考点圆与方程

1、温馨提示：高考题库为 Word 版，请按住 Ctrl ，滑动鼠标滚轴，调节合适的 观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。考点 7 圆与方程(含空间直角坐标系)2010 年高考题1.(2010 ·广东高考文科· 6)若圆心在 x 轴上、半径为 5的圆 O位于 y轴左侧， 且与直线 x+2y=0相切，则圆 O 的方程是()A (x 5)2 y2 5 B (x 5)2 y2 5C (x 5)2 y2 5 D (x 5)2 y2 5【命题立意】 本题考察直线与圆的位置关系 .【思路点拨】 由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解 .a 2 0【规范解答】 选D 设圆心为 (a

2、,0) (a 0)，则r5，解得 a 5 ，所以，所求圆的方12 2222程为： (x 5) y2 5 ，故选 D .2. (2010·湖北高考理科· 9)若直线 y x b与曲线 y 3 4x x2 有公共点，则 b 的取值范围是()A. 1 2 2,1 2 2B. 1 2 ,3C.-1, 1 2 2D. 1 2 2 ,3【命题立意】 本题主要考查直线与圆的位置关系，考查考生数形结合、运动变化观点的应用和运算求解能 力【思路点拨】 将方程 y 3 4x x2 作等价变形，然后借助函数图像，利用运动变化的观点得到直线y x b在与曲线 y 3 4x x2 有公共点时 b 的

3、取值范围 .y【规范解答】 选 D. y 34x x22 y 32 由图可知当直线 y x b过点( 0， 3)(x 2)2 (y 3)2 4时 b 取最大值 3；当直线 yx b与圆 (x2)2(y3)24相切且切点在圆的下半部分时对应的 b 取最小值 . 由y2 x b 2 (x 2)2 (y 3)2消去4y 可得 x2 (2b 10)x (b 3)2 0，由 =0 得b 1 2 2 或b 1 2 2 (舍去)3. ( 2010·江西高考理科·)直线y kx 3与圆 (x 3)2 (y 2)2 4相交于 M，N 两点，若MN 2 3，则 k 的取值范围是 ( ), 34

4、0,规范解答】 选 A(方法 1)由题意，若使 MN 2 3，则圆心到直线的距离d 1 ，即3k 2 31 k21， 23,03命题立意】 本题主要考查直线与圆位置关系的判定及利用数形结合法解题的能力思路点拨】 方法一：数形结合，利用圆心到直线的距离进行判定方法二：联立方程组利用根与系数的关系及弦长公式求解3解得 k 0. 故选 A.4方法 2)设 点 M,N 的 坐标分 别为(x1,y1),(x2,y2) ， 将直线 方程和 圆的 方程联 立得方 程组y kx2 3 2 ，消去 y 得 (k2 1)x2 2(k 3)x 6 0， (x 3)2 (y 2)2 4由根与系数的关系得 x1 x22

5、(2k 3) ,x1 x222k 2 1由弦长公式知 |MN | 1 k2 |x1 x2 | 1 k2 (x1 x2 )2 4x1x2 = 2k(2k 13)2 4 26k2 1220k2 24k 12 k2 1|MN | 2 3,220k 2 24k 122 3 ，即 8k(4k 3) 0 ， 3 k 0，故选 A.44. （ 2010·上海高考理科· 5）圆 C :x2 y2 2x 4y 4 0 的圆心到直线 l ：3x 4y 4 0 的距离d【命题立意】 考查圆的方程和点到直线的距离公式【思路点拨】 先求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求值31424【规范解答】由

6、圆的方程可知圆心坐标为 C（1，2），由点到直线的距离公式， 可得 d32232 42答案： 35. （2010·四川高考理科· 4）直线 x 2y 5 0与圆 x2 y2 8相交于 A、 B 两点， 则 AB .命题立意】 本题主要考查点到直线的距离公式、圆的弦长公式及其直线与圆的位置关系 .思路点拨】 直线和曲线的相交弦问题，需联立方程组，利用弦长公式求解，特别地，直线和圆相交求弦长，可用圆心到直线的距离、半径求解规范解答】方法 1）设 A(x1, y1) ，B(x2, y2)，x2 2y2 5 0,消去 y 得 5x2 10x 7 0，由根 x2 y2 8.与系数的关

7、系得x1 x2 2,x1x2x1 x2(x1 x2 )2 4x1x24 15AB1（12）2x1 x25 4 15 2 3.25方法 2）因为圆心到直线的距离d5所以 AB 2 r2 d2 2 8 5 2 3 .答案： 2 36. (2010 ·海南宁夏高考·理科 T15)过点 A(4,1) 的圆 C与直线 x y 1 0 相切于点 B(2,1) 则圆C 的方程为.【命题立意】 本题主要考察了圆的相关知识， 如何灵活转化题目中的条件求解圆的方程是解决问题的关键 .【思路点拨】 由题意得出圆心既在点 A,B 的中垂线上， 又在过点 B(2,1) 且与直线 x y 1 0 垂直

8、的直线 上，进而可求出圆心和半径 .【规范解答】 由题意知，圆心既在过点 B(2,1) 且与直线 x y 1 0垂直的直线上，又在点 A,B 的中垂 线上 . 可求出过点 B(2,1) 且与直线 x y 1 0垂直的直线为 x y 3 0， A,B 的中垂线为 x 3，联立x y 3 0 x 3 方程 ，解得 ，即圆心 C(3,0) ，x 3 y 0半径 r CA 2 ，所以，圆的方程为 (x 3)2 y2 2.22答案： (x 3)2 y2 27. ( 2010·广东高考理科· 2)已知圆心在 x 轴上，半径为 2 的圆 O位于 y 轴左侧，且与直线 x+y=0相切，则圆

9、 O 的方程是【命题立意】 本题考察直线与圆的位置关系 .【思路点拨】 由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解规范解答】设圆心坐标为(a ,0)，则2 ，解得又圆心位于y 轴左侧，所以 a 2.故圆 O的方程为 (x 2)2 y2 2.答案： (x 2) 2 y2 28. (2010·天津高考文科· 4)已知圆 C的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点，且圆 C与直线 x+y+3=0 相切。则圆 C 的方程为【命题立意】 考查点到直线的距离、圆的标准方程、直线与圆的位置关系 .【思路点拨】 圆心到与圆相切直线的距离即为圆的半径 .【规范解答】 由题意可得圆心(

10、-1,0 )，圆心到直线 x+y+3=0 的距离即为圆的半径，故r 22 ，所以圆的方程为 ( x+1 )2 y2 2 .答案：(x+1 )2 y2 29. （2010·江苏高考· 9）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2 y2 4 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是 【命题立意】 本题考查直线与园的位置关系 .【思路点拨】 由题意分析，可把问题转化为坐标原点到直线的距离小于1，从而求出 c 的取值范围 【规范解答】 如图，圆 x 2 y2 4的半径为 2， 圆上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,

11、 问题转化为坐标原点（ 0， 0）到直线 12x-5y+c=0 的 距离小于 1.即 c 1,c 13, 13 c 13.122 5210. （2010·山东高考理科· 16）已知圆 C过点1,0 ），且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l ： y x 1 被答案： 13 c 13圆 C 所截得的弦长为 2 2 ，则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为 【命题立意】 本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了考生的分析问题解决问 题的能力、推理论证能力和运算求解能力 .【思路点拨】 根据弦长及圆心在 x 轴的正半轴上求出圆心坐标，再根据垂直关系可求直线方程

12、 .【规范 解答】 由题意 ，设所 求的直 线方程为 x+y+m=0 ，设圆心坐标为 （ a, 0），则 由题意 知：|a-1|2） 2 +2=（a-1） 2，解得 a=3或-1 ，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（ 3， 0），因为圆心（ 3，0）在所求的直线上，所以有 3+0+m=0 ，即 m=-3 ，故所求的直线方程为 x+y-3=0 .答案： x+y-3=0【方法技巧】 1、研究直线与圆的位置关系，要联系圆的几何特性，尽可能的简化运算. 如“垂直于弦的直径必平分弦” ，“圆的切线垂直于过切点的半径” ，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等 . 在解题时 应注意

13、灵活运用 .2、直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.11. （ 2010·山东高考文科· 6）已知圆 C过点（ 1,0 ），且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l：y x 1被该圆所截得的弦长为 2 2 ，则圆 C的标准方程为【命题立意】本题考查了点到直线的距离、直线与圆的关系，圆的标准方程等知识，考查了考生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】根据弦长及圆心在 x 轴的正半轴上求出圆心坐标，再求出圆的半径.【规范解答】设圆心坐标为 (a,0) ，圆的半径为 r ，则由题意知： (|a-1|)2+2=(a-1)2

14、，解得 a=3或-1 ，又 2因为圆心在x轴的正半轴上，所以 a=3，故圆心坐标为( 3，0)，r2 (a)123( )1 4, 2 故所求圆的方程为 (x 3)2 y2 4.答案： (x 3)2 y2 4【方法技巧】 1、研究直线与圆的位置关系，要联系圆的几何特性，尽可能的简化运算. 如“垂直于弦的直径必平分弦” ，“圆的切线垂直于过切点的半径” ，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等 . 在解题时 应注意灵活运用 .2、直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.12. ( 2010·湖南高考文科· 14)若不同两点 P,Q 的坐标分别为

15、( a，b)，(3-b，3-a)，则线段 PQ的垂 直平分线 l 的斜率为 ,圆(x-2 )2+(y-3)2=1关于直线对称的圆的方程为。【命题立意】 以朴素的两点坐标要求求满足条件的斜率，切中运用公式的要害。第二小问以圆为依托考查 对称图形的求法，主要考查学生对圆的性质的掌握。【思路点拨】 第一问直接利用两直线的斜率存在，那么相互垂直的充要条件是斜率之积等于 -1. 第二问把 圆的对称转化为圆心关于直线的对称。3 a b【规范解答】 设 PQ的垂直平分线的斜率为k，则 k· 3 a b =-1 ， k=-1. 而且 PQ的中点坐标是3 b a3 a b 3 a b 3 a b 3

16、a b( , ) ，L 的方程为： y-=-1 ·(x-) ， y=-x+3, 而圆心 (2,3) 关于2 2 2 2直线 y=-x+3 对称的点坐标为 (0,1) ，对称图形的方程为： x2+(y-1) 2=1.【方法技巧】 一个图形关于一条直线的对称图形的方程的求法，如果对称轴的斜率为±1，常常把横坐标代入得到纵坐标，把纵坐标代入得到横坐标，如 (a,b) 关于 y=x+c 的对称点是 (b-c,a+c) 。2009 年考题13. ( 2009辽宁高考)已知圆 C与直线 xy=0 及 x y 4=0都相切，圆心在直线 x+y=0 上， 则圆 C 的方程为( )A) (x

17、 1)2 (y 1)2 2(B)(x 1)2 (y 1)2 2(C) (x 1)2 (y 1)2 2 (D) (x 1)2 (y 1)2 2【解析】选B.圆心在 xy0上,排除C、D,再结合图象 ,或者验证 A、B中圆心到两直线的距离等于半径2即可.14. (2009浙江高考)已知三角形的三边长分别为3,4,5 ，则它的边与半径为 1的圆的公共点个数最多为()A3B 4 C5D 6345【解析】 选 B. 由于 3，4， 5 构成直角三角形 S，故其内切圆半径为 r=1, 当该圆运动时，最多与直角三角形 S 的两边也有 4个交点。15. ( 2009上海高考) .过圆 C：(x 1)2 (y

18、1)2 1的圆心，作直线分别交 x、y正半轴于 点 A、B， AOB 被圆分成四部分(如图) ，若这四部分图形面积满足 S S￥ S S|, 则直线 AB有()(A) 0 条( B) 1 条(C) 2 条( D) 3 条【解析】选B.由已知，得： SIV SII SIII SI , ，第II ，IV部分的面积是定值，所以， SIV SII为定值， 即 SIII SI , 为定值，当直线 AB绕着圆心 C 移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选 B。16.(2009湖南高考)已知圆 C1：(x 1)2+(y 1)2 =1，圆C2与圆 C1关于直线 x y 1 0对称，则圆 C

19、2 的方程为( )2 2 2 2(A) (x2)2+(y2)2=1(B) (x2)2+(y2)2=1(C) (x2)2+(y2)2=1(D) (x2)2+(y2)2=1a1b11022【解析】 选 B.设圆 C2 的圆心为( a，b)，则依题意，有，a1解得： a 2 ，对称圆的半径不变，为 1，故选 B. b2）科网17. （2009陕西高考）过原点且倾斜角为 60 的直线被圆 学 x2 y2 4y 0所截得的弦长为（A) 3B)2C) 6D) 2 3w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解析】 选 D. 过原点且倾斜角为 60°的直线方程为1,因此弦长为 2 R2 d 2 2 4

20、 1 2 33x y 0,圆x2 （ y 2）2 4的圆心（ 0，2）到直线的距离为 3 0 2311的位置关系为（6. （2009 重庆高考）直线 y x 1与圆 x2 y2A相切 B 相交但直线不过圆心直线过圆心D相离解析】 选 B. 圆心 （0,0） 为、到直线 y x 1 ，即 x y 1 0 的距离d 1 2 ，而 0 2 1 ，2 2 2选 B。18. （2009 重庆高考）圆心在y 轴上，半径为 1，且过点（ 1， 2）的圆的方程为（A x2 (y 2)2 1 x2 (y 2)2 1C (x 1)2 (y 3)2 1D x2 (y 3)2 1解析】 选 A.方法 1（直接法）：设

21、圆心坐标为 （0,b） ，则由题意知 （0 1）2 （b 2） 1，解得 b 2，故圆的方程为 x2 （y 2） 2 1。方法 2（数形结合法） ：由作图根据点 （1,2） 到圆心的距离为 1易知圆心为（ 0，2），故圆的方程为x2 （y 2）2 1方法 3（验证法）：将点（ 1，2）代入四个选择支排除 B，D，又由于圆心在 y 轴上，排除 C。19. （2009 上海高考）过点 P（0, 1） 与圆 x2 y2 2x 3 0相交的所有直线中， 被圆截得的弦最长时的直 线方程是 （ ）（ A） x 0（ B） y 1（ C） x y 1 0（ D） x y 1 0【解析】选C.点P（ 0, 1

22、）在圆 x2 y2 2x 3 0内，圆心为 C（1，0），截得的弦最长时的直线为 CP，方 程是 x y 1，即 x y 1 0 。1120. ( 2009安徽高考)在空间直角坐标系中，已知点A( 1，0， 2)， B(1 ， -3 ， 1) ，点 M在 y 轴上，且 M到 A 与到 B的距离相等，则 M的坐标是 。【解析】 设M(0, y,0) 由12 y2 4 1 ( 3 y)2 1可得 y 1故M (0, 1,0) 答案 : (0,-1 ，0) w.21. (2009 广东高考)以点( 2， 1)为圆心且与直线 x y 6相切的圆的方程是.|2 1 6| 5 解析】 将直线 x y 6化

23、为 x y 6 0, 圆的半径 r ,1 1 22 2 25 所以圆的方程 (x 2)2 (y 1)2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2 答案 : (x 2)2 (y 1)2 25222. ( 2009天津高考)若圆 x2 y2 4 与圆 x2 y2 2ay 6 0 (a>0)的公共弦的长为 2 3，则 a w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】 由知 x2y22ay 6 0 的半径为 6a2，由图可知 6a2( a1)2(3)2解之得 a 1 答案 :1.23. ( 2009全国)已知 AC、BD为圆 O: x2 y2 4的两条相互垂直的弦，垂足为 M 1, 2 ,则四边

24、形 ABCD 的面积的最大值为。【解析】 设圆心 O到 AC、BD的距离分别为 d1、 d2 ,则d12+d22 OM 2 3. 四边形 ABCD的面积 S 1|AC| |BD | 2 (4 d12 )(4- d22)2 (1 d22)(4- d22) 2 (d22- 3)2 250 d22 323当d22时S四边形 ABCD有最大值为 5.2答案: 5.2224. ( 2009 全国)已知圆 O：x2 y2 5和点 A( 1，2)，则过 A且与圆 O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于1【解析】 由题意可直接求出切线方程为 y-2= (x-1) ，即 x+2y-5=0, 从而求出在两坐

25、标轴上的截距分别251 525是 5 和 5 ，所以所求面积为 1 5 5 25 。22 24答案 : 25425. (2009 湖北高考)过原点 O作圆 x2+y26x8y 20=0的两条切线，设切点分别为 P、Q，则线段 PQ的长为。【解析】 可得圆方程是 (x 3)2 (y 4)2 5 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得 PQ 4答案:426. ( 2009四川高考)若 O1:x2 y2 5与O2:(x m)2 y2 20(m R)相交于 A、 B两点， 且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB的长度是. w【解析】 由题知 O1(0,0),O2(m,0)，且 5 |m|

26、3 5 ，又O1A AO2 ，所以m2 ( 5)2 (2 5)2 25 m 5 ， AB 2 5 20 4 。5答案: 4.x 1 2cos27.(2009福建高考)已知直线 l:3x+4y-12=0 与圆 C: ( 为参数 ) 试判断他们的公共y 2 2sin点个数 .【解析】 圆的方程可化为 (x 1)2 (y 2)2 4.其圆心为 C( 1,2) , 半径为 2.圆心到直线的距离 d |3 ( 1) 4 2 12| 7 232 425故直线与圆的公共点个数为 2.答案： 22228. ( 2009江苏高考)在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 C1:(x 3)2 (y 1)2 4和圆22

27、C2:(x 4)2 (y 5)2 4.(1)若直线 l 过点 A(4,0) ，且被圆 C1截得的弦长为 2 3，求直线 l 的方程；2)设 P为平面上的点， 满足：存在过点 P的无穷多对互相垂直的直线 l1和l2 ，它们分别与圆 C1和圆 C2相交，且直线 l1被圆 C1截得的弦长与直线l2 被圆 C2 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标。【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题 的能力。满分 16 分。(1) 设直线 l 的方程为： y k(x 4) ，即 kx y 4k 0 由垂径定理，得：圆心 C1到直线 l 的距离 d

28、22 (2 3)2 1，结合点到直线距离公式，得： | 3k 1 4k | 1, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 结合点到直线距离公式，得： k2 1 1,27化简得： 24k2 7k 0,k 0或 k24求直线 l 的方程为：y 0或 y 274(x 4)，即 y 0或 7x 24y 28 0(2) 设点 P坐标为 (m,n)，直线 l1、 l2的方程分别为：111y n k(x m),y n (x m) ，即： kx y n km 0, x y n m 0 kkk因为直线 l1被圆 C1截得的弦长与直线 l2被圆 C 2截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得圆心 C1 到直线

29、 l1 与 C2 直线 l2 的距离相等。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m故有：| 3k 1 n km|k2 141 | 5 n m|kk化简得： (2 m n)k m n 3,或(m n 8)k m n 5关于 k 的方程有无穷多解，有：2 m n 0m-n+8=0, 或w.w.w.k.s.5.u.c.o.mm n 3 0m+n-5=0解之得：点P 坐标为( 23,123)或 (52, 122008 年考题29. （ 2008山东高考）若圆 C的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x 3y 0和 x轴相切，则该圆的标准方程是（ ）A （x3）2 （y7）21B （x2）2（y1）

30、213C （x1）2 （y3）21D（x3）2（y1）2 12【解析】 选 B. 设圆心为 （a,1）, 由已知得 d |4a 3| 1, a 2（舍 1）. 5230. （ 2008广东高考）经过圆 x2 2x y2 0 的圆心 C，且与直线 x y 0垂直的直线方程是（ ）Axy1 0Bxy10Cxy10Dxy10将点 C 的坐标代入马上就能求出参数【解析】 选 C.易知点 C为 （ 1,0） ，而直线与 x y 0 垂直，我们设待求的直线的方程为y x b ，b 的值为 b 1 ，故待求的直线的方程为 x y 1 0 （或由图象 快速排除得正确答案） 。31. （ 2008山东高考）已知

31、圆的方程为x2y26x8y0. 设该圆过点（ 3， 5）的最长弦和最短弦分别为AC和 BD，则四边形 ABCD的面积为A 10 6B 20 6C 30 6D 40 6解析】 选 B。将方程化成标准方程(x 3)22（y 4）2 25，过点 （3,5） 的最长弦（直径）为 AC 10,最短弦为 BD 2 52 1232. （2008 全国）若直线4 6, S 1 AC2x y1与圆 x2 y2 1有公共点，则（ ） abBD 20 6.A a2 b2 1 B2 2 1 1 1 1a2 b2 1 C 22 1 D 22 1a2 b2 a2 b2解析】 选 D.本题主要考查了直线与圆的位置关系的判断

32、，由相切或相交得：d r ，(1a)2 1(b1)2 1， (1a)2 (b1)2 1 ab33. ( 2008安徽高考)若过点 A(4,0) 的直线 l 与曲线 (x 2)2 y2 1有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围为( )A 3, 3B ( 3, 3)C 33D ( 33, 33)33解析】 选 C. 方法一：数形结合法(如图)另外，数形结合画出图象也可以判断C正确。方法二：利用距离与半径的关系点 A 4,0 在圆外，因此斜率必存在。设直线方程为 y k(x 4) ，即 kx y 4k 0 ，直线 l 与曲线 (x 2)2 y2 1 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 d2k 4

33、kk2 11，得 4k2 k2 1,k2 1333 k 3334. (2008 上海高考)如图，在平面直角坐标系中， 是一个与 x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴分别相切于点 C、D的定圆所围成区域 (含边界)，A、B、C、D是该圆的四等分点， 若点 P(x,y)、P(x,y ) 满足 x x且 y y ，则称 P优于 P ，如果 中的点 Q满足：不存在中的其它点优于 Q，那么所有这样的点 Q组成的集合是劣弧(A ABB AB C AB D AB解析】 选 D. 由题意知，若 P 优于 P ，则 P在 P 的左上方， 当 Q 在 上时，左上的点不在圆上， 不存在其它优于 Q的点， Q组成的集合是

34、劣弧。35.（2008天津高考） 已知圆 C的圆心与点 P（ 2，1）关于直线 y x 1对称直线 3x 4y 11 0与圆 C相交于 A，B两点，且 AB 6，则圆 C 的方程为【解析】 本小题主要考查直线方程中的对称问题，圆中有关弦长的计算两方面的知识由已知可求圆心的坐标为(0, 1) ，所以 r232 ( 4 211)2522218 ，圆的方程为 x2 (y 1)2 18 答案 : x2 (y 1)2 1836. （2008宁夏海南高考）已知 m R,直线 l :mx （m2 1）y 4m和圆C :x2 y2 8x 4y 16 0.（）求直线 l 斜率的取值范围；1（）直线 l能否将圆

35、C分割成弧长的比值为 1 的两段圆弧？为什么？2 【解析】（） k2m , km2 m k 0（ ） ，m2 111 m R,当 k0时 0，解得 k 且 k02211又当 k0时， m0，方程 （ ）有解，所以，综上所述1k 1221（）假设直线 l能将圆 C分割成弧长的比值为 1 的两段圆弧设直线 l与圆 C交于 A，B两点2则 ACB120°圆 C:（x 4）2 （y 2）2 4，圆心 C（4， -2 ）到 l 的距离为 14m 2（m2 1） 4m故有1，整理得 3m4 5m2 3 0 m2 （m2 1）252 4 3 3 0 ， 3m4 5m2 3 0 无实数解1因此直线

36、l不可能将圆 C分割成弧长的比值为 1 的两段圆弧237. （ 2008江苏高考）在平面直角坐标系 xOy中，二次函数 f（x） x2 2x b（ x R ）与两坐标轴有 三个交点记过三个交点的圆为圆 C （）求实数 b 的取值范围；（）求圆 C 的方程；（）圆 C 是否经过定点（与 b 的取值无关）？证明你的结论解析】（）令 x=0，得抛物线于 y 轴的交点是（ 0， b）令 f （x）=0 ，得 x2+2x+b=0，由题意 b0且>0，解得 b<1 且 b0 （）设所求圆的一般方程为 x2+ y 2+Dx+Ey+F=0令 y=0，得 x2+Dx+F=0，这与 x2+2x+b=0

37、 是同一个方程，故 D=2，F=b2令 x=0，得 y2+ Ey+b=0，此方程有一个根为 b，代入得 E=-b-1所以圆 C 的方程为 x2+ y 2+2x -（ b+1） y+b=0 （）圆 C必过定点（ 0，1），（ -2，1） 证明如下：将（ 0，1）代入圆 C 的方程，得左边 = 02+ 12+2×0-（ b+1）× 1+b=0，右边 =0 所以圆 C必过定点（ 0， 1）； 同理可证圆 C必过定点（ -2 ，1）38. （ 2008北京高考）已知菱形 ABCD的顶点 A，C在椭圆 x2 3y2 4上，对角线 BD所在直线的斜率 为 1 （）当直线 BD 过点 （

38、0，1）时，求直线 AC 的方程；）当 ABC 60 时，求菱形 ABCD 面积的最大值【解析】（）由题意得直线 BD 的方程为 y x 1 因为四边形 ABCD为菱形，所以 AC BD 于是可设直线 AC 的方程为 y x n 22得 4x2 6nx 3n2 4 0x2 3y2 4 y x n因为 A，C 在椭圆上，所以12n2 64 0，解得 4 3 n 4 3 33设 A，C 两点坐标分别为 （x1， y1），（x2，y2），则 x13nx2， x1x223n2 44y1x1 n， y2x2 n所以 y1 y2 n 所以 AC 的中点坐标为 3n ，n 44由四边形 ABCD为菱形可知，

39、点3n ，n 在直线 y x 1上，44所以 n 3n 1，解得 n2 44所以直线 AC的方程为 y x 2，即 x y 2 0（）因为四边形 ABCD 为菱形，且 ABC 60 ， 所以 AB BC CA 所以菱形 ABCD 的面积 SAC 2 2 2 2由()可得 AC(x1 x2)2 (y1 y2)23n2 16所以 S 3( 3n2 16)44343339. （ 2008湖北高考）如图，在以点所以当 n 0时，菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3O为圆心， |AB| 4为直径的半圆 ADB 中，OD AB ， P是半圆弧上一点， POB 30 ，曲线 C是满足 |MA| |MB| 为定值的动点 M 的轨迹，且曲线 C 过点 P.（）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；（）设过点 D的直线 l 与曲线 C相交于不同的两点 E、 F. 若 OEF 的面积不小于 2 2 ，求直线 l 斜率的取值范围 .A（-2，【解