连续体的振动PPT课件

1、弦的横向振动弦的横向振动弦两端固定，以张力F拉紧，在分布力作用下做横向振动微元法求弦振动方程为单位长度弦的质量p(x,t)为单位长度弦上分布的作用力，建立坐标系xoyy(x,t)弦上距原点x处的横截面在t时刻的横向位移取微段，对微段进行受力分析：第1页/共28页弦的横向振动弦的横向振动将方程整理得：根据达朗贝尔原理:第2页/共28页弦的横向振动的固有频率和主振型弦的横向振动的固有频率和主振型固有频率和主振型从前面的章节中，我们知道振动系统的固有频率和主振型可以通过研究其自由振动来获得。弦的自由振动有一个性质：弦上的各点做同步运动可以用数学中的分离变量法：将弦振动函数y(x,t)分解为空间函数Y

2、(x)和时间函数F(t)的乘积第3页/共28页弦的横向振动的固有频率和主振型弦的横向振动的固有频率和主振型（4-4）关于方程(4-4)二阶常微分方程，解为：整理则有：（4-6）（4-5）第4页/共28页弦的横向振动的固有频率和主振型弦的横向振动的固有频率和主振型 式中，A、B由两个初始条件决定。 对于两端固定的弦，边界条件是： 式中，C、D由两个初始条件决定。 或（4-7）（4-8）第5页/共28页弦的横向振动的固有频率和主振型弦的横向振动的固有频率和主振型运动的初始条件为：（4-9）有了这四个约束条件，就能求解系统的偏微分方程了。将(4-8)代入式(4-7)中，得到：（4-10）这就是两端固

3、定弦的特征方程，由此可得到一系列的特征值：第6页/共28页弦的横向振动的固有频率和主振型弦的横向振动的固有频率和主振型一一对应（4-12）第7页/共28页弦的横向振动的固有频率和主振型弦的横向振动的固有频率和主振型由于D=0，振型是各点振幅的比值，比例因子C不影响该比值，所以：将(4-13)和(4-6)代入y(x,t)=Y(x)F(t)中，即得到弦的主振动（4-13）由于弦各阶主振动的叠加即为自由振动定解，所以：第8页/共28页弦振动性结论弦振动性结论 弦振动性结论1.两端固定弦的自由振动，除了基频之外，还可以包含频率为基频整数倍的振动，这种倍频振动称为谐波振动。在音乐上，正是这种频率之间的整

4、数倍关系模式的谐波与基波组成了各种悦耳的谐音结构。2.与离散系统相似，弦在任意初始条件下的自由振动可以由固有振型的叠加构成。3.阶数越高，节点数越越多。第i阶振型中节点个数为i-1。第9页/共28页杆的纵向振动杆的纵向振动以等截面细直杆的纵向振动为例假设振动过程中各截面仍保持为平面忽略有纵向振动引起的横向变形第10页/共28页杆的纵向振动杆的纵向振动微段分析u(x,t)为杆上距原点x处截面在时刻t的纵向位移由达朗贝尔原理列出方程式为：(4-36)第11页/共28页杆的纵向振动杆的纵向振动将（3-35）代入（4-37）得：(4-37)（杆的纵向强迫振动方程）对于等直杆ES为常数，自由振动时p(x

5、,t)=0，所以：第12页/共28页杆的固有频率和主振型杆的固有频率和主振型 由于杆的振动方程和弦横向振动方程类似，也是运用分离变量法 u(x,t)=U(x)F(t) 式中 U(x)为空间函数，F(t)为时间函数得到： 设为 将上式代入（4-37）得：第13页/共28页杆的纵向振动杆的纵向振动这两个微分方程的解分别为：第14页/共28页轴的扭转振动轴的扭转振动轴的扭转振动细长圆截面等直杆在分布扭矩作用下作扭转振动假设振动过程中各截面仍保持为平面第15页/共28页轴的扭转振动轴的扭转振动取微段，截面处的扭矩为T,则：由达朗贝尔原理列出方程为：整理得：(圆截面杆的强迫振动方程)第16页/共28页轴

6、的扭转振动轴的扭转振动总结弦的横向振动杆的纵向振动轴的扭转振动虽然它们在运动形式上表现不同，但运动微分方程是类似的，都是一维波动方程第17页/共28页轴的扭转振动轴的扭转振动所以根据弦横向振动微分方程的解可直接写出：第18页/共28页梁的横向振动梁的横向振动一根棱柱形梁在x-y平面内所做的横向自由振动梁的横向自由振动第19页/共28页梁的横向振动梁的横向振动取微段由达朗贝尔原理列出方程式：第20页/共28页梁的横向振动梁的横向振动对x+dx截面任一点取矩，做力矩平衡方程得：化简得：化简得：(4-56)第21页/共28页梁的横向振动梁的横向振动(4-57)将(4-58)代入（4-56）得：(4-58)第22页/共28页梁的横向振动梁的横向振动上式即为等截面横梁自由振动的运动方程，它是一个四阶齐次偏微分方程第23页/共28页薄膜的横向振动薄膜的横向振动如下图所示，在xy平面内边界曲线为S=S(x,y)的薄膜。 令f(x,y,t)表示沿z方向作用的力 T表示在某点处张力的密度，为常量横向振动方程第24页/共28页薄膜的横向振动薄膜的横向振动若薄膜均匀，载荷处处相等，则上式化简即获得薄膜横向强迫