等角螺线和它

1、等角螺线及其它? 何谓等角螺线? 等角螺线的方程式? 趣史一则? 等角螺线上的相似性质? 黄金分割与等角螺线? 等角螺线的弧长? 等角螺线的再生性质? 其它螺线举例几何学是一门源远流长的数学分支， 在十七世纪以前， 几何学一词甚至可说是数 学的同义词，它以往的风光可想而知。曾几何时，因为某些在与外在的因素，几 何学的地位似乎已逐渐没落； 在中小学的数学教材里， 几何题材一次又一次地被 删除。这种现象使我们感到忧心， 因为自然环境中隐藏着许多几何原理， 不了解 这些几何知识，不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗？笔者从事数学教育工作多年， 又是现行高中数学教科书的编者之一， 对当前高中

2、 数学教材中几何题材的过度贫乏， 实在感到忧心忡忡。 在无力对教科书作大幅度 修改的情况下，只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。基于上述想法， 笔者希望能以一系列的文章来介绍一些几何题材。 在容方面， 笔 者首先选上曲线。 因为曲线的讨论不仅是几何学中最有趣的题材之一， 而且许多 曲线都会在自然现象中出现， 它们的性质也往往能提供重要的应用。 例如：天文 望远镜的设计，不就是根据拋物线的反射性质吗？本文介绍等角螺线。何谓等角螺线在一片空旷的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶 点 A、B、C、 D 上。狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着 丁狗、丁狗紧盯着

3、甲狗。一声令下，四只狗以相同的速度同时冲向目标。假定每 只狗在每个时刻都是正面朝向它的目标， 那么，这四只狗所跑过的路径是什么形 式呢？ 假设四只狗在某一时刻的位置分别为 A1、B1、C1、 D1（见图一），则根据四只 狗的行动一致所产生的对称性，可知 也是正方形，而且它的中心也就是正方形 的中心 O。更进一步地，由于在 A1 点的甲狗系冲向在 B1 点的乙狗，所以，甲狗在此一时刻的速度方向在向量 上。或者说，甲狗所跑的路径在 A1 点的切 线与直线 OA1 形成 45°的夹角。同理，图一乙狗所跑的路径在 B1 点的切线与直线 OB1 形成 45°的夹角等等。 一般而言，若

4、一曲线在每个点 P 的切向量都与某定点 O 至此点 P 所成的向量 夹成一定角，且定角不是直角，则此曲线称为一等角螺线 (equiangular spiral) ， O 点称为它的极点 (pole) 。前面所提的四狗追逐问题中， 每只狗所经过的路线都是一等角螺线的一部分， 此 等角螺线中的定角是 (或 ，因为切向量可选成相反方向)，而其极点是正方形 的中心 O。等角螺线的方程式在坐标平面上，若极坐标方程式 表示一等角螺线()，其极点是原点 O，定角 为 ( ) ，则因在点 的切向量为所以，可得由此可得下述结果：换言之，此等角螺线的极坐标方程式为在前面所提的四狗追逐问题中，若中心 O 是极点而点

5、 A 的极坐标为 ，则甲、乙、丙、丁 四只狗所跑的路径分别在下述四等角螺线上：, , ,前面所提的 ，就是等角螺线的极坐标方程式。由于在导出此方程式的过程中曾 经引用了自然对数，所以，等角螺线也称为对数螺线 (logarithmic spiral)。趣史一则等角螺线的性质，笛卡儿( R. Descartes, 1596 1650)在 1638 年就已经考虑 过，但没有获得特殊结果。 托里拆利(E. Torricelli,16081647 年)却在 1645年发现有关等角螺线弧长的一项性质，这项性质在下文中将会介绍。对于等角螺线的探讨，以伯努利( J. Bernoulli, 1654 1705

6、年)的成果最为 丰硕。他发现将等角螺线作某些变换时， 所得的曲线仍是全等的等角螺线。 这些 变换包括：求等角螺线的垂足曲线 (pedal curve) ；求等角螺线的渐屈线 (evolute) ；求等角螺线反演曲线 (inversive curve) ；求等角螺线的焦线 (caustic curve) ；将等角螺线以其极点为中心作伸缩变换 (dilation) ，由于这 些变换都可以使等角螺线再生， 这个现象使伯努利大为欣慰， 所以，临殁遗言要 将等角螺线的这些性质刻在他墓碑上， 同时题上一句话： Eademm utata resurgo (虽然某些状况改变了，我却保持不变)。这是继阿基米德(

7、纪元前三世纪)之 后，另一位在墓碑上表现其成果的数学家。等角螺线上的相似性质根据等角螺线的方程式 ，可以看出：对每个 值，都有一个对应的 r 值；而 且不同的 值所对应的 r 值也不同（因为 ）。这种现象表示：从等角螺线上 某个点出发， 随着 值的无限制增大与无限制减小， 此曲线会环绕它的极点形 成无数多圈，一面是愈绕愈远，一面是愈绕愈聚集在极点附近。若 ，则当 时， 曲线聚集在极点附近。 若 ，则当 时，曲线愈绕越远。 图二是等角螺线的一部分 。图二图三若辐角 , 构成一个等差数列， 则由指数的性质， 对应的向径 ， ， ， 就 构成等比数列。若令 Pn 表示极坐标 的点，则上述结果表示 ,

8、 , , 构成一个 等比数列。又因 ，所以可知 与 相似。由此可知：构成一个等比数列。若上述等差数列 , 的公差是 ，P1, P2, P3, 等乃是过极点的一射线与等角 螺线的交点。 可见：过极点作任意射线， 则此射线与等角螺线的交点必以等比数 列的形式排列在射线上。对于一般的几何图形， 若我们选定某个点做为伸缩中心将图形放大或缩小， 则可 得到一个相似的图形， 在等角螺线的情形中， 若伸缩中心是它的极点， 则不论放 大或缩小多少倍， 所得的不只是相似图形而已， 它是与原等角螺线全等的一个等 角螺线。为什么呢？若以极点为伸缩中心将等角螺线 伸缩 m 倍，则所得的图 形是等角螺线 。因为，所以可

9、找到一个实数 使得。于是伸缩后的图形为 ， 这个图形其实就是等角螺线 绕极点顺时针旋转 角所得，它自然与原等角螺线 全等。根据前段的说明，我们可以了解：等角螺线上的一段弧经伸缩若干倍后， 必与该 等角螺线上的另一弧全等。事实上，若等角螺线 经伸缩成，则在等角螺线 ， 辐角 满足的弧，经伸缩后必与该等角螺线上辐角 满足的弧全等。等角 螺线的这项特性，使得自然界中许多物体都呈现等角螺线的形状。 例如：许多贝 壳都很接近等角螺线的形状，因为生活在壳的动物在成长过程中都是均匀地长 大，这就像相似地放大，所以，新生的部分所栖息的空间必与原有空间形状相似。 象鼻、动物的角与毛等都呈等角螺线形。在植物中，向

10、日葵、菠萝与雏菊上的螺 旋纹也都呈等角螺线形。图四是鹦鹉螺的横截面，这么美的线条，令人不得不佩 服造物之奇。图四黄金分割与等角螺线环绕某个定点而相似地缩小，这是等角螺线在其极点附近呈现的形状。 假如我们 将多边形环绕一定点而相似地缩小，是不是会与等角螺线生关联呢？图五在图五中，、 等是一系列的矩形，这些矩形中每两个都相似（亦即： 边的比值相等） ，而且后一矩形都是由其前面的矩形挖掉一个正方形而得的。 如： 是由挖掉正方形而得的。此时，上列矩形的第一个顶点 A、C、E、G、I、K 等会落在一等角螺线上，此等角螺线的极点是 、等共交的点 O。若以 O 为 极点，射线为极轴，且 A 的极坐标为，则此

11、等角螺线的极坐标方程式为其中 。此等角螺线通常称为黄金螺线。为什么会扯上 呢？原来这个数就是上述相似矩形的长边与短边的长度之比。因 为由 与 可得若线段 上的一点 C 满足 ，则称 C 点将 黄金分割。当 C 点将 黄金分割时， （或 ）的 值是 ，此数称为黄金分割比。若一矩形的长边与短边的比值为 ，则此矩形称为黄金矩形。由黄金矩形可引出等角螺线，将矩形改成三角形，也会有同样的结果吗？ 在图六中 、等是一系列的等腰三角形，这些等腰三角形中每两 个都相似， 而且后一等腰三角形， 都规定是由其前面的等腰三角形挖掉一个等腰 三角形而得的。例如： 是由 挖掉等腰三角形 而得的。图六此时，上列等腰三角形

12、的顶点 A、B、C、D、 E、 F、G、H、等会落在一等 角螺线上，此等角螺线的极点是 与 的交点 O。若以 O 为极点、射线 为极轴、 且 A 的极坐标为 ，则此等角螺线的极坐标方程式为其。此等角螺线也称为黄金螺线。此等角螺线也扯上 ，其理由如下：上述的相似等腰三角形 ABC 等，可证明其 顶角为 36°，而底角为 72°，所以， 。此种三角形称为黄金三角形。等角螺线的弧长假定我们想计算等角螺线 上，辐角 满足那段弧的长，利用前面所提的相似 性质，我们可将区间 等分成 n 等分，设每一等分的长为 h，即。又令 Pi 表 示极坐标 ( ) 的点， i=0,1,2, ,n，先

13、考虑所得折线的长 + + + 。若这个和 在(或)时的极限存在，则其极限值就是所欲求的弧长。上述的折线长怎么计算呢？因为 与相似，所以 = = 由此可得另一方面，利用余弦定律可求得再根据微积分中的 L'Hospital 法则，可得由此可得由此可知：在等角螺线上，辐角 满足那段弧的长为：此值等于该弧的两端点向径之差与 的乘积。在的情形中，因为当 时，可得，所以，极点可以看成是等角螺线的一个终极 位置。我们也因此可以问：由点 绕回极点 O 的长度为多少？这段弧是辐角 满足所对应的部分，它的长度可以分别考虑 满足、 等部分的弧长， 然后相加而得。因此，由 至 O 的弧长等于前面所得的结果，可

14、以做一项有趣的几何解释：过 O 作一直线与 垂直，因为过 P 的切线 与不垂直，所以，上述垂直线与切线交于一点T。由于，于是，可得 。换言之，由 P 点绕回 O 点的弧长与 的长相等，这就是托里拆利所发现的性质（见图七） 。前段所提的性质，还可作如下的解释：设想等角螺线在直线 PT 上作不滑的滚 动，则极点 O 最后会移动到 T，而且在滚动过程中， O 点的运动路径就是 。等角螺线的再生性质垂足曲线设 C 为一曲线而 O 为一定点，自 O 向 C 的所有切线作垂直线，则所有垂足 所成的图形称为曲线 C 对定点 O 的垂足曲线。若 C 是等角螺线 ，则 C 对其极点的垂足曲线是一个全等的等角螺线

15、，为什么 呢？在图七中，若 是在切线 PT 上的垂足，则 ，而 是 P 的辐角（设 ）。因 此，可得换言之，所有 H 点构成等角螺线焦线设 C 为一曲线而 O 为一定点，将过 O 的所有直线都对曲线 C 作反射，若反 射所得的所有直线都是某曲线的切线， 则此曲线称为曲线 C 对定点 O 的焦线。若 C 是等角螺线 ，则 C 对其极点的焦线是一个全等的等角螺线，我们说明如 下。设 P 是等角螺线 C 上一点， 是极点 O 对于过 P 之法线的对称点，则 直线 OP 对等角螺线 C 反射，所得的直线就是直线 PR（见图七）。显然， ， 而且 是点 P 的辐角（设 ）。因此，可得换言之，所有 R 点

16、构成等角螺线 。因为此等角螺线过 R 点的切线与直线 OR 的夹角等 于 ，而直线 PR 正具有这项性质。也就是说，直线 PR 就是此等角螺线在 R 点的切线。 因此，此等角螺线就是原等角螺线 对极点 O 的焦线。渐屈线设 C 为一曲线，作 C 的所有法线，若所有法线都是某曲线的切线，则此曲线 称为曲线 C 的渐屈线。若 C 是等角螺线 ，则 C 的渐屈线是一个全等的等角螺线，我们说明如下。设 P 是等角螺线 C 上一点， 在过 P 的法线上而且 （见图七）。显然， ，而且 是点 P 的辐角（设 ）。因此，可得换言之，所有 N 点构成等角螺线 。因为此等角螺线过 N 点的切线与直线 ON 的夹

17、角等 于 ，而法线 PN 正具有这项性质。也就是说，法线 PN 就是此等角螺线在 N 点的切线。 因此，此等角螺线就是 的渐屈线。曲线 C 的渐屈线也可定义为曲线 C 的每个点的曲率中心所成的图形。在 图七中，该等角螺线在 P 点的曲率中心就是 N、曲率半径就是 ( )。习题：试证图七中的所有 T 点所成的图形仍是一个全等的等角螺线， 称为原等角螺线的渐 伸线 (involute) 。其它螺线举例除了等角螺线外， 数学上还有许多不同形式的螺线， 像阿基米德螺线、 双曲螺线 (hyperbolic spiral) 、拋物螺线 (parabolic spiral) 、连锁螺线 (lituus) 等

18、， 其中的阿基米德螺线最为有趣，我们略作介绍如下。向径与辐角的比值是常数时， 其轨迹称为阿基米得螺线。 以极坐标表示时， 其方 程式为 ，其中 a 是常数。早在古希腊时代，大数学家阿基米德就对这种螺线作过研究， 并写成一篇名为On spirals 的作品。在图八中， PQR 是一把木匠用的曲尺，其短臂的侧 之长为 a，圆 O 的半径也 为 a， A 与 B 是圆 O 上两点，而且 是直角。首先，将曲尺上的 P 与 Q 分 别置于 O 与 B，然后将曲尺的长臂侧 沿着圆 O 滚动，则在滚动过程中， P 点 所经过的路径就是阿基米德螺线 的一部份。 为什么呢？在图八中， 已经滚动到 与 O 相切于 T 点。则 = 弧 TB 的长。设 。于是，可得 = = 弧 TB 的长 = (此 处 系以弪为单位)。因为向径与辐角成比例， 所以，阿基米德螺线可用来将等角速运动转换成等速直 线运动，在图九中，有一个心状的图形是由两段全等的阿基米德螺线弧所接合而 成，它们的极点都是 O，其上的 F 则连接在一个可上下移动的杆子上。当心状 图形以等角速绕 O 点转动时，就可带动上面的杆子作等速直线运动。图八将阿基米德螺线对其极点作反演变换 (inversion) ，所得的反演曲线是一双曲螺 线，所谓反演变换，其意义如下：设圆