北师大版高中数学(必修5)2.1《正弦定理与余弦定理》(第1课时)

1、 11正弦定理 二、解三角形 1解三角形时常用的结论 (1)在abc中，ab_；(即在一个三角形中大边对大角) (2)abc，bca，_；(即在一个三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边) (3)内角和定理：abc中，abc_. 2正弦定理的应用 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任意一边，求其他_和_； (2)已知两边和其中一边的对角，求_，从而进一步求出其他的边和角 对于第(1)类，其解是唯一确定的，一般先由三角形内角和为180求得_，再利用正弦定理求其余两边； 对于第(2)类，其解不一定唯一，由于三角形的形状不能唯一确定，因而会出现_三种情况 友情提

2、示：在abc中，如果已知边a，b和角a，解的情况讨论如下： 一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解和无解三种情况 a为锐角，如下图： absinaabsinabsinaabab _解_解_解_解 a为直角或钝角，如下图 _解_解_解_解 归纳列表如下： 1.正弦定理的推导方法 对正弦定理的推导，我们可以从几何的角度进行推导如图，以abc的顶点a为原点，边ac所在的射线为x轴的正半轴，建立直角坐标系 另外，我们也可以从abc的外接圆来进行推导，如图 当abc为直角三角形时，如图所示，其外接圆的圆心o位于rtabc的斜边ab上，r为外接圆的半径 2已知两边与其中一边的对角时，怎样确

3、定三角形解的个数？ 利用数形结合和三角函数知识来分析例如：已知abc的两边a，b和角a解三角形时，有以下方法： 方法一：可以作图，利用数形结合加以说明如下表所示： 具体解题时，作出已知角a，边长b，以点c为圆心，以边长a为半径画弧，与射线ab的公共点(除去顶点a)的个数即为三角形解的个数 分析：从方程的观点看，正弦定理有三个等式，可视为三个方程，每个方程都含有四个量，知其三个量，便可求得第四个量本题已知abc的两边和其中一边的对角，运用正弦定理可求出角a，然后再利用三角形内角和公式求得角c，进而求出边c. 变式训练1在abc中，c10，a45，c30，求a、b和b. 例2abc中，内角a、b、

4、c的对边分别为a，b，c，已知b5，b30，若c ，解此三角形分析：主要考查用正、余弦定理解三角形及三角形中三角变形的技巧 例3在abc中，若b2sin2cc2sin2b2bccosbcosc，试判断三角形的形状 分析：已知条件中有边和角的混合关系，可考虑利用边化角，从角的关系判断，也可考虑角化边，从边的关系判断 变式训练3在abc中，若acosabcosb，求证：abc是等腰三角形或直角三角形 分析：判断三角形形状通常从三角形内角的关系确定，也可以从三角形三边关系确定本题可考虑把边化为角，寻找三角形角与角之间的关系，然后予以判定 例4如图，d是直角abc斜边bc上一点，abad，记cad，a

5、bc. (1)证明sincos20； (2)若ac dc，求的值 分析：根据等腰三角形的性质，内角和定理，结合三角公式，正、余弦定理即可解决 解三角形的应用问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形的边和角的大小，从而得出实际问题的解 例5(2009辽宁卷)如图，a，b，c，d都在同一个与水平面垂直的平面内，b，d为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面a处测得b点和d点的仰角分别为75，30，于水面c处测得b点和d点的仰角均为60，ac0.1 km.试探究图中b，d间距离与另外哪两点间距离相等，然后求b，d的距离(计算结果精确到0.01 km， 1.414， 2.449) 分析：本题考查了应用三角形知识求解实际问题的能力求解此类解三角形问题首先要能够读懂题意，分析清楚题意，要能够将实际问题转化为数学问题，即解三角形问题在具体求解过程中要能够明确三角形中的边角关系，同时要注意多解情况和计算的准确性 解析：在acd中，dac30，adc60dac30， 所以cdac0.1， 又bcd180606060， 故cb是cad底边ad的中垂线，所以bdba. 变式训