第五章 静电场

1、第五章第五章 静电场静电场25-1 电荷的量子化电荷的量子化 电荷守恒定律电荷守恒定律一、电荷和电性力一、电荷和电性力1.电荷的性质电荷的性质 实验证明实验证明,自然界中只存在两种电荷，分别称为自然界中只存在两种电荷，分别称为正电荷正电荷和和负电荷负电荷。2.电性力电性力 带同号电荷的物体互相排斥，带异号电荷的物体互相带同号电荷的物体互相排斥，带异号电荷的物体互相吸引，这种相互作用称为电性力。吸引，这种相互作用称为电性力。1.电荷的量子化电荷的量子化 物体所带的电荷量不可能连续地取任意量值物体所带的电荷量不可能连续地取任意量值,而只能取而只能取电子或质子电荷量的整数倍的值电子或质子电荷量的整数

2、倍的值(q=ne)。电荷量的这种电荷量的这种只能取分立的、不连续量值的性质只能取分立的、不连续量值的性质, 称为电荷的量子化称为电荷的量子化。2.电子电荷的绝对值电子电荷的绝对值e 电子电荷的绝对值电子电荷的绝对值 e 称为元电荷或称为电荷的量子。称为元电荷或称为电荷的量子。电电 荷荷 量量/C质质 量量/kg电子电子(e)1.60217710-199.10938910-31质子质子(p)1.60217710-191.67262310-27中子中子(n)01.67492810-27二、电荷的量子化二、电荷的量子化4三、电荷守恒定律三、电荷守恒定律1.电荷守恒定律电荷守恒定律 在一个与外界没有电

3、荷交换的系统内，无论进行怎样的在一个与外界没有电荷交换的系统内，无论进行怎样的物理过程，系统内正、负电荷量的代数和总是保持不变。物理过程，系统内正、负电荷量的代数和总是保持不变。2.例题例题(2)电子偶湮灭：电子偶湮灭：HeThU422349023892 n2 SrXenU109538139541023592 (3)铀核蜕变铀核蜕变 2- ee(1)铀原子核裂变：铀原子核裂变：5一、真空中的库仑定律一、真空中的库仑定律1.点电荷点电荷 当带电体的形状和大小与它们之间的距离相比允许忽当带电体的形状和大小与它们之间的距离相比允许忽略时，可以把带电体看作略时，可以把带电体看作点电荷点电荷。2.库仑定

4、律库仑定律 真空中真空中，两个，两个静止点电荷静止点电荷之间相互作用力之间相互作用力( (又称为库仑又称为库仑力力) )的大小与这两个点电荷的电荷量的大小与这两个点电荷的电荷量q1和和q2的的乘积成正比，乘积成正比，而与这两个点电荷之间的距离而与这两个点电荷之间的距离r12或或r21的平方成反比，作用的平方成反比，作用力的方向沿着这两个点电荷的连线，同号电荷相斥，异号力的方向沿着这两个点电荷的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。电荷相吸。5-2 库仑定律库仑定律3.库仑定律的数学表达式库仑定律的数学表达式221rqqF0 04 41 1 真真空空电电容容率率 Nmc1085. 822120 (1

5、)大小大小F1 F2 q1 r q2异种电荷异种电荷: q1q2 0F1 q1 r q2 F2212212102141e r qqF 1221 - FF 4.库仑定律的矢量表达式矢量形式库仑定律的矢量表达式矢量形式122122101241e r qqF (N):1221的的作作用用力力，单单位位：牛牛顿顿受受到到来来自自 qqF1q2q12F21F12r21r1r2rxyzO121221rrrr 21e12e8 同种电荷同种电荷: q1q2 01212F2121F12r q1 q221r 异种电荷异种电荷: q1q2 R, 则有：则有：(2)若若x=0，则有：，则有： E=0 ixRQxE23

6、22041 R22 EoxR220dd xE若若Rx22 (3) xyzoxqdrEdEdRPEre32 irxRrxQrirxQxE23222o2322o2d4dd rrSRQd2d2 ，例例2，求总电量求总电量Q ,半径半径R 的的均匀均匀带电圆盘轴线上的场强。带电圆盘轴线上的场强。解：圆盘可看成由许多同心圆解：圆盘可看成由许多同心圆环组成，则有：环组成，则有：rd rxx pREd 222o023222o12d2dRxxRQrxrrRxQEER2d2ddRrQrSQ 33iRxxRQE 222o12 讨论讨论(1)当当Rx时，时，可将圆盘看成可将圆盘看成无限大均匀无限大均匀带电平面。带电

7、平面。iiRQiRxxRQEo2o222o2212 无限大均匀带电平面所激发的电场与距离无限大均匀带电平面所激发的电场与距离x无关，即在平面无关，即在平面两侧各点场强大小相等，方向都与平面相垂直，这种电场称两侧各点场强大小相等，方向都与平面相垂直，这种电场称为为均匀电场均匀电场或或匀强电场匀强电场。 iEo 2 34(3)当当x=0时，时，E=0。应该先取极限，后积分。应该先取极限，后积分。首先：首先：x0，然后再积分。，然后再积分。2222222222118321111xRxRxRxR ixQiRxxRQE2o222o412 P点的场强与电荷量点的场强与电荷量Q集中在圆盘的中心的一个集中在圆

8、盘的中心的一个点电荷点电荷在在该点所激发的场强相同。该点所激发的场强相同。(2)当当xR时，时，利用二项式定理展开，略去高次项：利用二项式定理展开，略去高次项： irxRrxQrE23222o2dd 3554 电场强度通量电场强度通量 高斯定理高斯定理一、电场线一、电场线1.电场线电场线 用一族空间曲线形象描述场强分布，通常把这些曲线用一族空间曲线形象描述场强分布，通常把这些曲线称为电场线或电力线。称为电场线或电力线。2.电场线规定电场线规定(1)方向方向 电电场线上每一点的切线方向就是该点的场强方向；场线上每一点的切线方向就是该点的场强方向；(2)大小大小 在电场中任一点，取一垂直于该点场强

9、方向的面积元在电场中任一点，取一垂直于该点场强方向的面积元, 使使通过单位面积的电场线数目，等于该点场强的量值通过单位面积的电场线数目，等于该点场强的量值。E电场线电场线36 SESEdddd 若面积元不垂直电场强度，由图可知，通过若面积元不垂直电场强度，由图可知，通过dS和和dS的电场线的数目是相同的。的电场线的数目是相同的。SESESEdcosddd 法法向向单单位位矢矢量量。为为面面积积元元矢矢量量，SnnSSd,dd d 为通过为通过dS的电场线数的电场线数目，称为目，称为电通量电通量或或E通量通量。 (3)电通量电通量(E通量通量)Sdsd SdE匀强电场匀强电场 n373.静电场电

10、场线的性质静电场电场线的性质(1)电场线起自电场线起自正电荷正电荷(或来自或来自无穷远处无穷远处)，终止于，终止于负电荷负电荷(或或伸向伸向无限远处无限远处)，不会在没有电荷的地方中断，不会在没有电荷的地方中断(场强为零的场强为零的奇异点除外奇异点除外)；(2)电场线不能形成电场线不能形成闭合曲线闭合曲线；(3)任何两条电场线任何两条电场线不会相交不会相交；(4)场强较大的地方电场线较密，场强较小的地方电场线较场强较大的地方电场线较密，场强较小的地方电场线较疏，电场线的疏，电场线的疏密疏密反映了电场中场强反映了电场中场强大小大小的分布。的分布。38+-正点电荷与负点电荷的电场线正点电荷与负点电

11、荷的电场线39+一对等量正点电荷的电场线一对等量正点电荷的电场线40-+一对等量异号点电荷的电场线一对等量异号点电荷的电场线41一对不等量异号点电荷的电场线一对不等量异号点电荷的电场线-q2q42+ + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - - 带电平行板电容器的电场线带电平行板电容器的电场线43二、电通量二、电通量1.电通量电通量 通过任一面的电场线条数。通过任一面的电场线条数。 2.通过任意曲面电通量的计算通过任意曲面电通量的计算 把曲面分成许多个面积元把曲面分成许多个面积元dS，每一每一dS范围内的范围内的E 视为视为匀强电场匀强电场。

12、 SSSEddSdSd SdE匀强电场匀强电场 SESEdcosdd SSdE44(2)若面元的法线方向如若面元的法线方向如红箭头红箭头所示所示3.电通量的正负分析电通量的正负分析 电通量的正与负取决于面元的法线方电通量的正与负取决于面元的法线方向的选取，如图所示。向的选取，如图所示。0dd SE20 0dd SE 2(1)面元法向如面元法向如蓝箭头蓝箭头所示所示SSdESSdE45(2)闭合面方向的规定闭合面方向的规定 面元面元矢量方向矢量方向由闭合由闭合面内面内指向面外指向面外。4.通过闭合面的电通量通过闭合面的电通量(1)表达式表达式 SSEdSSESdSd电场线穿入电场线穿入0d2dd

13、 SE电场线穿出电场线穿出0d2dd SEE46三、高斯定理三、高斯定理01d niiniSEqSE1.高斯定理高斯定理 在在真空中真空中的静电场内，通过任一闭合面的电通量等于的静电场内，通过任一闭合面的电通量等于这闭合面内所包围的电量的这闭合面内所包围的电量的代数和代数和除以除以 0 。47200211dddrSrS 单位：球面度单位：球面度Sphere dgree cosdd2rS 定义定义: r dSd0dS0r1r1dS 2.立体角立体角 面元面元dS对某点所张的立体角：锥体的对某点所张的立体角：锥体的“顶角顶角” 。Sr 4dd200 SSrS闭合曲面对面内一点所张的立体角闭合曲面对

14、面内一点所张的立体角483.高斯定理的证明高斯定理的证明 库仑定律库仑定律 +叠加原理叠加原理先证明先证明点电荷点电荷的场的场, 然后推广然后推广至一般电荷分布的场。至一般电荷分布的场。(1)源电荷是点电荷源电荷是点电荷 在该场中取一包围点电荷的闭合面在该场中取一包围点电荷的闭合面(如图所示如图所示)在闭合面在闭合面S上任取面元上任取面元 ， 该面元对点电荷所张的立体该面元对点电荷所张的立体角角d, 点电荷在面元处的场点电荷在面元处的场强为强为:sdrerqE204 qSSd dEre49SerqSErd4dd20 SSESEdd (2)源电荷是点电荷系源电荷是点电荷系 闭合曲面包围的电荷为闭

15、合曲面包围的电荷为q1、q2、qn。 d40 q0 q 204cosdrSq Sqd40 0d qSESE 50 SSESEdd (3)源是连续分布电荷源是连续分布电荷 VSSEVSEd1dd0 0100201 niinniqqqq SnSEEEd21 SnSSSESESEddd21514.高斯定理的物理意义高斯定理的物理意义(1)当闭合曲面内的当闭合曲面内的q为正时，为正时， E0，电场线从，电场线从q发出并穿出发出并穿出闭合曲面闭合曲面, 正电荷正电荷q 称为静电场的称为静电场的源头源头；(2)当闭合曲面内的当闭合曲面内的q为负时，为负时， E R)rrQErQEQrEE302002444

16、 或或24ddrESESESSE 0d iiSEqSE内内5924ddrESE SESSE 3414333402rRQrEE 0d iiSEqSE内内(2)球面内球面内(rR)304RQrE Rrr高高斯斯面面高高斯斯面面60E RrRQr 3o4 RrrQ 2o4rERrR204RQ o61例例3 设有一无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即设有一无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为电荷线密度为 ，求距直线为，求距直线为r 处的电场强度。处的电场强度。解解:rE02 02dh hrESES +oxyEr+h对称性分析与高斯面的选取对称性分析与高斯面的选取hrhq 6202E

17、 02SES EES 例例4 设有一无限大均匀带电平面，电荷面密度为设有一无限大均匀带电平面，电荷面密度为 ，求距平，求距平面为面为r 处某点的电场强度处某点的电场强度。解解:对称性分析与高斯面的选取对称性分析与高斯面的选取:Sq 6302E E EE E64 000 000无限大带电平面的电场叠加问题无限大带电平面的电场叠加问题65*55 密立根测定电子电荷的实验密立根测定电子电荷的实验密立根密立根(Robert Andrews Millikan)(18681953)美国物理学家美国物理学家, 1923年获诺贝尔物理奖年获诺贝尔物理奖66密立根在物理学上的主要贡献为密立根在物理学上的主要贡献

18、为:1.测量基本电荷测量基本电荷 密立根最著名的实验成就是用在电场和重力场中的运密立根最著名的实验成就是用在电场和重力场中的运动的带电油滴精确地测定了基本电荷动的带电油滴精确地测定了基本电荷。这个工作从这个工作从1907年年开始，直到开始，直到1913年才最后完成年才最后完成。实验指出实验指出, 所测电荷所测电荷q 是元是元电荷电荷e 的整数倍，即的整数倍，即: q=ne，n=1, 2, 32.对光电效应的实验研究对光电效应的实验研究 1916年，他的实验结果完全肯定了爱因斯坦的光电效年，他的实验结果完全肯定了爱因斯坦的光电效应方程，并从图像中测出当时最好的普朗克常数应方程，并从图像中测出当时

19、最好的普朗克常数 h 的值的值3.对对X射线的研究射线的研究67一、实验装置一、实验装置油滴油滴电池电池油滴油滴望远镜望远镜E喷雾器喷雾器68二、测量原理二、测量原理1.未加电场时未加电场时rFP粘滞力粘滞力rF重力重力P终极速度终极速度1v油滴达到终极速度油滴达到终极速度 v1 时有时有:0PFr16vrFr油滴的质量油滴的质量油滴的半径；油滴的半径；气体的粘度；气体的粘度；mr 061 mgr v692.加电场时加电场时粘滞力粘滞力rF重力重力P终极速度终极速度2v油滴达到终极速度油滴达到终极速度 v2 时有时有:0erFPFEqF rFer-62 v 062 mgqErv电场力电场力eF

20、rFPeF3.电荷的计算电荷的计算061 mgr v062 mgqErv E-rq216vv 已已知知可可由由实实验验测测定定，和和， E r21,vv704.试验结果试验结果 3, 2, 1 n ne,q C10603. 1-19 e5.电荷电量的量子化电荷电量的量子化 实验表明：物体所带的电荷量不可能连续地取任意量值实验表明：物体所带的电荷量不可能连续地取任意量值, 而只能取元电荷而只能取元电荷 e 的整数倍。电荷量的这种只能取分立的、的整数倍。电荷量的这种只能取分立的、不连续量值的性质不连续量值的性质, 称为电荷的量子化。它是自然界中一称为电荷的量子化。它是自然界中一条基本的定律。条基本

21、的定律。 C101453176602. 1-19 e7156 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势能电势能一、静电场力所作的功一、静电场力所作的功1.电场力作功电场力作功lEqlFWddd0 lerqqrd4200 lrqqdcos4200 rrqqd4200 Oq0qABCldArBrr Ere72 BAABWWd2.电场力做功的特点电场力做功的特点(1)电场力作功和路径无关电场力作功和路径无关 试探电荷在任何静电场中移动时，电场力所作的试探电荷在任何静电场中移动时，电场力所作的功功只只与这试探电荷的与这试探电荷的大小大小以及路径的以及路径的起点起点和和终点终点的位置有关，的位置有关，而而

22、与路径无关与路径无关。 (2)电场力沿闭合路径作功为零电场力沿闭合路径作功为零 如果试探电荷在电场中从某点出发，经过一闭合路线如果试探电荷在电场中从某点出发，经过一闭合路线L又回到原来的位置，电场力作功为零。又回到原来的位置，电场力作功为零。 BArrrrqqd14200 BArrqq11400 73二、静电场的环路定理二、静电场的环路定理1.静电场的环路定理静电场的环路定理 如果试探电荷在电场中从某点出发，经过一闭合路线如果试探电荷在电场中从某点出发，经过一闭合路线L又回到原来的位置，电场力作功为零。即又回到原来的位置，电场力作功为零。即0d LlEEABCD CDACBADAABClEql

23、EqlEqddd000 ADCCBAlEq _ lEqdd000dd00 ABDCBAlEq _ lEq静电场是保守场静电场是保守场742.静电场的环路定理的物理意义静电场的环路定理的物理意义 它是反映静电场基本特性的又一重要定理。任何力场，它是反映静电场基本特性的又一重要定理。任何力场，只要具备场强的环流为零的特性，就称为保守力场或势场。只要具备场强的环流为零的特性，就称为保守力场或势场。静电场是保守力场。静电场是保守力场。 0d LlE 左边是场强沿闭合路径的线积分，称为左边是场强沿闭合路径的线积分，称为场强的环流场强的环流。静电场中静电场中场强的环流等于零场强的环流等于零, 称为称为静电

24、场的环路定理静电场的环路定理。75三、电势能三、电势能1.电势能和电场力做功的关系电势能和电场力做功的关系 当电荷当电荷q0在场源电荷在场源电荷Q的电场中的一定的位置处时，的电场中的一定的位置处时，具有一定的电势能。具有一定的电势能。把电场力对试探电荷把电场力对试探电荷q0所作的功所作的功WAB作为作为q0在在A、B两点两点电势能电势能改变的量度。设改变的量度。设EpA和和EpB分别表分别表示示q0在起点在起点A和终点和终点B处的电势能。则有：处的电势能。则有： pApBABEEW BpApBAABEE lEqW d0EABpAEpBE762.势能零点的选取势能零点的选取 当电荷分布于有限区域

25、内时，选定电荷当电荷分布于有限区域内时，选定电荷q0在在无限远处无限远处静静电势能为电势能为零零，亦即令，亦即令 Ep=0。电荷电荷q0在在A点的静电势能为：点的静电势能为： AAAplEqWEd0 电荷电荷q0在电场中某一点在电场中某一点A处的电势能处的电势能EpA在数值上等于在数值上等于q0从从A点处移至无限处点处移至无限处(零势能处零势能处)电场力所作的功电场力所作的功WA。电势能的单位电势能的单位焦耳，符号为：焦耳，符号为：J BAABBpAplEqWEEd077讨论讨论静电力做正功，静电力做正功，WAB0，电势能减少，电势能减少，EpAEpB ;静电力做负功，静电力做负功，WAB0，

26、电势能增加，电势能增加，EpA0, 则则VP0，离，离Q愈远处电势愈低，无限远处为零愈远处电势愈低，无限远处为零;(3)如果如果Q0，则，则VP0，离，离Q愈远处电势愈高，在无限远处电愈远处电势愈高，在无限远处电势为零值最大。势为零值最大。 PrrerQd4120 rrrQd4120 rQ041 QPr Erdre83三、电势的叠加原理三、电势的叠加原理 iiniEEEEEE21 niiiArqV104 iinAnAAAAVVVV lElElElE V2121dddd1q2q3qA1r1E2r2E3r3E1.点电荷系点电荷系q1、 q2 qn n 个电荷组成个电荷组成iiirqV04 点电荷系

27、所激发的电场中某点的电势，等于各点电荷单独点电荷系所激发的电场中某点的电势，等于各点电荷单独存在时在该点建立的电势的代数和存在时在该点建立的电势的代数和电势叠加原理。电势叠加原理。842.任意带电体电势任意带电体电势(1) 由定义式出发由定义式出发 0dPPlEV(2)电势叠加原理电势叠加原理iiVV QQrqVVd41d0 积分法积分法BABAVlE V d叠加法叠加法有限大有限大带电体，选带电体，选无限远无限远处电势为零处电势为零85例例1 正电荷正电荷q 均匀分布在半径为均匀分布在半径为R的细圆环上的细圆环上。求环轴线求环轴线上距环心为上距环心为 x处的点处的点 P的电势的电势。xPox

28、xRldrrq VPd41d0 qrVPd4102204Rxq rq04 解：解：lRqqd2d 86RqVx0040 ，xqVRxP04 ，2204RxqVP xoVRq042204Rxq xPoxxRldr讨讨 论论87rrqd2d )2220 xRx( RrxrrV0220d241 Rx xRxR2222 xxQV04 xxRoP通过一均匀带电圆平面中心且垂直平面的轴线上任意点的通过一均匀带电圆平面中心且垂直平面的轴线上任意点的电势：电势：22rx rrd2RQ 2204RxqVP 2204ddrxqVP 88例例2 真空中有一电荷为真空中有一电荷为Q，半径为，半径为R的均匀带电球面。试

29、求的均匀带电球面。试求:(1) 球面外两点间的电势差；球面外两点间的电势差；(2) 球面内两点间的电势差；球面内两点间的电势差；(3) 球面外任意点的电势；球面外任意点的电势；(4) 球面内任意点的电势球面内任意点的电势。RABorArBr Rr rQRr E2040 解解: 球面内外的球面内外的电场强度分布电场强度分布:rdrRr (1) BABArrrEVVd BArrrrQ20d4)11(40BArrQ 890d BABArrrEVVRr (2)rrdRoAB Rr rQRr E2040 Rr (3)0 VrB令令：rQrV04)( )11(40BABArrQVV 90Rr (4) Rr

30、ERrrErVdd)(RQ04 RQ04 RoVrQ04 r Rr rQRr E2040 RABorArBr910 BV令令： BPrrrEVd Brrrrd20 rrBln20 Pr or例例3 “无限长无限长”带电直导线的电势带电直导线的电势.解解:rE02 BBr9258 电场强度与电势梯度电场强度与电势梯度一、等势面一、等势面1.等势面等势面 由电势相等的点组成的面。由电势相等的点组成的面。正点电正点电荷等势荷等势面和电面和电场线场线等等势势面面电场线电场线93负点电荷的电场线与等势面负点电荷的电场线与等势面-94两平行带电平板的电场线和等势面两平行带电平板的电场线和等势面+ + +

31、+ + + + + + + + + -+ 一对等量异号点电荷的电场线和等势面一对等量异号点电荷的电场线和等势面952. 等势面与电场线的关系等势面与电场线的关系(1)电场线处处垂直于等势面。电场线处处垂直于等势面。 在等势面上任取两点在等势面上任取两点 a、b，则，则0d babaVVlE(2)电场线指向电势降的方向。电场线指向电势降的方向。(3)画一系列的等势面，使任何两个相邻等势面间的电势差画一系列的等势面，使任何两个相邻等势面间的电势差都相等。等势面愈密处场强愈大；等势面愈疏处场强愈小都相等。等势面愈密处场强愈大；等势面愈疏处场强愈小。 lEd a、b 任取任取 处处有处处有961.电场

32、强度与电势的关系电场强度与电势的关系 电荷电荷 q0 从从 a 经经 l 到到 b 电场力作功：电场力作功：ElEba llEqW cos0UqVVqWba 00)(比较上两式，有：比较上两式，有：UlE cos )(babpbaapabVVqEEl dfW 即：即：lUEEl cos二、电场强度与电势梯度二、电场强度与电势梯度97zVEyVExVEZYx ，lVEl 给定点的电场强度沿某一方向给定点的电场强度沿某一方向 l 的分量的分量 El ,等于电势等于电势在这一点沿该方向的变化率的负值，负号表示在这一点沿该方向的变化率的负值，负号表示场强指向电场强指向电势降低的方向势降低的方向。 在直

33、角坐标系中在直角坐标系中El 为电场强度在为电场强度在 l方向的方向的分量，令分量，令 l 0，便得：，便得：kzVjyVixVE 98kzVjyVixVVVgrad VgradE 4.求电场强度的三种方法求电场强度的三种方法(1)利用电场强度叠加原理利用电场强度叠加原理;(2)利用高斯定理利用高斯定理;(3)利用电势与电场强度的关系。利用电势与电场强度的关系。3.电场强度与电势梯度的关系电场强度与电势梯度的关系kzjyix 梯度算符梯度算符2. 电势梯度电势梯度99(1)V=常量，常量，0, 0cos, 0dd EEElVl (2)某一点某一点V=0，但，但00, 0dd EElVl(3), 0dd,