐标缩短到原来的 3倍，然后向左平移1个单位可得的解析式，最小正周期f x 3的所有正根依次为一个公差为 3的等差数列，求f x和单调减区间.解答y asinx bcosx c Jab sin x限），c （其中满足tan a,与点a,b同象 b7 2k .k Z, 3a2 b2c 1.11112k 由于11 ,1是图像上

32、最低点，所以 6262 2、a b c 1.所以y c 1 sin x 2kc 1 sin x 33 .、，、士倍，然后向左平移1个单位将上述函数图像上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的c,可得 y c 1 sin x 1- c c 1 sin x333由于f x 3的所有正根依次成等差数列，即曲线y f x与直线y 3的相邻交点间的距离都相等，根据三角函数的图像和性质，直线y 3要么与曲线y f x相切，即过f x的最高点或最低点，要么过曲线的拐点，又11-,1是图像上的最低点，故y 36与曲线y f x在最高点相切.当sinx 1时，f x 2c 1 3,所以c 2,此时周期应为公差3,这

33、与上面已知周期 36矛盾，故舍去.若过曲线的拐点，当sin -x题意.所以f x 2sin x3396k x 6k ,220时，f x c 3,此时周期6恰为公差3的2倍，符合,33 ,由 2k x 2k , k Z 得232即函数y39f x的减区间为 6k -,6k - ,k Z .224212cos x 2 cos x 一58.设函数f(x) 2-,求函数f(x)的最大值和最小正周期.一 ，、. 2 ，、2tan( x)sin ( x)44解析虽然本题并没有要求我们化简所给函数的解析式，但可以看出化简是解决问题的一条必由之路.同样我们也不能预测化简的具体结果，但总的目标应该是相对清楚的,

34、那就是设法不断地“化繁为简”.从函数解析式的结构看，首先可以想到的方法是“降低解析式的次数，减少所含的三角函数的名数”.14 一 2(2cos2 1)2(4cos x 4cos 1)原式 2 2sin( x)cos(4x)2/cos (4x)4sin( x) cos( x)2 - cos 2x2sin( 2x)21 cos 2x2一一 .一 .1 一， .即最大值为-,最小正周期为259.证明：tan2 x,2 cot2(3cos 4 x)1 cos 4x4 2(1cos4x) 2(3 cos4x)1 cos4x1 cos4x解析观察欲证等式两边，可以考虑遵循从左到右的“化切为弦”的证明路线，也可以考虑运用从右到左的“化倍角关系为单角关系”的证明思路.方法一：左边.2 sin x2cos x2 cos x.-2 sin x.4422、222sin x cos x (sin x cos x) 2 sin x cos x一一 22sin xcos x1 sin2 2x41 1sin22x21 sin2 2x1. 2sin42x21-(1 cos4x)8一 , 2 一8 4sin 2x1 cos4x2-4 4cos